SÉRIES DE FOURIER
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Les s eries de Fourier - u-bordeauxfr
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Séries de Fourier - Université Paris-Saclay
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S´eries de Fourier : synth`ese de cours
2 D´eterminer la classe (= r´egularit´e) de f pour connaˆıtre la convergence de la s´erie de Fourier 3 Calculer les coefficients de Fourier de f (an;bn;cn selon le contexte) 4 Appliquer Parseval et/ou Dirichlet selon la classe de f 4 Que faire si on ne comprend rien? Apprendre le cours, refaire les exercices du TD et poser des
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Chapitre 7 Espaces de Hilbert et s´eries de Fourier
Espaces de Hilbert et s´eries de Fourier 7 1 Espaces de Hilbert 7 1 1 Quelques d´efinitions et rappels D´efinition 7 1 Un espace vectoriel norm´e (H,k k) sur C (ou R) est de Hilbert si sa norme provient d’un produit scalaire et s’il est complet Nous nous placons dans toute la suite dans le cas d’un espace vectoriel complexe,
Chapitre 4 : séries de Fourier et transformées de Fourier
Chapitre 4 : séries de Fourier et transformées de Fourier 1 Introduction Les séries de ourierF constituent un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d' analyse harmonique
Exercices corrigés sur les séries de Fourier
sur les séries de Fourier 1 Enoncés Exercice 1 Calculer la série de ourierF trigonométrique de la fonction 2ˇ-périodique f: R R telle que f(x) = ˇ j xj sur ] ˇ;ˇ] La série converge-t-elle vers f? Exercice 2 Calculer la série de ourier,F sous forme trigonométrique, de la fonction 2ˇ-périodique f: R R telle que f(x) = x2 sur [0;2ˇ[
Cours d’analyse de Fourier - OCA
Cours d’analyse de Fourier avec exercices niveau L3 physique Eric Aristidi Version du 4 novembre 2020
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S´eries de Fourier : synth`ese de cours
But :Ecrire une fonctionfcontinue par morceaux et 2-p´eriodique sous la forme : f(x) =a0 2 ++1∑ n=1(ancos(nx) +bnsin(nx)) =a0 2 + limN!+1N n=1(ancos(nx) +bnsin(nx)) ou sous la forme : f(x) =+1∑ n=1c neinx= limN!+1N n=Nc neinx:1 Coefficients de Fourier et S´eries de Fourier
Denition 1 :
Coefficients r´eels def:an(f) =1
2 0 f(t)cos(nt)dt;n>0; bn(f) =1 2 0 f(t)sin(nt)dt;n >0Coefficients complexes def:cn(f) =1
2∫
2 0 f(t)eintdt:Remarques :
Comme les fonctions sont 2-p´eriodiques, on peut calculer les int´egrales sur n'importe quel intervalle de
longueur 2.On ´ecrit souventanetbnau lieu dean(f) etbn(f) s'il n'y a pas de confusion entre plusieurs fontions.
On utilise plutˆotanetbnsifest `a valeurs r´eelles, etcnpourf`a valeurs complexes.Remarque utile pour les calculs :
fpaire)bn= 0;8n >0 etan=2 0 f(t)cos(nt)dt;n>0: fimpaire)an= 0;8n >0 etbn=2 0 f(t)sin(nt)dt;n>0:Denition 2 :
La s´eriea0
2 n>1a ncos(nx) +bnsin(nx) ou∑ n2Zc neinxs'appelle s´erie de Fourier associ´ee `af.Remarques :
1. La somme partielle de cette s´erie est un polynˆome trigonom´etrique et vaut :
SN(x) =a0
2 +N∑ n=1a ncos(nx) +bnsin(nx) ouSN(x) =N∑ n=Nc neinx: SN(x) =N∑
n=Nc neinx=N∑ n=N< f;e inx> einxest le projet´e orthogonal defsur le sous-espace vectoriel engendr´e par les (einx)Nn=N.2. Si on d´efinit le produit scalaire :< f;g >=1
2∫
2 0 f(t) g(t)dt, alors on a : < f;1>=a0 2 ; < f;cos(nx)>=an 2 ; < f;sin(nx)>=bn 2 ; < f;einx>=cn:QUESTIONS :
Pour quelles fontionsfy a-t-il convergence?
Y a-t-il convergence versf?
De quelle type de convergence s'agit-il? Cv pour la norme quadratiquejj:jj? Cv simple et dans ce cas pour quelsxa-t-on la convergence? Cv normale? 1±1±0.50.5
1±6 ±4 ±2 2 4 6Principe de Fourier
2 Convergence des s´eries de Fourier
2.1 Convergence en norme quadratique
Th´eor`eme de Parseval :fcontinue par morceaux, 2-p´eriodique)les sommes partiellesSNcv versf en norme quadratique cad : limN!+1jjfSNjj2= limN!+11
2∫
2 0 jf(t)SN(t)j2dt= 0;et on a la formule deParseval :
n2Zjcnj2=jjfjj2=ja0j2 4 +1 2 n>1(janj2+jb2nj):2.2 Convergence simple
Th´eor`eme de Dirichlet :fC1par morceaux, 2-p´eriodique (non n´ecessairement continue)) a 0 2 n>1a ncos(nx) +bnsin(nx) = f(x)sifest continue enx 1 2 (f(x+) +f(x)) sifest discontinue enx Remarque :On peut calculer des s´eries en prenant des valeurs particuli`eres dex.2.3 Convergence normale
fcontinue,C1par morceaux et 2-p´eriodique)la s´erie de fonctions cv normalement versf. (voir exo
TD)2.4 Non convergence
Sifest seulement continue (ou seulement continue par morceaux), on ne peut rien dire sur la convergence
deSNquandNtend vers +1, elle peut diverger. Remarque :fest continue par morceaux si sur tout segment elle est continue sauf en un nombre fini de points de discontinuit´ex0o`u elle admet une discontinuit´e de 1`ere esp`ece cad limx+0fet limx
0fexistent
mais diff`erent def(x0).3 Que faire en g´en´eral dans les exercices?
1.Tracer le graphe defsur plusieurs p´eriodes
2.D´eterminer la classe (= r´egularit´e) defpour connaˆıtre la convergence de la s´erie de Fourier
3. Calculer les coefficients de Fourier def(an;bn;cnselon le contexte) 4. Appliquer Parseval et/ou Dirichlet selon la classe def