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Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale

BTS-CPI1, D- Vecteurs Exercices Fiche 3 D- Calcul Vectoriel Exercice 1 : Produit Scalaire et projection orthogonale L’unité de longueur étant le carreau, calculer le produit scalaire −→ OA −−→ OB dans chacun des cas suivants : Cas 1 : b O b A b B Cas 2 : b O b A b B Cas 3 : b O b A b B Cas 4 : × O b A b B Cas 5 : b O b A b B

Exercices corrigés - AlloSchool

Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale Exercices 10, 11, 12 et 14 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs et d’un angle orienté

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e December 11, 2008

1-2 Exercices avec indications seulement 1-2 1 Exercice 1b - Produit scalaire Soit E = R 2 [X] l’ensemble des polyn^omes de degr¶e inf¶erieur ou ¶egal µa 2 On appelle ’ l’application d¶eflnie de E 2 dans de Rpar : ’ (P;Q) = Z 1 0 P (x) Q (x) dx 1 Montrer que ’ est un produit scalaire E On rappelle le r¶esultat

PRODUIT SCALAIRE CORRECTION DES EXERCICES

Chapitre 9: Produit scalaire D’où −−→ AD · −→ CA =−a2 Exercice 5 : Calculons les produits scalaires suivants 1 −−→ AD ·→−v Pour calculer ce produit scalaire nous allons faire une transaction du vecteur −−→ AD sur la droite d’action du vecteur~v puis faire une projection orthogonale du point représentant

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TSSI 2019/2020 Correction Exercices 3 : Produit Scalaire, Équations Cartésiennes de Plan Ch6 Géométrie Espace Produit Scalaire dans le Plan : Exercice 1 : Utilisation du quadrillage, Projeté orthogonal Dans chaque cas calculer AB: AC Les cas 1 et 2 se prêtent à de la projection orthogonale Les cas 3 et 4 se compliquent b A b B b C

Le produit scalaire - Maths Exercices

Autres expressions du produit scalaire O Projection orthogonale : si u est non nul, u v = u • VI , où v 1 est la projection orthogonale de v sur une droite de direction u Ill/ —V 112 Carrés scalaires : pour tous vecteurs u et v on a : U V — Expression analytique : Dans un repère orthonormé, si les vecteurs u et v ont

I Eléments de cours à connaître

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs I Eléments de cours à connaître I 1 Définition du produit scalaire I 2 Conséquences / propriétés I 3 Application : formule d’Al Kashi I 4 Projection d’un vecteur I 5 Expression analytique I 6 Une propriété utile pour les exercices II Exercices d’applications III Corrections des exercices

Feuille d’exercices n 3 - Université Paris-Saclay

Si cela n’est pas pr´ecis´e, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique 1) Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendr´e par les vecteurs v1 = (1,−1,2) , v2 = (1,0,1) Donner une ´equation de E, une base orthonorm´ee de E, une base orthonorm´ee de E⊥ et la projection orthogonale de (1,1,1) sur E

Feuille d’exercices no2 Espaces pr ehilbertiens

Feuille d’exercices no2 orthogonale pour le produit scalaire (f,g) Montrer que la projection orthogonale pF de E sur F est une

Projection orthogonale pdf - opefexofileswordpresscom

Formation orthogonal projection onto the line spanned by a 1 Projection orthogonale sur une droite 5 La matrice de projection orthogonale Ce point y est en fait la projection orthogonale de x sur le plan P exercice dessin technique projection orthogonale pdf 2 de projection : Soit A un sous ensemble convexe fermé et Lecture 8

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!AB:!AC A? B C H

AB:!AC=ABAH= 12

A B C H

AB:!AC=ACAH=3

A B C H B× H C H B H C

AB:!AC=:::= 10

A B? C H C× H B H C H B

AB:!AC=:::=5

AB= 2AC=p

3(!AB;!AC)

6 rad !AB:!AC

AB:!AC= 2p

3( 6 ) = 3

CD= 3CF= 4!CD:!CF= 6p

2 (!CD;!CF)

CD:!CF|

{z 6p 2 =CDCF| {z

34(!CD;!CF)

)(!CD;!CF) =6p 2 34=p
2 2 (!CD;!CF) 4 +k2k2Z (AB)

M(x;y)2(AB),!AM(x5

y+2)!AB(3

1),1(x5) + 3(y+ 2) = 0,

[AB] d ax+by+c= 0 (b a) d(a b) d !n(1

3) (AB) !n:!AB= 0

[AB] (AB) !n

I [AB] (7

2 ;3 2 ) I !n 3xy12 = 0

ĕ[AB]

2 !MA:!MB= 0(5x

2y):(2x

1y)= 0

(5x)(2x) + (2y)(1y) = 0x27x+y2+ 3y+ 12 = 0

I [AB] (7

2 ;3 2 ) AB 2 =p 10 2 4 =5 2 (x7 2 )2+ (y+3 2 )2=5 2

14AC=p

30BC= 3p

2 !AB:!AC

AB:!AC=1

2 jj!ABjj2+jj!ACjj2 jj!AC!ABjj2) =1 2 (14 + 3092) = 13 (!AB;!AC)

AB:!AC=ABAC(!AB;!AC)

(!AB;!AC) =13p 105
210
(!AB;!AC) 51
A B C D J 3 !DA:!DJ=aa 2 1 2 =a2 4

I (DG)

!GI:!GD A? B C? D E? F G? H I K

I(DG)K

!DK=1 4 !DG

ĕ(A;!AB;!AD;!AE)

I(1 2 ;0;0)D(0;1;0)G(1;1;1)!DG0 @1 0 11 A (DG) 8 :x=t y= 1 z=tt2R

K(x;y;z)2(DG))K(t;1;t))!IK0

@t1 2 1 t1 A !IK:!DG= 0,0 @t1 2 1 t1 A :0 @1 0 11 A = 0,t1 2 +t= 0,t=1 4 K (1 4 ;1;1 4 )!DK=1 4 !DG !GI:!GD=GKGD ɍGK=3 4

GDGD=ap

2 !GI:!GD=3 2 a2

ABCDEFGH ĕ ?

A? B C? D E? F G? H I J 2 !AB;!AD;!AE) !JI0 @1 0:5 0:51 A !JF0 @1 1 01 A !JI:!JF=1 + 0:5 =0:5 (!JI;!JF)

JI:!JF=0:5 =JIJF(!JI;!JF)

(!JI;!JF) =0:5 p

1 + 0:25 + 0:25p

1 + 1 (!JI;!JF) 106;8
(AB)(CD) AB0 @1 1 11 A !CD0 @2 1 11 A !AB:!CD= 211 = 0 ABCD (AB)(CD) (AB) 8 :x=t y=t+ 1 z=t+ 2t2R(CD)8 :x= 2t′+ 5 y=t′3 z=t′2t′2R 8>< :t= 2t′+ 5 t+ 1 =t′3 t+ 2 =t′28 :t= 2t′+ 5

2t′+ 6 =t′3;t′=3

2t′+ 7 =t′2;t′=3;t=1

ABCD ĕ

AB=AC=AD=BD=BC=CD= 4p

2

I [BA]

I(2;0;0)

(AI)(CD) AI0 @0 2 21
A !CD0 @0 4 41
A !AI:!CD=2(4)24 = 0

ABCD ĕ

OA=OB=OC=OD= 2p

3 ABCD ĕ (0;0;0)

2p 3 A B C D J I

IJ [AB][CD]

!AB:!CA!AB:!AD

AB:!CA=!AB:!AC=aa(

3 ) =a2 2 !AB:!AD=aa( 3 ) =a2 2 !AB:!CD !AB:!CD=!AB:(!CA+!AD) =!AB:!CA+!AB:!AD= 0 !IJ=1 2 !AB+!BC+1 2 !CD

IJ=!IB+!BC+!CJ=1

2 !AB+!BC+1 2 !CD (IJ) (AB)(CD) !IJ:!AB=1 2 !AB:!AB+!BC:!AB+1 2 !CD:!AB=1 2 a21 2 a2+ 0 = 0 !IJ:!CD= 0 (IJ) (AB)(CD) IJ a

BCD BJ=ap

3 2

BJI IJ=p

2 2 a

P A !n

A(2;1;3)!n0

@1 1 41
A

A(0;2;3)!n0

@5 0 11 A

A(5;3;1)!n0

@0 0 21
A

M(x;y;z) A !n !AM0

@x+ 2 y1 z31 A !n0 @1 1 41
A (x+ 2) + (y1)4(z3) = 0 x+y4z+ 13 = 0

ā 5x+z+ 3 = 0 2z2 = 0

PP′

P 0 @1 3 21
A

P′ 0

@2 1 71
A

PP′{

x3y+ 2z= 5 >>:z=t x=8 7 23
7 t y=9 7 3 7 tt2R x3y+ 2z= 5 L 1

2x+y+ 7z= 1

L 2 z=t)8 :z=t x3y= 52t L 1

7y=93t

L 22L1
8 >>:z=t x=8 7 23
7 t y=9 7 3 7 t P d

P:xy+z= 0d8

:x= 2t+ 1 y=t1 z=t+ 2t2R

P !n0

@1 1 11 A d !u0 @2 1 11 A !n!u dP {z x(t1)| {z y+(t+ 2)| {z z= 0t=1 8 :x=1 y= 0 z= 1

P:x+ 2y+z=1d8

:x=t+ 1 y= 2 z=t+ 3t2R

P !n0

@1 2 11 A d !u0 @1 0 11 A !n:!u= 0d ĕ P (1;2;3)2d1 + 22 + 3̸=1 d ĕ P

P: 2xy= 1d A(0;1;2)B(1;3;1):

P !n0

@2 1 01 A d !AB0 @1 2 11 A !n:!AB= 0d ĕ P

2xAyA= 1A2P dP

A2d P dP

AB:!AC=0

@3 2 21
A :0 @0 2 11 A = 30 + 2221 = 2 ABAC AB 3

2+ 22+ (2)2=p

17 AC=p 0

2+ 22+ 12=p

5

AB:!AC=ABAC(!AB;!AC)(!AB;!AC)77

ABC

ABC (!AB;!AC) =k180k2Z

ABC

2xy+ 2z+ 2 = 0

A2(2)0 + 21 + 2 = 0 B212 + 2(1) + 2 = 0 C2(2)2 + 22 + 2 = 0

A2PB2PC2P P (ABC)

Pquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22