Cours de mathématiques

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Exercices de pr eparation a l’examen La consigne de r edaction sera : Sauf mention contraire, vos r esultats doivent ^etre justi es, par un calcul d etaill e et/ou un raisonnement clair s’appuyant sur les r esultats donn es en cours La qualit e de la r edaction et la pr ecision des explications fournies entreront pour une part importante dans

Algèbre bilinéaire et géométrie

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Algèbre Linéaire et Bilinéaire

Algèbre Linéaire et Bilinéaire euilleF d'exercices n 3 : ormesF quadratiques, espaces euclidiens, matrices symétriques Formes quadratiques Exercice 1 (Exemples sur R3) On considère les formes quadratiques q i, i= 1;2;3, dé nies pour x= t(x 1;x 2;x 3) 2R3 par q 1(x) = x2 1+6x 2 2+6x 2 3+4x 1x 2 2x 1x 3; q 2(x) = x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3; q 3

Algèbre bilinéaire et géométrie

ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Résumé de cours, 2018-2019 LAURENT BESSIÈRES Institut de Mathématiques de Bordeaux 12 mai 2020

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009

2-1 EXERCICES CORRIGES¶ 15 2-1 Exercices corrig¶es 2-1 1 Exercice 4a { Formes bilin¶eaires et quadratiques Les questions 1 et 2 sont ind¶ependantes 1 Soient les formes bilin¶eaires sur R3 suivantes : f1(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 ¡x1y2 ¡x2y1 ¡x1y3 ¡x3y1 ¡ x2y3 ¡x3y2 f2(x;y) = 2x1y1 +2x2y2 +2x3y3 +x1y2 +x2y1 +x1y3 +x3y1 +x2y3 +x3y2

ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route

Mathématiques,

4 Dual d’un espace vectoriel 1 3 Hyperplan 1 3 1 D´eﬁnition SoitE un K-espace vectoriel On appelle hyperplan de E,lenoyau de toute forme lin´eaire sur E autre que la forme nulle

ALGÈBRE

PREMIÈRE ANNÉEExo7

À la découverte de l"algèbreLa première année d"études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une

telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une

multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu"il s"agit d"un domaine passionnant! Nous vous

proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.

Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence

simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en

présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations

différentielles,...).

Ce tome est consacré à l"algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique

et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles

particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l"étude

d"une première structure algébrique, avec la notion de groupe.

La seconde partie est entièrement consacrée à l"algèbre linéaire. C"est un domaine totalement nouveau pour

vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d"espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et

utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.

Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître

par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les

démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.

Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le

site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.

Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et

d"y parvenir. Bonne route!

Sommaire

1 Logique et raisonnements

1 Logique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Raisonnements

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Ensembles et applications

1 Ensembles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Injection, surjection, bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Ensembles finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Relation d"équivalence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Nombres complexes31

1 Les nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Racines carrées, équation du second degré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Argument et trigonométrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Nombres complexes et géométrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Arithmétique45

1 Division euclidienne et pgcd

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Théorème de Bézout

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Nombres premiers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Congruences

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Polynômes59

1 Définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Arithmétique des polynômes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Racine d"un polynôme, factorisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Fractions rationnelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Groupes71

1 Groupe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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