Algèbre bilinéaire et géométrie

Algèbre linéaire et bilinéaire (version du 13 novembre 2015) Bernard Le Stum 1 7 Exercices 2 Algèbre linéaire 27 2 1 Espace vectoriel 2 2 Image, noyau

Algèbre linéaire et bilinéaire I

Algèbre linéaire et bilinéaire I 2MA221 Yves Coudène, 1 septembre 2020 Licence de mathématiques, Sorbonne Université Version 2 2020 - 2021

Exercices d’entra^ nement (Alg ebre 2) Formes bilin eaires R

Exercices de pr eparation a l’examen La consigne de r edaction sera : Sauf mention contraire, vos r esultats doivent ^etre justi es, par un calcul d etaill e et/ou un raisonnement clair s’appuyant sur les r esultats donn es en cours La qualit e de la r edaction et la pr ecision des explications fournies entreront pour une part importante dans

Algèbre bilinéaire et géométrie

Algèbre bilinéaire et géométrie, 2016-2017 5 Laurent Bessières 2 ormesF bilinéaires en dimension nie symétrique, mais en général il est plus simple et plus rapide de polariser à vue

Algèbre Linéaire et Bilinéaire

Algèbre Linéaire et Bilinéaire euilleF d'exercices n 3 : ormesF quadratiques, espaces euclidiens, matrices symétriques Formes quadratiques Exercice 1 (Exemples sur R3) On considère les formes quadratiques q i, i= 1;2;3, dé nies pour x= t(x 1;x 2;x 3) 2R3 par q 1(x) = x2 1+6x 2 2+6x 2 3+4x 1x 2 2x 1x 3; q 2(x) = x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3; q 3

Algèbre bilinéaire et géométrie

ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Résumé de cours, 2018-2019 LAURENT BESSIÈRES Institut de Mathématiques de Bordeaux 12 mai 2020

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009

2-1 EXERCICES CORRIGES¶ 15 2-1 Exercices corrig¶es 2-1 1 Exercice 4a { Formes bilin¶eaires et quadratiques Les questions 1 et 2 sont ind¶ependantes 1 Soient les formes bilin¶eaires sur R3 suivantes : f1(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 ¡x1y2 ¡x2y1 ¡x1y3 ¡x3y1 ¡ x2y3 ¡x3y2 f2(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 +x1y2 +x2y1 +x1y3 +x3y1 +x2y3 +x3y2

ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route

Mathématiques,

4 Dual d’un espace vectoriel 1 3 Hyperplan 1 3 1 D´eﬁnition SoitE un K-espace vectoriel On appelle hyperplan de E,lenoyau de toute forme lin´eaire sur E autre que la forme nulle

hx;yi=x1y1+x2y2+x3y3 hx+y;zi=hx;zi+hy;zi hx;yi=hx;yi 8x;y;z2E hx;y+zi=hx;yi+hx;zi 82R hx;yi=hx;yi hx;yi=hy;xi 8x;y2E ????? ?8x2E? hx;xi= 0()x= 0 hx;xi 0: h;i:EE!R b(x+y;z) =b(x;z) +b(y;z)8x;y;z2E b(x;y+z) =b(x;y) +b(x;z)??82K i;j=1aijxiyj? ?? ?? ???E=R[X]??E=C([0;1];R)?b(P;Q) =R1

8x;y2E; b(x;y) =12

q(x+y)q(x)q(y)! b(x;y) =14 q(x+y)q(xy)! E???

2i;xiyi

ixj;12 (xiyj+xjyi) q(x) =1`1(x)2+:::+k`k(x)2????? e=fe1;:::;eng??? ???? ??E? ?? ????b2 B(E)? ??x=Pn i=1xiei??y=Pn j=1yjej? ????? ??? b(x;y) =nX i;j=1x iyjb(ei;ej):?????

M(b)e=0

BBBBBB@b(e1;e1)b(e1;e2)b(e1;en)

b(e2;e1)??? ???b(ei;ej)??? b(en;e1) b(en;en)1

CCCCCCA2Mnn(K)

@1 2 3 4 5 6

7 8 91

M=M(b)e? ????x=Pn

i=1xiei??y=Pn b(x;y) =x1;:::;xnM0 1??? (pm)(mq) =pq;???? b(x;y) =x1y1+ 2x1y2+ 3x1y3+ 4x2y1+ 5x2y2+ 6x2y3+ 7x3y1+ 8x3y2+ 9x3y3 =x1(y1+y2+ 3y3) +x2(4y1+ 5y2+ 6y3) +x3(7y1+ 8y2+ 9y3) x1;x2;x30

1+y2+ 3y3

4y1+ 5y2+ 6y3

7y1+ 8y2+ 9y31

x1;x2;x30 @1 2 3 4 5 6

7 8 91

1??? i=1xiei? ????Y=0 1???

A=M(y)e??

y=Pn i=1yiei? ????M:=M(b)e? ?? ? ????? b(x;y) =tXMY;

0=tPMP:

N(b) =fy2Ejb(x;y) = 0;8x2Eg:

x2N(b),X2kerM(b)e,M(b)eX= 0; ??dimN(b) + rg(b) = dimE? y7!byx7!b(x;y) ??rg(b) = rg(fb)? ??N(b) = kerfb? i=1??i=j

0??i6=j

i=1xiei? ?? ?l(x) =Pn i=1xi`(ei) =Pn i=1ei(x)`(ei)? ???? `=Pn f(y)(x)? ??f0g?=E? ??E?=N(b)? ??8AE?N(b)A??

I(b) =fx2Ejb(x;x) = 0g:

?? ?? ????? q????? ?? ????? ??b?N(q) :=N(b)? ?? ???? ?? q????? ?? ???? ??b?rg(q) := rgb? ?? q(x)>0??q(y)>0? ?????q(x+y)>0?

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BB@a 2??? 0an1 CCA: q(x) =a1x21++anx2n;

M(b)e=0

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0ar

CCCCCCCAa

i2K;ai6= 0 r= rg(b): i=1xiei????? q(x) =a1x21++arx2r: q(x) =X i;ja ijxixj????? q(x) =a1`21(x) ++an`2n(x): (I)a2+ 2ab= (a+b)2b2????? (II)ab=14 (a+b)2(ab)2????? ??? x2i?? ???? q(x) =x21x22+ 6x23+2 x1x24x1x38x2x3; ?? ????a=x1??b=x22x3?

21+ 2x1x24x1x3=x21+ 2x1(x22x3)

= (x1+x22x3)2(x22x3|{z} )2: ?? ??? ? ???? ??x1 q(x) = (x1+x22x3)2(x224x2x3+ 4x23)x22+ 6x238x2x3|{z} ?? ??? ? ???? ??x1 = (x1+x22x3)22x224x2x3+2x23 = (x1+x22x3|{z} )22 (x2+x3|{z} )22(x3|{z})2

1(x)`2(x)`3(x)

2??? ????? ???vectfe1g? ??`3??? ????? ???vectfe1;e2g? ???? ????? ?????`i????? ??? ????? ???

????E? (II0)ab+a1+b2= (a+2|{z} )(b+1|{z} )12 A B (a+b+1+2|{z} )2(ab+21|{z} )212

A+B AB

? ???AB? ?? ? ???? q(x) = 5

1x2+x16x35

+x23x35 = 5

1+3x35

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Algèbre linéaire et bilinéaire - univ-rennes1fr

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ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

Mathématiques,

8x;y2E; b(x;y) =12

2i;xiyi

M(b)e=0

BBBBBB@b(e1;e1)b(e1;e2)b(e1;en)

CCCCCCA2Mnn(K)

7 8 91

M=M(b)e? ????x=Pn

1+y2+ 3y3

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7 8 91

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1(x)`2(x)`3(x)

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A+B AB

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1+3x35