[PDF] PRODUIT SCALAIRE CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale

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Chapitre 9: Produit scalaire

PRODUIT SCALAIRE

CORRECTION DES EXERCICES

LES EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Exercice1:

On considère deux vecteurs-→ABet-→ACtels queAB= 3,AC= 8et ?BAC=π 4.

Calculons

AC·-→AB.-→AC·-→AB=||-→AC|| × ||-→AB|| ×cos(?BAC) =AC×AB×cos?π 4? = 8×3×⎷ 2 2 = 4×3⎷ 2 = 12⎷ 2

D"où

AC·-→AB= 12⎷

2.

Exercice2:

On considère un tringleABCtels que?BAC= 60◦,AB= 6etAC= 4.

1.Calculons-→AB·-→AC.-→AB·-→AC=||-→AB|| × ||-→AC|| ×cos(?BAC)

=AB×AC×cos(60◦) = 6×4×0,5 = 12

D"où

AB·-→AC= 12

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 9: Produit scalaire

2.Calculons-→BA·-→AC.

On a-→BA·-→AC=--→AB·-→AC. Or de ce qui précède-→AB·-→AC= 12.

D"où-→BA·-→AC=-12

Exercice3:

Considérons un triangleABCtels que :BC= 6,Iest le milieu de[BC] etHle projeté orthogonal deAsur(BC). On aH?[BI]etIH= 1.

1.Calculons--→BC·-→BA.

H étant le projeté orthogonal deAsur la droite(BC)alors on a:--→BC·-→BA=--→BC·--→BH

Les vecteurs--→BCet--→BHétant colinéaire et de même sens alors :--→BC·--→BH=BC×BH.

DéterminonsBH.

BH=BC-HCorHC=HI+IC= 3 + 1 = 4alorsHC= 4

ainsiBH= 6-4d"oùBH= 2. Par conséquent,--→BC·--→BH= 6×2 = 12.

D"où--→BC·-→BA= 12

2.Calculons--→BC·-→CA.

H étant le projeté orthogonal deAsur la droite(BC)alors on a:--→BC·-→CA=--→BC·--→CH

Les vecteurs--→BCet--→CHétant colinéaires et de sens contraire alors :--→BC·--→CH=-BC×CH.

De ce qui précède on a:CH= 4donc

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 9: Produit scalaire

BC·--→CH=-6×4 =-24.

D"où--→BC·-→CA=-24

Exercice4:

Soit le carréABCDci-contre, de centreOet de côtéa. Calculons, en fonction dea, les produits scalaires suivants.

1.-→BA·--→BD

On sait que dans un carré les diagonales sont à supports perpendicu- laires et se coupent en leurs milieux ainsi,(AO)?(BD). (AO)?(BD)donc le pointOest le projeté orthogonal de du point A sur la droite(BD). Par conséquent,-→BA·--→BD=--→BO·--→BDor--→BO=1

2--→BD

Alors

BA·--→BD=1

DéterminonsBD.

Considérons le triangleBADrectangle enA, d"après la propriété de

Pythagore on a:

BD

2=AB2+AD2doncBD=⎷

a2+a2=⎷2a2=a⎷2.

AlorsBD=a⎷

2.

Par suite, on obtient:-→BA·--→BD=1

2(a⎷2)2=2a22=a2.

D"où

BA·--→BD=a2.

2.--→DA·--→BC.

Les vecteurs--→DAet--→BCsont colinéaires et de sens contraire donc :--→DA·--→BC=-DA×BCorDA=BC; alors--→DA·--→BC=-BC2=-a2.

D"où--→DA·--→BC=-a2

3.-→CA·--→DB

Les vecteurs-→CAet--→DBont respectivement pour droite d"action(CA) et(DB)qui sont perpendiculaires comme étant les diagonales du car- rée, ainsi les vecteurs-→CAet--→DBsont orthogonaux.

D"où-→CA·--→DB= 0

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 9: Produit scalaire

4.--→CD·-→CO.

Le projeté du pointDsur la droite(CO)est le pointOet la droite

(CO)est la droite d"action du vecteur-→COdonc on a:--→CD·-→CO=-→CO·-→CO=CO2.

DéterminonsCO.

On a:CO=1

2CA. D"après la réponse de la question 1), la diagonale du carrée a pour longueurBD=a⎷

2 =CAalorsCO=a⎷2

2.

Par conséquent,

CD·-→CO=?

a⎷ 2 2? 2 =2a24=a22.

D"où

CD·-→CO=a2

2.

5.--→OD·--→OB.

Les vecteurs--→ODet--→OBsont colinéaires et de sens contraire donc--→OD·--→OB=-OD×OBorOD=OBdonc--→OD·--→OB=-OD2.

De la question précédente on aCO=a⎷

2

2orOD=COalors :

OD·--→OB=-?

a⎷ 2 2? 2 =-2a24=-a22.

D"où

OD·--→OB=-a2

2

6.--→

AD·-→CA.

Le projeté orthogonal du pointDsur la droite(AC)est le pointOet la droite(AC)est la droite d"action du vecteur--→

ADdonc:--→

2-→CA

alors

AD·-→CA=-1

2-→CA·-→CA=-12CA2.

CA=a⎷

2donc--→

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Chapitre 9: Produit scalaire

D"où--→

AD·-→CA=-a2

Exercice5:

Calculons les produits scalaires suivants.

1.--→

AD·-→v.

Pour calculer ce produit scalaire nous allons faire une transaction du vecteur--→ ADsur la droite d"action du vecteur?vpuis faire une projection orthogonale du point représentant du pointDsur la droite d"action du vecteur?vcomme l"indique la représentation ci-dessous: Ainsi on obtient deux vecteurs colinéaires de même sens, par suite on a:--→

AD·-→v= 2×3.

D"où--→

AD·-→v= 6

2.-→CA·-→v

Les droites d"actions des vecteurs-→CAet-→vsont perpendiculaires donc les vecteurs-→CAet-→vsont orthogonaux alors leurs produit scalaire est nul.

D"où-→CA·-→v= 0

3.-→AB·-→v

Pour calculer ce produit scalaire nous allons faire une transaction du vecteur-→ABsur la droite d"action du vecteur?vpuis faire une projection orthogonale du point représentant du pointBsur la droite d"action du vecteur?vcomme l"indique la représentation ci-dessous: c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 9: Produit scalaire

Ainsi on obtient deux vecteurs colinéaires de sens contraire, par suite on a:-→AB·-→v=-3×3 =-9.

D"où-→AB·-→v=-9

4.--→DB·-→v--→DBet-→vsont colinéaires et de sens contraire alors on :--→DB·-→v=-BD× ||?v||=-5×3 =-15

5.--→BD·-→CA.

Les droites d"actions des vecteurs--→BDet-→CAsont perpendiculaires donc les vecteurs--→BDet-→CAsont orthogonaux alors leurs produit scalaire est nul.

D"où--→BD·-→CA= 0

6.--→BC·--→BD.

Pour calculer ce produit scalaire nous allons faire une projection or- thogonale du point représentant du pointCsur la droite d"action du vecteur--→BDcomme l"indique la représentation ci-dessous: c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 9: Produit scalaire

Ainsi on obtient deux vecteurs colinéaires de même sens, par suite on a:--→BC·--→BD= 3×5 = 15.

D"où--→BC·--→BD= 15

Exercice6:

Calculons les produits scalaires suivants.

On utilise dans cet exercice les méthodes de translation de vecteurs et de projection orthogonale.

1.-→u·-→v.

On fait la translation du vecteur?vsur la droite(AB)au point A puis on fait la projection du pointDsur le représentant du vecteur?vsur la droiteD; par suite on obtient deux vecteurs colinéaires de même sens.

Ainsi,-→u·-→v= 4×3.

D"où-→u·-→v= 12.

2.-→t·-→n

Les vecteurs-→tet-→nsont colinéaires et de sens contraire donc on a:-→t·-→n=-||?t|| × ||?n||= 3×3 = 9

3.-→w·-→m.

On fait la translation du vecteur?wsur la droite(GH)au pointGpuis la projection orthogonale du pointFsur la(GH), par suite on obtient deux vecteurs colinéaires et de même sens.

Ainsi,-→w·-→m= 2×2 = 4

4.-→n·-→u.

Les vecteurs-→net-→usont deux vecteurs colinéaires de même sens alors on a: -→n·-→u=||?n|| × ||?u||= 2×4 = 8

5.-→v·-→w

Les vecteurs-→vet-→wsont des vecteurs colinéaires de même sens alors on a: -→v·-→w=||?v|| × ||?w||. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 9: Produit scalaire

Déterminons||?v||et||?w||.

On a:EF=CDdonc||?v||=||?w||.

Calculons donc||?v||.

Le vecteur||?v||a pour normeCDetCDest l"hypoténuse d"un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont pour longueurs 3 et 2. Alors d"après la propriété de Pythagore on a:

CD=⎷

32+ 22=⎷9 + 4 =⎷13.

Ainsi,-→v·-→w=||?v|| × ||?w||=⎷

13×⎷13 = 13.-→v·-→w= 13.

6.-→w·-→u

Les vecteurs?vet?wsont colinéaires, de même sens, et||?v||=||?w||donc ?v=?w. D"après la réponse de la question on a:-→u·-→v= 12.

D"où-→w·-→u= 12

7.-→t·-→m.

Les droites d"actions des vecteurs-→tet-→msont perpendiculaires donc les vecteurs-→tet-→msont orthogonaux alors leurs produit scalaire est nul.

D"où-→t·-→m= 0

Exercice7:

1.Calculons pour chacune des figures ci-dessous :

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 9: Produit scalaire

a.Les normes||-→u||et||-→v||. i. Dans le premier cas de figure on a:||?u||= 4. La norme du vecteur?vest la longueur de l"hypoténuse d"un tri- angle rectangle dont les deux autres côtés ont tous pour longueur 3. Ainsi, d"après la propriété de Pythagore on a : ||?v||=⎷

32+ 32=⎷2×32= 3⎷2.

D"où||?v||= 3⎷

2 ii. Dans le deuxième cas de figure on a:||?v||= 4. La norme du vecteur?uest la longueur de l"hypoténuse d"un tri- angle rectangle dont les deux autres côtés ont tous pour longueur 2. Ainsi, d"après la propriété de Pythagore on a : ||?u||=⎷

22+ 22=⎷2×22= 2⎷2.

D"où||?u||= 2⎷

2. iii. Dans le troisième cas de figure on a:||?u||= 4. La norme du vecteur?vest la longueur de l"hypoténuse d"un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont pour longueur 2et1. Ainsi, d"après la propriété de Pythagore on a : ||?v||=⎷

22+ 12=⎷4 + 1 =⎷5.

D"où||?v||=⎷

5 b.Le produit scalaire. i. -→u·-→v . On fait une projection du vecteur?vsur la droite d"action du vecteur?ucomme sur la figure ci-dessus. On obtient deux vecteurs colinéaires et de même sens, donc-→u·-→v= 4×3 = 12.

D"où-→u·-→v= 12.

ii.-→u·-→v . On fait une projection du vecteur?usur la droite d"action du vecteur?vcomme sur la figure ci-dessus. On obtient deux vecteurs c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 9: Produit scalaire

colinéaires et de sens contraire, donc-→u·-→v=-2×4 =-8.

D"où-→u·-→v=-8.

iii.-→u·-→v . On fait une projection du vecteur?vsur la droite d"action du vecteur?ucomme sur la figure ci-dessus. On obtient deux vecteurs colinéaires et de même sens, donc-→u·-→v= 4×1 = 4.

D"où-→u·-→v= 4.

2.Déduisons la valeur de l"angle géométrique formé par ces deux vecteurs.Soitαla mesure de l"angle formé par les vecteurs?uet?v.

On sait que?u·?v=||?u|| × ||?v|| ×cos(α)donccos(α) =?u·?v ||?u|| × ||?v|| a.||?u||= 4,||?v||= 3⎷2et-→u·-→v= 12.

On a:cos(α) =12

4×3⎷2=1⎷2=⎷

2 2.

α?[0,π]doncα=π

4c"est-à-direα= 45◦.

b.||?u||= 2⎷2,||?v||= 4et-→u·-→v=-8.

On a :cos(α) =-8

2⎷2×4=-1⎷2=-⎷

2 2.

α?[0,π]doncα=3π

4c"est-à-direα= 135◦

c.||?u||= 4,||?v||=⎷5et-→u·-→v= 4.

On a :cos(α) =4

4×⎷5=1⎷5=⎷

5 5.

α= cos-1?

5 5? = 63,45◦.

D"oùα= 63,45◦

Exercice8:

Considérons les pointsA(2,-5),B(3,-2)C(5,1)etD(0,-2).

Calculons les produits scalaires ci-dessous:

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Chapitre 9: Produit scalaire

1.-→AB·-→AC.

AB?xB-xA

y B-yA? alors-→AB?3-2 -2-(-5)? donc-→AB?13?

AC?5-2

1-(-5)?

donc-→AC?36? = 1×3 + 3×6 = 3 + 18 = 21

D"où

AB·-→AC= 21

2.--→BC·-→AC.

BC?5-3

1-(-2)?

donc--→BC?23? et-→AC?36? Alors

BC·-→AC= 2×3 + 3×6 = 6 + 18 = 24.

D"où--→BC·-→AC= 24

3.--→CD·-→AB.

CD?0-5

-2-1? donc--→CD?-5 -3? et-→AB?13? Alors

CD·-→AB=-5×1 + (-3)×3 =-5-9 =-14.

D"où--→CD·-→AB=-14

4.--→

AD·--→BD.

AD?0-2

-2-(-5)? donc--→ AD?-2 3? et

BD?0-3

-2-(-2)? donc--→BD?-3 0? Alors

AD·--→BD=-2×(-3) + 3×0 = 6.

D"où--→

AD·--→BD= 6

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Chapitre 9: Produit scalaire

Exercice9:

Soient-→u?3

a? et-→v?-2 1? deux vecteurs du plan etaun nombre réel.

On a:?u·?v= 3×(-2) +a×1 =a-6.

Déterminons la valeur deadans chacun cas pour que :

1.?u·?v= 3.

?u·?v= 3?a-6 = 3 ?a= 3 + 6 ?a= 9

D"oùa= 9

2.?u·?v=-4.

?u·?v=-4?a-6 =-4 ?a=-4 + 6 ?a= 2

D"où a=2

3.(2?u)·?v=34

(2?u)·?v=3

4?2(?u·?v) =34

?2(a-6) =3 4 ?2a-12 =3 4 ?2a=3 4+ 12 ?2a=3 + 48 4 ?2a=51 4 ?a=51 8 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12

Chapitre 9: Produit scalaire

D"oùa=518

4.?u·?v= 2⎷2

?u·?v= 2⎷

2?a-6 = 2⎷2

?a= 6 + 2⎷ 2

D"oùa= 6 + 2⎷

2

Exercice10:

On considère un triangleABC.

1.Déterminons, si possible, la longueurAClorsque dans le triangleABC

on a: a.AB= 4 ;-→AB·-→AC=-8;?BAC= 30◦.

On a:-→AB·-→AC=AB×AC×cos(?BAC)

Ainsi,-8 = 4×AC×cos(30◦)orcos(30◦) =⎷ 3

2donc on obtient:

-8 = 4×AC×⎷3

2? -8 = 2⎷3×AC?AC=-4⎷3ce qui est

absurde carACest une distance et ne peut être négative. Donc il n"est pas possible de déterminer une distance deACdans ces conditions. b.AB= 6;-→AB·-→AC=-12;?BAC= 120◦. On a:-→AB·-→AC=AB×AC×cos(?BAC). Ainsi,-12 = 6×AC×cos(120◦)orcos(120◦) =-1

2donc on obtient:

-12 = 6×AC×(-1

2)? -12 =-3×AC?AC= 4.

D"où la longueurAC= 4

2.Déterminons, si possible, une mesure de l"angle?BAC.

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Chapitre 9: Produit scalaire

a.AB= 4 ;AC= 2⎷2 ;-→AB·-→AC=-8.-→AB·-→AC=-8?AB×AC×cos(?BAC) =-8 ?4×2⎷

2×cos(?BAC) =-8

?8⎷quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22