Exercices d’entra^ nement (Alg ebre 2) Formes bilin eaires R

Algèbre linéaire et bilinéaire (version du 13 novembre 2015) Bernard Le Stum 1 7 Exercices 2 Algèbre linéaire 27 2 1 Espace vectoriel 2 2 Image, noyau

Algèbre linéaire et bilinéaire I

Algèbre linéaire et bilinéaire I 2MA221 Yves Coudène, 1 septembre 2020 Licence de mathématiques, Sorbonne Université Version 2 2020 - 2021

Exercices d’entra^ nement (Alg ebre 2) Formes bilin eaires R

Exercices de pr eparation a l’examen La consigne de r edaction sera : Sauf mention contraire, vos r esultats doivent ^etre justi es, par un calcul d etaill e et/ou un raisonnement clair s’appuyant sur les r esultats donn es en cours La qualit e de la r edaction et la pr ecision des explications fournies entreront pour une part importante dans

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Algèbre bilinéaire et géométrie, 2016-2017 5 Laurent Bessières 2 ormesF bilinéaires en dimension nie symétrique, mais en général il est plus simple et plus rapide de polariser à vue

Algèbre Linéaire et Bilinéaire

Algèbre Linéaire et Bilinéaire euilleF d'exercices n 3 : ormesF quadratiques, espaces euclidiens, matrices symétriques Formes quadratiques Exercice 1 (Exemples sur R3) On considère les formes quadratiques q i, i= 1;2;3, dé nies pour x= t(x 1;x 2;x 3) 2R3 par q 1(x) = x2 1+6x 2 2+6x 2 3+4x 1x 2 2x 1x 3; q 2(x) = x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3; q 3

Algèbre bilinéaire et géométrie

ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Résumé de cours, 2018-2019 LAURENT BESSIÈRES Institut de Mathématiques de Bordeaux 12 mai 2020

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009

2-1 EXERCICES CORRIGES¶ 15 2-1 Exercices corrig¶es 2-1 1 Exercice 4a { Formes bilin¶eaires et quadratiques Les questions 1 et 2 sont ind¶ependantes 1 Soient les formes bilin¶eaires sur R3 suivantes : f1(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 ¡x1y2 ¡x2y1 ¡x1y3 ¡x3y1 ¡ x2y3 ¡x3y2 f2(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 +x1y2 +x2y1 +x1y3 +x3y1 +x2y3 +x3y2

ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route

Mathématiques,

4 Dual d’un espace vectoriel 1 3 Hyperplan 1 3 1 D´eﬁnition SoitE un K-espace vectoriel On appelle hyperplan de E,lenoyau de toute forme lin´eaire sur E autre que la forme nulle

Exercices d'entra^nement (Algebre 2)

Formes bilineaires

Exercice 1

1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui

denissent une forme bilineaire sur l'espaceEindique. (a)b1(u;v) = 2u1v14u2v2+ 3u1v2(E=R2) (b)b2(u;v) =u1v1+ 8u2v43u2(E=R4) (c)b3(u;v) = 2u1v1+ 3u1v2+ 6u2v2+ 3u2v1(E=R2) (d)b4(u;v) =u1v1+u2v2+u3v3(E=R3) (e)b5(u;v) =u1u28v1u2(E=R2) (f)b6(u;v) = 0 (E=R2) (g)b7(u;v) = 3 (E=R2)

2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.

3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?

4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux

facons : (a) en utilisant l'expression deb1 (b) avec des produits matriciels.

Exercice 2

Soient les matrices suivantes associees a des formes bilineaires : A=0 @1 0 0 0 1 1

1 1 21

A B=0 @1 0 4 0 1 1

4 1 01

A C=0 B

B@2 4 0 1

4 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 11

C CA Ecrire l'expression de la forme bilineaire associee a chacune de ces matrices. Lesquelles sont symetriques?

Formes quadratiques

Exercice 3

Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:

b(u;v) = 2u1v1+ 4u1v2+ 4u2v1u2v2+ 3u3v3

1. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.

2. Ecrire la matrice deq.

3. La formeqest-elle denie positive?

Exercice 4

Soit la forme quadratique deR3:q(u) = 2u21+ 2u1u2+u22+u23.

1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.

2. Est-elle denie positive?

Orthogonalite

Exercice 5

1. Soient les vecteurs deR3:

u= (2;1;0)v= (3;6;1)w= (1;0;0) (a) Montrer qu'ils forment une base deR3. (b) Forment-ils une base orthogonale pour le produit scalaire usuel? (c) Calculerjjujj,jjvjjetjjuvjj.

2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.

(a) Montrer quebdenit un produit scalaire<;>(c'est-a- dire qu'elle est denie positive).(b) Soient les vecteurs deR2: u= (2;1)v= (3;12) Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux pour le produit scalaire<;>? (c) Calculerjjujjpour la norme induite par<;>.

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, determiner la dimension deF, la dimension deF?, orthogonal deFdansEpour le produit scalaire usuel, et en donner une base.

1.E=R2;F= Vect((1;1))

2.E=R3;F= Vect((1;1;1))

Exercice 7

SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par

F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g

1. Determiner une base deF.

2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit

scalaire usuel.

3. Determiner une base deF?.

4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur

u= (1;3;2) surF.

5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection

orthogonale surF.

6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une

base deEdans laquelleAest diagonale.

Exercice 8

Soit dansR3, le produit scalaire :

< u;v >= 2u1v1+u2v2+u3v3: Orthonormaliser la base canonique deR3pour ce produit scalaire.

Diagonalisation en base orthonormee

Exercice 9

Soit la forme quadratique deR3denie par :

q(u) = 9u21+ 6u22+u234u1u2:

1. Ecrire sa matriceA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel).

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et

eventuellement le point ou ce minimum (ou maximum) est atteint.

5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et

le vecteur deSou ce minimum est atteint.

6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.

M^emes questions pour

q(u) =u21+ 4u22+u23+ 4u1u2:

Exercice 10

1. Trouver une racine carree de la matrice :

A=13 4

4 5

2. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables

gaussiennes centrees, dont la matrice de covariance estA.

Exercices supplementaires

Exercice 11

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.

A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?

3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,

pour le produit scalaire usuel. Quel theoreme retrouve-t-on?

Exercice 12

Soitbune forme bilineaire symetrique sur un espace vectorielE, qsa forme quadratique associee.

1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)

en fonction deb(x;y),q(x) etq(y).

2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que

retrouve-t-on?

Exercice 13

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de

jjujj2etjjvjj2.

2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit

scalaire usuel.

Revisions

Exercices de preparation a l'examen. La consigne de redaction sera : Sauf mention contraire, vos resultats doivent ^etre justies, par un calcul detaille et/ou un raisonnement clair s'appuyant sur les resultats donnes en cours. La qualite de la redaction et la precision des explications fournies entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies.

Exercice 14

SoientAetBles deux matrices :

A=0 B

B@1=2 1=21=p2 0

1=21=2 0 1=p2

1=2 1=2 1=p2 0

1=21=2 01=p2

1 C CA B=0 @2 4 3 3 1 2

7 5 11

A Montrer queAest une matrice orthogonale, et queBne l'est pas.

Exercice 15

Soit la matriceA:

A=0 @7=2 0 7=2 0 7 0

7=2 0 7=21

A1. Ecrire l'expression de la forme quadratiqueqassociee aA, et de la forme bilineaire symetrique associee aA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel), c'est-a-dire trouverDdiagonale etPorthog- onale telle queA=PDPT. Expliquer comment verier votre calcul.

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. Montrer queAn'est pas denie positive.

5. Montrer queqn'a pas de maximum surR3.

6. Montrer queqa un minimum surR3. Donner un point ou ce

minimum est atteint.

7. Verier que le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1gest

0, et trouver un point deSou ce minimum est atteint.

8. Determiner le maximum deqsurS, et trouver un point de

Sou ce maximum est atteint.

9. Determiner une racine carree deA.

10. M^emes questions pour

A=0 @7 18 1 78

88 161

A (en cas de diculte de calcul des valeurs propres, on pourra admettre que les valeurs propres deAsont 0, 6 et 24).

Exercice 16

On se place dansE=R4, muni du produit scalaire usuel.

SoitFl'espace vectoriel engendre par :

8>>< >:e 1=0 B B@1 2 1 21
C

CA;e2=0

B B@3 7 1 21
C

CA;e3=0

B B@2 2 44
241
C CA9

1. Montrer quefe1;e2;e3gest une base deF.

2. Donner la dimension deF?, puis en determiner une base.

3. Montrer quefe1;e2;e3gn'est pas une base orthogonale de

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Exercices d’entra^ nement (Alg ebre 2) Formes bilin eaires R

Exercices d'entra^nement (Algebre 2)

Formes bilineaires

Exercice 1

1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui

2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.

3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?

4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux

Exercice 2

1 1 21

4 1 01

B@2 4 0 1

4 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 11

Formes quadratiques

Exercice 3

Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:

1. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.

2. Ecrire la matrice deq.

3. La formeqest-elle denie positive?

Exercice 4

1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.

2. Est-elle denie positive?

Orthogonalite

Exercice 5

1. Soient les vecteurs deR3:

2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.

Exercice 6

1.E=R2;F= Vect((1;1))

2.E=R3;F= Vect((1;1;1))

Exercice 7

SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par

F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g

1. Determiner une base deF.

2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit

3. Determiner une base deF?.

4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur

5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection

6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une

Exercice 8

Soit dansR3, le produit scalaire :

Diagonalisation en base orthonormee

Exercice 9

Soit la forme quadratique deR3denie par :

1. Ecrire sa matriceA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et

5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et

6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.

M^emes questions pour

Exercice 10

1. Trouver une racine carree de la matrice :

A=13 4

2. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables

Exercices supplementaires

Exercice 11

1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.

A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?

3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,

Exercice 12

1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)

2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que

Exercice 13

1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de

2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit

Revisions

Exercice 14

SoientAetBles deux matrices :

B@1=2 1=21=p2 0

1=21=2 0 1=p2

1=2 1=2 1=p2 0

1=21=2 01=p2

7 5 11

Exercice 15

Soit la matriceA:

7=2 0 7=21

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

3. Ecrire la forme reduite deq.