Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale
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Si cela n’est pas pr´ecis´e, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique 1) Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendr´e par les vecteurs v1 = (1,−1,2) , v2 = (1,0,1) Donner une ´equation de E, une base orthonorm´ee de E, une base orthonorm´ee de E⊥ et la projection orthogonale de (1,1,1) sur E
Feuille d’exercices no2 Espaces pr ehilbertiens
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Universit´e Paris VIIMA4 (Groupe MS3)
Licence L2 - MASS2005-2006
Feuille d"exercices n
◦3 Si cela n"est pas pr´ecis´e, l"espace vectorielRnest muni du produit scalaire canonique.1)SoitEle sous-espace vectoriel deR3engendr´e par les vecteurs
v1= (1,-1,2),v2= (1,0,1).
Donner une ´equation deE, une base orthonorm´ee deE, une base orthonorm´ee deE?et la projection orthogonale de(1,1,1)surE. Pour d´eterminer une base orthonorm´ee deE, il s"agit d"appliquer l"algorithme d"orthonorma- lisation de Gram-Schmidt aux vecteursv1etv2. Posonsv?1=v1;u1=1 ?v?1?v?1=1⎷6(1,-1,2).Posons ensuitev?2=v2-(u1|v2)u1=v2-1
2v1=12(1,1,0), puisu2=1?v?2?v?2=1⎷2(1,1,0).
Une base orthonormale deEest donc form´ee des vecteursu1etu2. Pour d´eterminer une ´equation deE, on peut chercher une ´equationax+by+cz= 0 satisfaite parv1et parv2, on trouve le syst`eme d"´equations suivantes pour (a,b,c)?R3: ?a-b+ 2c= 0 a+c= 0 On obtient que les solutions sont les multiples du triplet (1,-1,-1). L"hyperplanEdeR3 est donc d´efini par l"´equationx-y-z= 0. On reconnaˆıt queEs"identifie `a l"orthogonal du vecteurw= (1,-1,-1), c"est-`a-dire que E=D?o`uDest la droite vectorielle engendr´ee parw= (1,-1,-1). Dans un espace euclidien, on a (D?)?=D, doncE?est la droite vectorielle engendr´ee parw, le vecteur 1 ⎷3(1,-1,-1) constitue donc une base orthonormale deE?1. Soitple projecteur orthogonal surE. Pour d´eterminerp(1,1,1), plusieurs m´ethodes sont possibles. Commeu1,v2est une base orthonormale deE, on peut utiliser la formule suivante pour tout vecteuru: p(u) = (u1|u)u1+ (u2|u)u2. d"o`u p(1,1,1) =13(1,-1,2) + (1,1,0) =23(2,1,1) .
La deuxi`eme m´ethode consiste `a noterqle projecteur orthogonal surE?. Pour tout vecteur u, on a la relationu=p(u) +q(u), ainsip(u) =u-q(u), mais commeE?est la droite vectorielle engendr´ee par le vecteur unitairew?=1 ?w?w, on aq(u) = (w?|u)w?d"o`up(u) = u-(w?|u)w?=u-13(w|u)w, ainsi :
p(1,1,1) = (1,1,1) +13(1,-1,-1) =23(2,1,1) .
2)Appliquer l"algorithme de Gram-Schmidt aux vecteurs
v1= (1,2,1),v2= (2,3,0),v3= (0,1,0)
1On peut aussi obtenir un vecteur deE?en prenant le produit vectorielv1?v2: on trouve (-1,1,1). Je rappelle
que le produit vectoriel est d´etermin´e par la formule suivante : (x,y,z)?(x?,y?,z?) = (yz?-zy?,zx?-xz?,xy?-yx?) . 1 pour obtenir une base orthonormale deR3.Posonsv?1=v1, puisu1=1
?v?1?=1⎷6(1,2,1).Posonsv?2=v2-(u1|v2)u1; on obtientv?2=v2-1
6(v?1|v2)v?1= (2,3,0)-43(1,2,1) =
13(2,1,-4), d"o`uu2=1?v??2=1⎷21(2,1,-4).
Posonsv?3=v3-(u1|v3)u1-(u2|v3)u2= (0,1,0)-1
3(1,2,1)-121(2,1,-4) =121(-9,6,-3) =
17(-3,2,-1), d"o`uu3=1⎷14(-3,2,-1).
On obtient le triplet de vecteurs (u1,u2,u3).
3)Soitfl"endomorphisme deR3donn´e par la matrice suivante
M=((-3
54500 0 1 4
5350))
Montrer quefest une rotation, d´eterminer son axe et son angle. Commen¸cons par montrer quefest une isom´etrie, c"est-`a-dire queMest une matrice ortho- gonale. Pour cela, notonsv1= (-35,0,45),v2= (45,0,35) etv3= (0,1,0) les vecteurs colonnes
de cette matrice. On v´erifie aussitˆot que ces vecteurs forment une base orthonormale puisque les relations suivantes sont satisfaites : ?v1?2=?v2?2=?v3?2= 1 ; (v1|v2) = (v1|v3) = (v2|v3) = 0 .Si on d´eveloppe le d´eterminant deMpar rapport `a la derni`ere ligne, on obtient que le d´eter-
minant deMest32+4252= 1; par cons´equentMest une matrice orthogonale de d´eterminant
1, l"endomorphisme associ´efest une rotation.
Commefest une rotation qui n"est pas l"identit´e, l"axe defest la droite vectorielle fix´ee parf, autrement dit l"espace propre associ´e `a la valeur propre1. La r´esolution du sys- t`eme d"´equation correspondant donne que l"axe de rotation defest la droite vectorielleD engendr´ee par le vecteurv= (1,2,2). Posonsu=1 ?v?v=13(1,2,2). Soitθl"angle de la rotationfautour de l"axeDorient´e dans le sens du vecteuru. On sait que la trM= 1+2cosθ, d"o`u cosθ=-45. On en d´eduit queθ= arccos(-45) ouθ=-arccos(-45),
mais il faut faire plus de calculs pour d´eterminer le signe deθ. Il faut bien comprendre que le signe deθn"a de sens qu"`a partir du moment o`u on fixe une orientation de l"axeD: si onprenait le sens donn´e par-uau lieu deu, le signe deθsera invers´e. Pour conclure, il s"agit
de calculer la matrice defdans une base orthonorm´eedirecteadapt´ee `a la situation. Le vecteuru?=1 ⎷5(2,-1,0) est unitaire et orthogonal au vecteuru. Pour obtenir le vecteuru?? tel que (u,u?,u??) soit une base orthonormale directe, il s"agit de prendre leproduit vectoriel u ??=u?u?, on obtient : u ??=13⎷5(2,4,-5).
On peuta prioridire que la matriceM?defdans la nouvelle base (u,u?,u??) est de la forme : M ?=((1 0 00 cosθ-sinθ0 sinθcosθ))
Il n"y a plus qu"`a d´eterminer le coefficient sinθ, il est donn´e par la formule : sinθ= (f(u?)|u??) .On obtientf(u?) =1
⎷5(2v1-v2) =15⎷5(-10,0,5) =1⎷5(-2,0,1), d"o`u sinθ= (f(u?)|u??) = 915=-35<0. On en d´eduitθ=-arccos(-45).
24)Soitfla rotation deR3d"axe dirig´e par le vecteur(1,1,1)et d"angleπ4. D´eterminer la
matriceMdefdans la base canonique.Notonsu=1
⎷3(1,1,1). Compl´etonsupour obtenir une base orthonormale directe (u,u?,u??) deR3. On choisit pouru?un vecteur unitaire orthogonal `au, par exempleu?=1 ⎷2(1,-1,0). Le troisi`eme vecteur est donn´e par la formuleu??=u?u?=1 ⎷6(1,1,-2). La matrice def dans la base (u,u?,u??) est M 1 0 00 cosπ
4-sinπ40 sinπ
4cosπ4))
=((1 0 00 1 ⎷2-1⎷201 ⎷21⎷2)) NotonsPla matrice carr´ee dont les vecteurs-colonnes sont les coordonn´ees des vecteurs (u,u?,u??). La matrice cherch´ee estM=PM?P-1. Comme (u,u?,u??) est une base ortho- normale,Pest une matrice orthogonale, par cons´equentP-1=tP, d"o`uM=PM?tP. Le calcul donne : M=13⎷2((⎷
2 + 2⎷2-⎷3-1⎷2 +⎷3-1⎷
2 +⎷3-1 2 +⎷2⎷2-⎷3-1⎷
2-⎷3-1⎷2 +⎷3-1 2 +⎷2))
5)Soitvun vecteur unitaire deR3. On consid`ere l"applicationf:R3→R3d´efinie par
f(u) =u-2< u,v > v. a)Montrer quefest une isom´etrie. Il s"agit de montrer que pour tout vecteuru, on a?f(u)?2=?u?2. Pour cela, on proc`ede au calcul suivant : ?f(u)?2=< f(u),f(u)> =< u-2< u,v > v,u-2< u,v > v > =< u,u >-2< u,v >< v,u >-2< u,v >2+4< u,v >2< v,v > =?u?2+ 4< u,v >2(?v?2-1) =?u?2(vest unitaire, donc?v?= 1.) On a bien montr´e quef´etait une isom´etrie. b)Montrer quefest un endomorphisme sym´etrique. Il s"agit de montrer que siuetu?sont deux vecteurs, alors< u,f(u?)>=< f(u),u?>.On obtient :
< u,f(u?)>=< u,u?-2< u?,v > v > =< u,u?>-2< u?,v >< u,v >; < f(u),u?>=< u-2< u,v > v,u?> =< u,u?>-2< u,v >< v,u?>. On obtient bien< u,f(u?)>=< f(u),u?>;fest un endomorphisme sym´etrique. c)Dans le cas o`uv=1 ⎷21(1,2,4), donner la matrice defdans la base canonique.On applique la d´efinition defpour calculer l"image des vecteurs de la base canonique : f(1,0,0) = (1,0,0)-221(1,2,4) =121(19,-4,-8) ;
f(0,1,0) = (0,1,0)-421(1,2,4) =121(-4,13,-16) ;
f(0,0,1) = (0,0,1)-821(1,2,4) =121(-8,-16,-11) .
3La matrice defdans la base canonique est donc :
1 21((19-4-8
-4 13-16 -8-16-11))6)Soitpla projection orthogonale sur le sous-espace vectorielEdeR3d´efini par l"´equation
x+ 2y+ 3z= 0. a)D´eterminer la matrice depdans la base canonique.On remarque queEest l"orthogonal de la droite vectorielleDengendr´ee par le vecteur unitairev=1 ⎷14(1,2,3). Soitqle projecteur orthogonal surD. Pour tout vecteurudeR3, on au=p(u) +q(u) et q(u) = (u|v)v, d"o`up(u) =u-(u|v)v. L"image des vecteurs de la base canonique parp donne les vecteurs-colonnes de la matricePdepdans la base canonique, on obtient : P= 1 14((13-2-3
-2 10-6 -3-6 5)) b)D´eterminer la matrice de la sym´etrie orthogonale d"axeE.Soitsla sym´etrie orthogonale d"axeE. On a la relations= 2p-id, la matrice cherch´ee est donc : 1 7(( 6-2-3 -2 3-6 -3-6-2))7)On consid`ere l"applicationN:R2→Rd´efinie par
N(x,y) =|x|+?
x2+y2. a)Montrer queNest une norme surR2.Tout d"abord, pour tout vecteur (x,y),N(x,y) est positif ou nul. Il est clair que si (x,y)?R2etλ?R, alorsN(λx,λy) =|λ|N(x,y) .
Si (x,y) est tel queN(x,y) = 0, on a|x|+?
x2+y2= 0; il s"agit de la somme de deux nombres positifs ou nuls, comme cette somme est nulle, ces deux nombres sont nuls, d"o`u|x|= 0 et? x2+y2= 0. Il vientx= 0 puis?y2= 0, doncx= 0 ety= 0. Il reste `a montrer l"in´egalit´e triangulaire. On se donnedeux vecteurs (x,y) et (x?,y?) deR2. On veut montrer que Les propri´et´es de la valeur absolue font que par ailleurs, l"in´egalit´e triangulaire pour la norme euclidienne usuelle surR2donne :En"additionnant»les deux in´egalit´es pr´ec´edentes, on obtient l"in´egalite voulue.
b) Dessiner la boule unit´e associ´ee `aN.Dessinons plutˆot la sph`ere unit´e, la boule unit´e ´etantconstitu´ee de la sph`ere unit´e
et de la partie qu"elle d´elimite. Il s"agit de r´esoudre l"´equation|x|+? qui ´equivaut `a? 2.2. Il s"agit de repr´esenter ces deux arcs
de paraboles : 4 118)Les parties suivantes deR2sont-elles ouvertes, ferm´ees, born´ees, compactes?
-A1=?(x,y)?R2,x2+y2<42?; -A2=?(x,y)?R2,x2> y?; -A3=?(x,y)?R2,x2≥y >0?; -A4=?(x,y)?R2,x2=y?; -A5=?(x,y)?R2,x2-y2= 1?. Soitf1:R2→Rl"application (x,y)?-→x2+y2, on aA1=f-11(]- ∞,42[);A1est l"image inverse d"un intervalle ouvert par l"application continuef1,A1est donc ouvert. Ensuite,A1 n"est pas vide (il contient (0,0)) et n"est pasR2tout entier (42,0)??A1; comme on sait que les seules parties deR2`a la fois ouvertes et ferm´ees sont l"ensemble vide etR2, il vient que A1n"est pas ferm´e2. CommeA1n"est pas ferm´e,A1n"est pas compact non plus. Enfin,A1
42 o`u?·?d´esigne la norme euclidienne
usuelle. Soitf2:R2→Rl"application (x,y)?-→x2-y, on aA2=f-12(]0,+∞[). On en d´eduit quela partieA2est ouverte, et de mˆeme que pr´ec´edemment, non ferm´ee et donc non compacte.
La partieA2n"est pas born´ee puis que pour tout entiern >0, l"´el´ement (n,0) est dansA2 et que la norme de (n,0) tend vers +∞. L"ensembleA3n"est ni ouvert ni ferm´e. En effet, la suite (1 n,1n2), form´ee d"´el´ements deA3, converge vers (0,0)??A3, doncA3n"est pas ferm´e; inversement, la suite (1,1-1 n) est form´ee d"´el´ements n"appartenant pas `aA3et converge vers (1,1)?A3, le compl´ementaire deA3 n"est donc pas ferm´e,A3n"est pas ouvert. Les ´el´ements (n,1) pourn≥1 sont dansA3mais leur norme tend vers +∞,A3n"est pas born´e et donc pas compact non plus. La partieA4est l"image inverse par l"application continue (x,y)?-→x2-ydu singleton{0}qui est ferm´e, par cons´equentA4est ferm´e. Il n"est pas ouvert parce queA4n"est pas vide ni
tout. Cette partie n"est pas born´ee puisque la suite (n,n2) d"´el´ements deA4voit sa norme tendre vers +∞; on en d´eduit queA4n"est pas compact. La partieA5est ferm´ee puisque c"est l"image inverse par l"application continue de (x,y)?-→ x