L’ALGORITHME DE PRABEKHAR

Si N n’est pas premier, le symbole de Jacobi ne sufﬁt pas à disting uer les résidus quadratiques des autres résidus Par exemple si N = pq est produit de deux premiers impairs distincts et x premier à N alors x N = 1 signiﬁe soit que x est un carré modulo p et modulo q soit qu’il n’est un carré ni modulo p ni modulo q

Fonctions récursives (51)

Algorithme SommeLinaire(A,n) Entrées: Une liste d’entiers A et un entier n >=1, tel que A contient au moins n éléments Sortie: La somme des n premiers entiers de A Si n=1 alors retourner A[0] Sinon retourner SommeLinaire(A,n-1)+ A[n-1]

L’ALGORITHME DE PRABEKHAR

Ce qui nous donne : a²+b²+c²+d²< N Donc, pour ceux qui ont suivis, cela veut dire que la somme des carrés des chiffres qui composent un nombre (ici N) est plus petite que le nombre de départ Donc, si on prend un nombre, le résultat obtenu après une étape de l’algorithme sera un nombre inférieur et donc déjà vérifié

Algorithme de Kohonen : classification et analyse

SOM n’est pas un algorithme de gradient On se restreint ici au cas où les entrées sont listées en nombre fini Alors, il existe une fonction potentiel qui est (cf Ritter et al 92) la somme des carrés intra classes étendue Dans ce cas, l'algorithme minimise la somme des carrés des écarts de chaque observation non seulement à son

L’Algorithme de Kohonen pour l’analyse et la visualisation

4 Dans ce cas, l'algorithme minimise la somme des carrés des écarts de chaque observation non seulement à son vecteur code, mais aussi aux vecteurs codes voisins (dans la structure fixée) 4 C'est une extension de la notion de somme des carrés intra-classes, qui est étendue aux classes voisines

National 1 (toutes séries) Sommes de carrés en abyme : une

Leur somme est supérieure à 10 :????−3 ;+1 Finalement 10????−2+10????−3+⋯+101+1 R100????−289 Ce dernier terme est supérieur à 9???? dès que ????>3 b Chacun des ???? chiffres de ???? est inférieur à 9, la somme de leurs carrés est donc inférieure à 81???? Le successeur de ???? a donc moins de chiffres

Méthode des moindres carrés - HEIG-VD

somme quadratique des déviations des mesures aux prédictions de ƒ (x;θ) Si par exemple, nous disposons de N mesures, (y i) avec i = 1, N, les paramètres θ«optimaux» au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la quantité : où les r i(θ)sont les résidus au modèle, i e les écarts entre les points de mesure y

350re S - Somme des termes dune suite - ChingAtome

contient la somme des 6 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2 c Modiﬁer cet algorithme pour que la variable S con-tienne, en ﬁn d’exécution de l’algorithme, la somme présente sur le livret A le jour des 18 ans d’Aline 3 On note S18 la somme des 19 premiers termes de la suite (un): S18 = u0

TD n°3 : utilisation de la calculatrice en mode « Programme

(somme des inverses des entiers successifs affectés alternativement d'un signe + ou d'un signe –) pour différentes valeurs de l'entier n Écrire un algorithme qui utilise un test (le reste de la division euclidienne de n par 2 est noté n 2) et un qui

L'ALGORITHME DE PRABEKHARQu'est ce qu'un algorithme ?Un algorithme c'est un procédé mathématique qui consiste à faire subir une opération à un

nombre.Qu'est ce que l'algorithme de Prabekhar ?L'algorithme de Prabekhar consiste un faire la somme des carrés des différents chiffres qui

composent n'importe quel nombre. Ex : prenons le nombre 12 et appliquons lui l'algorithme.12 à1² + 2² = 1 + 4 = 5 à 5² = 25 à 2² + 5² = 4 + 25 =29 à 2² + 9² = 4 + 81 = 85 à 8² + 5² = 89

à 145 à 42 à 20 à 4 à 16 à 37 à 58 à 89 à145...

Ex 2 : maintenant essayons avec 7.7 à 7² = 49 à 4² + 9² =97 à 9² + 7² = 130 à 1² + 3² + 0² =10 à 1²=1 à 1² = 1 ...

On remarque deux phénomènes : ·Un cycle de nombres qui se répètent à l'infini 4 à 16 à 37 à 58 à 89 à 145 à 42 à 20 à 4 ...·Un puits composé du chiffre 1 dans lequel une fois rentré, on ne peut plus sortir(car 1² =

1...) Voici ce qu'est venu nous dire un chercheur de la faculté de maths de Lille début octobre.

Début de nos recherches...à l'assaut de la conjecture.A partir de là, notre mission sera de prouver qu'en faisant la somme des carrés des différents

chiffres qui composent n'importe quel nombre, le résultat tombera forcément dans le cycle ou

dans le puits.On a exactement six mois (top chrono !) pour atteindre notre objectif avant d'aller l'exposer au

congrès Math.En.Jeans à Paris.Pour commencer, on a appliqué l'algorithme au chiffres de 1 à 9. Par chance tous ces chiffres sont tombés soit dans le puits soit dans le cycle.Ensuite, on a essayé les nombres a deux chiffres (10 à 99), ce qui nous a pris un peu de temps

car les calculer tous à la main un à un c'est long ! Cette dure épreuve passée on a pu voir que

tous ces nombres là ont marché aussi = ) !

Dernière étape de nos recherches le prouver pour les nombres à trois chiffres (100 à 999).

C'est là que ça se corse! L'écart entre 100 et 999 est trop important pour les faire à la main un

à un surtout pour des feignasses comme nous. Réfléchissons : le plus grand nombre à trois chiffres est 999 qui donne par Prabekhar 9²+9²+9²

soit 3 x 81 soit 243. Donc si on veut prouver que les nombres à trois chiffres après plusieurs étapes de l'algorithme tombent soit dans le puits de 1 soit dans le cycle il nous suffit juste de calculer les nombres compris entre 100 et 243. Mais l'écart est encore trop important pour nous (et oui on est des grosses feignasses !) Pour nous aider on a donc fait appelle à notre cher calculatrice qui a fait le bulot à notre place. Il a juste suffit qu'on lui rentre le programme suivant : : prompt N: Lbl 1: 0 àM : While N>0: N-int(N/10)*10 àC : M+C² àM : (N-C)/10 àN : End: MàN : Disp N: If N¹0 and N¹1

: Goto 1: StopEt voilà! (5 minutes pour effectuer 143 suites de calculs !! Efficaces les feignasses!)

La démonstration... L'aboutissement de longues heures

de travail acharné...La démo suivante est en somme toute simple, mais on y a quand même passé plus de deux

mois ! Prenons un nombre quelconque (car les démonstrations se font toujours avec un nombre

quelconque !), appelé N et composé de 4 chiffres : abcd (a¹0 car sinon abcd est considéré

comme un nombre à trois chiffres)Décomposons ce nombre en : a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d ou encore, en :

a x 10 + a x 990 + b x 100 + c x 10 + dOr, on sait que a<10 car a et un chiffre, donc il est compris entre 1 et 9. On multiplie par a des deux cotés de l'inéquation, on obtient donc :

a²<10xa (car a positif)De même, on a :

b²£ 100xb (car b peut être égale à 0)c²£ 10xc (car c peut être égale à 0)et ax990>81³d² donc ax990>d²Et d³0 En résumé on obtient donc : a²<10xab²£ 100xbc²£ 10xcd²

Ce qui nous donne : a²+b²+c²+d²< NDonc, pour ceux qui ont suivis, cela veut dire que la somme des carrés des chiffres qui

composent un nombre (ici N) est plus petite que le nombre de départ.Donc, si on prend un nombre, le résultat obtenu après une étape de l'algorithme sera un

nombre inférieur et donc déjà vérifié. Exemple illustratif (pour les pommés) : 1 . . . 999 est vérifié (nombre à trois chiffres) 1000 (le résultat après une étape de l'algorithme sera plus petit que le nombre de

départ, donc plus petit que 1000 et tombera donc sur un nombre déjà vérifié)

Voici une courbe faite sur Mathlab (pour ceux qui connaissent).Explications (reformulée d'une autre manière pour les gens qui n'ont toujours pas compris) : Les points représente le résultat d'une ombre (du nombre haha) en abscisse.La droite (le trait vert au milieu) est la droite d'équation y=xOn voit bien qu'après une étape de l'algorithme, pour les nombres supérieur à 100, le résultat

est situé en dessous de la courbe y=x.

Les chercheurs, le retour !

En Janvier, nos chers chercheurs (difficile à dire) sont revenus, et c'est donc tout

naturellement que nous leur avons exposé nos recherches (et la fameuse démo !)A la fin de notre exposé, les chercheurs cherchant (encore plus difficile à dire) " la p'tite

bête » nous demande : " Mais comment vous faîtes pour les nombres à 5, 6, 7, 8... chiffres ? »

" Eh bien c'est simple ! », avons nous répliqué, " Il suffit de prendre un N tel que N = abcde,f,g,h... et décomposer N comme précédemment, mais en ax9990+ax10... »

A nous Paris !

L'exposé s'est bien passé. En quelques mots Paris c'était : le train, le métro, l'auberge de jeunesse, le resto',

le congrès, le stress, le micro, les tableaux, les profs, les chercheurs, les graines de maths, la marche à pied,

les blagues (Avec Monsieur G. on est pas sorti de l'auberge mais on y est pas rentré non plus ! ha ha ha...),

la tour Eiffel, les canards, un hérisson, des affiches, des photos et pleins de souvenirs ...Merci et Bravo à tous =) Les élèves : Les chercheurs :Loic Monsorez M.xLaure Decharrière M. yJulie Deguines M. z

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