[PDF] I Eléments de cours à connaître

Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale

BTS-CPI1, D- Vecteurs Exercices Fiche 3 D- Calcul Vectoriel Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale L’unité de longueur étant le carreau, calculer le produit scalaire −→ OA −−→ OB dans chacun des cas suivants : Cas 1 : b O b A b B Cas 2 : b O b A b B Cas 3 : b O b A b B Cas 4 : × O b A b B Cas 5 : b O b A b B

Exercices corrigés - AlloSchool

Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale Exercices 10, 11, 12 et 14 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs et d’un angle orienté

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e December 11, 2008

1-2 Exercices avec indications seulement 1-2 1 Exercice 1b - Produit scalaire Soit E = R 2 [X] l’ensemble des polyn^omes de degr¶e inf¶erieur ou ¶egal µa 2 On appelle ’ l’application d¶eflnie de E 2 dans de Rpar : ’ (P;Q) = Z 1 0 P (x) Q (x) dx 1 Montrer que ’ est un produit scalaire E On rappelle le r¶esultat

PRODUIT SCALAIRE CORRECTION DES EXERCICES

Chapitre 9: Produit scalaire D’où −−→ AD · −→ CA =−a2 Exercice 5 : Calculons les produits scalaires suivants 1 −−→ AD ·→−v Pour calculer ce produit scalaire nous allons faire une transaction du vecteur −−→ AD sur la droite d’action du vecteur~v puis faire une projection orthogonale du point représentant

Produit Scalaire dans le Plan - WordPresscom

TSSI 2019/2020 Correction Exercices 3 : Produit Scalaire, Équations Cartésiennes de Plan Ch6 Géométrie Espace Produit Scalaire dans le Plan : Exercice 1 : Utilisation du quadrillage, Projeté orthogonal Dans chaque cas calculer AB: AC Les cas 1 et 2 se prêtent à de la projection orthogonale Les cas 3 et 4 se compliquent b A b B b C

Le produit scalaire - Maths Exercices

Autres expressions du produit scalaire O Projection orthogonale : si u est non nul, u v = u • VI , où v 1 est la projection orthogonale de v sur une droite de direction u Ill/ —V 112 Carrés scalaires : pour tous vecteurs u et v on a : U V — Expression analytique : Dans un repère orthonormé, si les vecteurs u et v ont

I Eléments de cours à connaître

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs I Eléments de cours à connaître I 1 Définition du produit scalaire I 2 Conséquences / propriétés I 3 Application : formule d’Al Kashi I 4 Projection d’un vecteur I 5 Expression analytique I 6 Une propriété utile pour les exercices II Exercices d’applications III Corrections des exercices

Feuille d’exercices n 3 - Université Paris-Saclay

Si cela n’est pas pr´ecis´e, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique 1) Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendr´e par les vecteurs v1 = (1,−1,2) , v2 = (1,0,1) Donner une ´equation de E, une base orthonorm´ee de E, une base orthonorm´ee de E⊥ et la projection orthogonale de (1,1,1) sur E

Feuille d’exercices no2 Espaces pr ehilbertiens

Feuille d’exercices no2 orthogonale pour le produit scalaire (f,g) Montrer que la projection orthogonale pF de E sur F est une

Projection orthogonale pdf - opefexofileswordpresscom

Formation orthogonal projection onto the line spanned by a 1 Projection orthogonale sur une droite 5 La matrice de projection orthogonale Ce point y est en fait la projection orthogonale de x sur le plan P exercice dessin technique projection orthogonale pdf 2 de projection : Soit A un sous ensemble convexe fermé et Lecture 8

[PDF] projeté orthogonal d'un point sur une droite

[PDF] projeté orthogonal espace

[PDF] les systèmes politiques dans le monde

[PDF] enjeux et approches théoriques" pdf

[PDF] systèmes politiques comparés cours

[PDF] cours energie solaire thermique pdf

[PDF] puissance panneau solaire thermique au m2

[PDF] dimensionnement installation solaire thermique

[PDF] calcul surface capteur solaire thermique

[PDF] capteur solaire thermique fonctionnement

[PDF] capteur solaire thermique plan vitré

[PDF] analepse

[PDF] cours solaire thermique

[PDF] energie solaire thermique exposé

[PDF] la planète des singes pierre boulle pdf

1

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

I.2 Conséquences / propriétés

I.3 Application

I.4

I.5 Expression analytique

I.6 Une propriété utile pour les exercices

II. ǯ

III. Corrections des exercices

2

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs

BA, est un scalaire et est noté BA.

Il est défini de la manière suivante :

)cos(...BABA , avec ),(BAD angle formé par les deux vecteurs BA, de normes respectives A et B

I.2 Conséquences/propriétés

ABBA..

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul La norme des deux vecteurs étant fixée, le produit scalaire de deux vecteurs est extrémal lorsque les deux vecteurs sont colinéaires

CBCACBA..).(

2..AAAAA

AAA.

I.3 Application : fǯ-Kashi

Soient deux vecteurs

A et B

BABBAABABABA.2..)).((

2 ),cos(..2

22BABABABA

Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais il est inutile de la

, le plus simple étant de la retrouver, comme indiqué ci-dessus. 3

I.4 Pǯ

BdBABA.)cos(... D

avec d la projection du vecteur A sur B

Application ǣǯorthonormée (

yxuu, yyxxuAuAA avec )cos(.AuAAxx et )sin(.AuAAyy

Voir aussi :

Soient deux bases orthonormées (

yxuu, ) et ( uur, du plan, définies sur la figure ci-contre.

Exprimer les vecteurs

ru et u dans la base ( yxuu, puis les vecteurs xu et yu dans la base ( uur, 4

I.5 Expression analytique

Soit ),,(zyxeee une base orthonormée directe dans un espace vectoriel à trois dimensions. BA, sont deux vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( ),,AAAzyx et ( ),,BBBzyx dans la base précédente. Il découle de la définition du produit scalaire :

BABABAzzyyxxBA .

222

AAAzyxA

I.6 Propriété utile pour les exercices

ȋͳȌȋǯʹȌperpendiculaires à (D2). Les angles formés par les droites 5

II. Exercicǯ

Dans tous les exercices, on prend comme sens positif des angles le sens trigonométrique.

Exercice 1 : Projections et produit scalaire

On considère une base orthonormée du plan (

yxuu, ). Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur xu et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur yu Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base yxuu, ). Déterminer le produit scalaire vu. de deux manières différentes.

Exercice n°2 : Pendule pesant

P de norme P et la tension T du fil de norme T. La position du point M est paramétrée ǯ (voir figure ci-contre). Déterminer les composantes de ces deux forces dans la base orthonormée ( uur, ) définie sur le dessin.

Exercice 3 : Palet sur un plan incliné

trois forces : son poids caractérisé par le vecteur P de norme P et de la part du plan incliné la réaction normale N de norme N et la réaction tangentielle T de norme T (frottements solide). On considère par ailleurs deux bases orthonormées du plan : ( yxuu, ) et ( '',yxuu ) (voir dessin)

1) Exprimer les trois forces considérées dans les deux

bases différentes.

2) Exprimer la résultante des forces

TNP dans la base ( '',yxuu

3) Déterminer la norme du vecteur

TP

4) Soit un vecteur

v de norme v et faisant un angle avec le vecteur 'xu . Exprimer vP. en fonction de P, v, et . 6 Exercice 4 : Pendule pesant sur un plan incliné

On considère le

pendule pesant de incliné (Oxy) ǯ par rapport à

ǯ (AX). La

droite (OA) est sur la ligne de plus grande pente et on donne

OA=L. Déterminer la

projection ZM du vecteur AM suivant

Ǯ (AZ).

Vérifier votre résultat en considérant des cas limites (=0 ou /2).

Exercice 5 : Point matériel sur un cerceau

On considère un anneau assimilé à un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cerceau de rayon a de centre C.

ǯ et la base

uur, ) est orthonormée directe. Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P.

Le vecteur

yu est suivant la direction verticale.

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Exprimer le vecteur

OM dans la base orthonormée uur, ) définie sur le schéma ci-contre (on pourra utiliser :

CMOCOM

3) En déduire la longueur OM et commenter.

Exercice 6 : Cerceau lesté sur un plan incliné On considère un cerceau circulaire de rayon R, de centre C ǯ par une masse supposée ponctuelle M de masse m.

On considère la base orthonormée (

uur, ) comme définie sur le dessin, dépendant de la position de M. particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P. 7

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Déterminer la projection du vecteur

OM (Oy) en fonction de , R et la distance OH.

3) On admet que la vitesse du point M

suivante udt dRuVMVxC ')( . Déterminer les composantes de cette vitesse dans la base '',yxuu 8

III. Corrections des exercices

9 10quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22