Compétence 1 : Maitriser les suites arithmétiques Compétence
la suite géomé- trique (u,) dont chaque terme s'obtient grâce 1 def 2 4 5 suite n): u=15ø for k in range(l,n+l): return u à la fonction Python suivante Préciser le premier terme et la raison En déduire la formule explicite de Lin À la calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel n tel que un < 0,01
Algorithme
a On exécute pas à pas cet algorithme avec la liste T ci-contre On suit l'évolution des variables dans le tableau ci-dessous 10 + longueur 10 Initialiser une variable Somme à 0 et une variable k à 1 Répéter 10 fois les instructions : Ajouter à Somme le ke élément de la liste T Augmenter la valeur de k de 1 Fin de la boucle
Rappels et Activités
Soit (u) la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme —1 a) Exprimeru en fonction de u b) En déduire le signe de u — un, puis les variations de la suite (u) 2 Pour chaque suite ci-dessous, calculer les quatre premiers termes et conjecturer les variations de la suite (un) est une suite géométrique de premier terme 1 et de
Brahim BESSAA - الموقع الأول للدراسة في
Ecrire un algorithme qui permet à l’utilisateur de saisir une suite caractère se terminant par ‘*’, et qui affiche à la fin le nombre d’apparition de la lettre ‘A’ Solution 1 : en utilisant une boucle Répéter Algorithme Appatition ;
SCILAB : Algorithmes d’Analyse à Connaître par Coeur 1
SCILAB : Algorithmes d’Analyse à Connaître par Coeur 1) Conjecture graphique de la limite d’une suite Pour une suite (u n) n2N définie en fonction de n ou par récurrence, le principe de cet algorithme est ultra simple :
A 1525 1557 1589 1621 u B 1525 1555,5 1586,6 1618,3 u2 u
1 a Cette suite est une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 2 b La formule explicitie définissant la suite (un) est : un = u0 +r n = 5+( 2) n = 2n+5 c Grâce à la formule explicite, on a l’égalité : u20 = 2 20+5 = 40+5 = 35 2 a La suite (vn) est une suite géométrique de premier terme 64 et de raison 1 2 b
Exercice 1 important en choisissant l’avancement Exercice 5 u
Justifier que la suite (vn) n’est pas une suite géomé-trique Exercice 2 1 On considère la suite (un) géométrique de premier terme 2 et de raison 3 Déterminer les cinq premiers termes de cette suite 2 On considère la suite (vn) géométrique définie par : v0 = 2 ; vn+1 = 1 2 vn Déterminer la valeur des( 6 premiers termes de la
Créer un algorithme pour calculer la moyenne de 3 notes
Ecrire un algorithme qui demande à l’user d’entrer la note est qui affiche le mention comme suite : « Faible » si note
Partie A : Un peu d’histoire
suite 4 On peut appliquer l’algorithme deBriggspour calculer une valeur approchée du logarithme décimal de x pour tout réel x compris entre 1 et 10 Compléter la fonction Pythonci-dessous pour que briggs(x, epsilon)retourne un encadrement de log(x) d’amplitude epsilonpar cet algorithme
S Maths1re CH04 ldp - lewebpedagogiquecom
une suite ; la suite w est facile à trouver explicitement mais beaucoup plus diffi cile et moins naturelle de façon récurrente ; la suite t est volontairement plus diffi cile (pour que tous les élèves cherchent de façon ludique) mais peut être explicitée plus facilement par récurrence, une aide étant
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DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMathsPartie A : Un peu d"histoire
Henry Briggs (1561-1630)
est l eco-i nventeur,av ecson amiJ ohnN eper
, des logarithmes.B riggs
comp létaetdressa la table des logarithmes des entiers, des sinus et des tangentes, avec 14 décimales dans son ouvrage
Arithmetica Logarithmica.
Partie B : Déroulement et programmation de l"algorithmeOn donne ci-dessous un extrait del"Introduction à l"analyse infinitésimaleoùLeonh ardE uler1 707-1783ex-
plique la méthode utilisée parB riggs
p ourc alculerune v aleurapp rochéedu l ogarithmed écimalde 5 .O nrappelle que lelogarithme décimald"un nombre strictement positifxest noté log(x) et qu"il est proportion-
nel au logarithme népérien ln(x) par la relation log(x)AEln(x)ln(10) .Les colonnes de gauche et du milieu se complètent selon l"algorithme suivant :+Étape 1 : initialisationOn initialise les deux premières lignes avec deux nombresAAE1 etBAE10, qui
encadrent 5, et leurs logarithmes décimauxlAAE0 etlBAE1. On a bien log(10)AEln(10)ln(10)AE1 d"oùlBAE1.
+Étape 2 : boucleOn répète en boucle les instructions suivantes pour remplir les lignes suivantes.
C olonnede g auche: On prend les deux dernières valeurs de la colonne de gauche qui encadrent5 et on calcule leur moyenne géométrique qu"on affecte comme nouvelle valeur de la colonne de
gauche. Quelques exemples :pour calculerCen la troisième ligne, on a sélectionnéAetB, puis calculé leur moyenne géo-
métriquepAB;pour calculerGen septième ligne, on a sélectionnéDetF, puis calculé leur moyenne géomé-
triquepDF; pour calculerVen vingt cinquième ligne, on a sélectionnéOetT, puis calculé leur moyenne géométriquepOT.Page 1/
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DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMaths-C olonnedu m ilieu: On sélectionne les mêmes lignes que pour le calcul de la nouvelle valeur de
la colonne de gauche, mais pour la valeur en colonne du milieu on calcule la moyenne arithmé- tique des valeurs du milieu des lignes sélectionnées. Quelques exemples : pour calculerlCen la troisième ligne, on a sélectionnélAetlB, puis calculé leur moyenne arithmétique lAÅlB2 métique lDÅlF2 arithmétique lOÅlT2+Étape 3 : finOn peut démontrer que la suite formée par les valeurs de la colonne de gauche converge
vers 5 et que la suite des valeurs de la colonne du milieu converge vers log(5). On peut choisir comme
critère d"arrêt de boucle un seuil sur l"écart entre la valeur de la colonne de gauche et 5 ou l"écart entre
deux valeurs successives de la colonne du milieu.1.Expliquer le calcul des valeursCetlCdans l"extrait de l"explicationd "Euler.
Démontrer que la valeur delCest égale au logarithme décimal de la valeur deC2.Expliquer le calcul des valeursRetlRdans l"extrait de l"explicationd "Euler.
On admet quelOetlQcontiennent respectivement les logarithmes décimaux deOetQ. Démontrer que la valeur delRest égale au logarithme décimal deR.3.Quel type de raisonnement permettrait de démontrer que pour chaque ligne, la valeur de la colonne
du milieu est le logarithme décimal de la valeur de la colonne de gauche? On admet ce résultat pour la
suite.4.On peut appliquer l"algorithme deB riggspour calcul erune v aleurapp rochéedu logar ithmedécimal de
xpour tout réelxcompris entre 1 et 10. Compléter la fonctionPythonci-dessous pour quebriggs(x, epsilon)retourne un encadrement de log(x) d"amplitudeepsilonpar cet algorithme. Les variablesaetbsont les valeurs successives de la colonne de gauche encadrantx, tandis quelogaet logbsont les valeurs correspondantes de la colonne du milieu dans l"explicationd "Euler. On admet que pour16x610,aetbconvergent versx, tandis quelogaetlogbconvergent vers log(x). from math import sqrt def moyenne_geometrique(c, d): return sqrt(c * d) def moyenne_arithmetique(c, d): return (c + d) / 2 def briggs(x, epsilon): a = 1 b = 10 loga = 0 logb = 1 while logb - loga > epsilon:Page 2/
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DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMathsmg = moyenne_geometrique(a, b) if mg <= x: a = .......... loga = .......... else b = .......... logb = .......... return (loga, logb)5.D"après le graphique ci-dessous, quelle conjecture peut-on faire sur l"ordre de grandeur du nombre
d"itérations de la bouclewhilepourepsilonégal à12 navecnvariant entre 0 et 8.Cette conjecture peut-elle être validée? Justifier.Partie C : Démonstration de la convergence dans un cas particulier
versxAE2 et que les variableslogaetlogb(colonne du milieu de l"explication d"Euler) convergent versPage 3/
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DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMathslog(x)AElog(2). Soit(un)la suite des valeurs successives de la variableaet soit(vn)la suite des valeurs successives de la
variableb. Ces deux suites vérifient les relations de récurrence suivantes : u