Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Le nombre de Froude est d e ni comme Fr = u p gh; avec hune echelle de hauteur, uune echelle de vitesse, gl’acc el eration de la gravit e Le nombre de Froude est le plus souvent interpr et e comme le rapport de l’ energie cin etique sur l’ energie potentielle Il sert notamment en hydraulique a classer le r egime d’ ecoulement en

Eléments de Mécanique des - uliegebe

La similitude de Froude 2 Forces d'inertie U M L U: les termes de vitesse L: les termes de longueur M: la masse Forces de pesanteur Mg be 2 2 PM ii PM gg U u M m FF L l F FMGmg g: l’accélération de la pesanteur *2 1 U Conservation du nombre de Froude ArGEnCo– MS²F ‐Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

Similitude en Mécanique

Hypothèse de Froude: La résistance de vagues ne dépend pas du frottement, donc du Reynolds et la résistance visqueuse ne dépend pas du champ de vagues, donc du Froude SIMILITUDE PARTIELLE Conserver le nombre de Reynolds et de Froude impossible

SIMILITUDE DES MODÈLES FLUVIAUX A FOND FIXE

de Froude et il est devenu bana1 de constater que ces conditions seront en général incompa tibles L'examen sommaire de la similitude qui vient d'être fait peut être établi avec toute la rigueur désirable ou moyen des équations de Navier Stokes; ce n'est qu'une extension ou cos géné rai de ce qui vient d'être établi pour un

EXTRAPOLATION D’ESSAIS SUR MODELES REDUITS EN SIMILITUDE

obtenue au moyen de la similitude de Froude et enfin ajouter la résistance de la « planche équivalente » à l’échelle du navire L’analyse du raisonnement de Froude permet de le généraliser pour extrapoler des essais faisant intervenir deux phénomènes qui évoluent de manières différentes en fonction de l’échelle du modèle

Invariances d’echelles, lois de similitude´

Le principe de similitude ´enonce que, pour que les r esultats d’une exp´ ´erience puissent etreˆ d’eau; mise en ´evidence du nombre de Froude Exemple

Similitude - ESPCI Paris

Similitude 1 Notion de similitude dynamique Une fois qu’une solution de l’ equation de Navier-Stokes a et e obtenue avec des conditions aux limites particuli eres, on peut se demander si cette solution est egalement observ ee dans des ecoulements g eom etriquement similaires Deux ecoulements sont g eom etriquement similaires si

VI ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE VI1 Introduction

similitude est définit comme ‘tous les nombres sans dimension ont les mêmes valeurs pour le modèle et le prototype ’ La similitude en mécanique de fluide est classifiée en trois : (1) Similitude géométrique, (2) Similitude cinématique, (3) Similitude dynamique Similitude géométrique : toutes les dimensions linéaires du modèle

Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

et similitude 2 Plan du chapitre 5 Introduction et définitions Analyse dimensionnelle des équations de bilan: - Forme adimensionnelle des équations de continuité et de Navier-Stokes - Critères de similitude 3 Théorème de Buckingham (Théorème de P) 4 Exemples d’application

[PDF] similitude dynamique

[PDF] theoreme de prolongement

[PDF] comment montrer qu'une fonction est de classe c1

[PDF] classe c1 maths

[PDF] montrer que f est de classe c infini

[PDF] les effets du dopage

[PDF] contre le dopage argument

[PDF] le dormeur du val contexte historique

[PDF] les assis rimbaud explication

[PDF] le mal rimbaud

[PDF] le dormeur du val enjambement et rejet

[PDF] exemple anthologie poétique voyage

[PDF] le double de 50

[PDF] la moitié de 15

[PDF] la moitié de 50

Chapitre 5

(»4heures)

Analyse dimensionnelle

et similitude

22Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

Introduction et définitions

Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

-Forme adimensionnelle des équations de continuitéet de Navier-Stokes . -Critères de similitude.

3.Théorème de Buckingham (Théorème de P).

4.Exemples d"application.

33Critères de similitudeCritères de similitude

D L

Maquette (M)Prototype

DM LM Similitude géométrique:(similitude des formes) GMML L D

Dk==(1)

Constante de proportionnalité

géométrique 44

Similitudes cinématique et dynamique:

La similaritécinématique et dynamique sont les deux autres conditions àrespecter avant de considérer que les deux écoulements soient similaires. Les paramètres cinématiques et dynamiques doivent avoir une certaine relation. Comme dans le cas de la similitude géométrique (rapports de longueurs), on devra avoir une relation pour la force (F), la masse (m) et le temps (t). ttmm FF tM mMFM k=k= k= (2) -Force: -Masse: -Temps: k

F, km et kt sont respectivement les constantes de

proportionnalitédes forces, des masses et des temps. 55
(3) ppaaVV2 G F M3 Gm M2 tG Mt G M kk=r kk=rkk=k k=-Vitesse: -Accélération: -Masse volumique: -Pression:Àpartir de ces expressions, on pourra obtenir tous les rapports d"échelle maquette/prototype pour n"importe quel paramètre cinématique ou dynamiqueet les propriétés des fluides: 66
kkk=kamF 2 tG mF La loi de Newton s"applique, qu"on travaille sur le prototype ou sur la maquette: maF=MMMamF=et(4) En remplaçant FM, mMet aM, des équations 2 et 3, on obtient: On divise ensuite par F le membre de gauche et par (ma) le membre de droite (puisque F = ma) : (5) (6) 2 t Gm F k kk=k F 2 t Gm1kk kk=ou 77

Réarrangement de l"équation (6):

F 3 G 2 t 4 Gm

1kkkkk=

Multiplions et divisons l"équation (6) par kG3: kk kk kk=F2 G 2 t2 G 3 Gm

1Séparation des termes:

FFLLVV1

M 22
M22 MMrr= kF kG2 prototype22

Maquette22LVF

LVF r=r(7) 88
L"équation (7) donne la condition pour avoir une similarité dynamique entre le modèle et la maquette. Le paramètre adimensionnel (F/rV

2L2) doit être le même àdes positions

sur le prototype et sur la maquette géométriquement similaires. a)Cas oùles forces de gravitésont importantes: La force de gravitéF = mg est proportionnelle àrL3g. Si on remplace dans l"équation (7), on aura: prototype223

Maquette223LVgL

LVgL rr=rr prototype2

Maquette2gLV

gLV=Nombre de Froude (Fr)(8) En inversant et après simplification, on obtient: 99
b)Cas oùles forces de pression sont importantes: La force de pression est F = DpL2. Si on remplace dans l"équation (7) on aura: prototype222

Maquette222LVpL

LVpL rD=rD Donc, pour des problèmes oùles forces de gravitésont importantes, le nombre de Froude doit être le même àdes positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquettes. prototype2 21

Maquette2

21Vp
Vp rD=rDNombre d"Euler (Eu)(9) En inversant et après simplification, on obtient: 1010
Donc, pour des problèmes oùles forces de pression sont importantes, le nombre d"Euler doit être le même àdes positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette. 1111
c)Cas oùles forces de viscositésont importantes:

Pour des fluides Newtoniens: t= -m(dV/dy).

La force de cisaillement est donnée par l"expression suivante:

222LyVLdydVLFDDm-=m-=t=

Donc F est proportionnelle àmVL.

En remplaçant F par mVL dans l"équation (7), on aura: prototype22

Maquette22LVVL

LVVL rm=rm 1212
En inversant et après simplification on obtient: prototypeMaquette VLVL mr=mr

Nombre de Reynolds (Re)

(10) Donc, pour des problèmes oùles forces visqueuses sont importantes, le nombre de Reynolds doit être le même à des positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette.

1313Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1.Introduction et définitions

2.Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

-Forme adimensionnelle des équations de continuitéet de Navier-Stokes . -Critères de similitude.

3.Théorème de Buckingham (Théorème de

P).

4.Exemples d"application.

1414Notion de dimension

Notion de dimension

Les grandeurs physiquespour les systèmes

isothermes sont exprimées en fonction des trois grandeurs fondamentales: -La longueur: L -Le temps : t (système:

M, L, t )

-La masse : M

On peut aussi choisir la force, F, àla place

de la masse,M, comme grandeur fondamentale -La longueur: L -Le temps : t (système:

F, L, t )

-La force : F 1515
1616

Selon le théorème de Buckingham (ou

théorème p), dans un problème comprenant n grandeurs physiques oùil y a m dimensions fondamentales , on peut réécrire ces grandeurs physiques en (n-m) paramètres adimensionnels indépendants.

Théorème de Buckingham

(Théorème pppp)Théorème de Buckingham (Théorème pppp) mni-= n: Nombre de grandeurs physiquesm: Nombre de dimensions fondamentalesi: Nombre de groupes adimensionnels nécessaires 1717
SoientA1, A2, A3,..., An les différentes grandeurs physiques: comme la vitesse, la pression, la viscosité, etc. Entre toutes ces quantités, il y a une relation de la forme: SiP

1, P2, P3, ..., représententles quantités

adimensionnelles parmi les quantités physiques A

1, A2,

3,..., An, on peut alors écrire une équation de la forme:

0)A,...,A,A(n21=f

0),...,,,(fmn321=pppp-

Théorème de Buckingham (suite)Théorème de Buckingham (suite)

0),...,,(fmn321=ppp=p-

1818Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

Pour effectuer une analyse dimensionnelle, on doit considérer les neuf

étapes suivantes:

1.Dresser la liste de toutes les quantités physiques Aiet leur

dimension correspondante. Omettre toute quantitéphysique qui est une fonction directe d"une ou d"autres quantités physiques.

Exemple:

Si on a un écoulement dans un cylindre et qu"on a les paramètres Q, D et , on doit omettre le débit volumique, Q, ou la vitesse moyenne, , car Q = pD 2/4

2.Écrire la fonction

3.Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir

toutes les m dimensions du problème. Souvent, on retient une variable parce qu"elle déterminne l"échelle, une autre, parce qu"elle détermine les conditions cinématiques; il faut une variable liée avec la masse ou les forces du système.

Exemple:

on peut retenir D, V et rcomme variables fondamentales.

0)A,...,A,A(n21=f

1919Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

4.Écrire les paramètres pen fonction des exposants inconnus:

S"assurer que toutes les quantités A

isont incluses dans les groupes p i.

5.Écrire les équations des paramètres ppour les exposants; on doit obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension.

6.Résoudre les équations simultanément.

7.Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de p(étape 4) pour obtenir les paramètres psans dimension.

()()()00011z3yx1zyx

1tLMtMLMLLLtDV

111111==mr=p----

2020Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

8.Déterminer la fonction:

ou résoudre une valeur explicite de:

S"assurer que tous les paramètres p

isont indépendants les uns des autres.

9.Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus

(Re, Fr, Eu, etc.).

0),...,,,(fmn321=pppp-

),...,,(fmn321-ppp=p

2121Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1.Introduction et définitions

2.Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

-Forme adimensionnelle des équations de continuitéet de Navier-Stokes . -Critères de similitude.

3.Théorème de Buckingham (Théorème de

P).

4.Exemples d"application.

2222

Écoulement dans une conduite

cylindrique rugueuseÉcoulement dans une conduite cylindrique rugueuse

Grandeurs:

Géométriques :D, e, L

Physiques :

r, m

Cinématiques et dynamiques:V, Dp

11pgzr+

lp lp 2323
L"expérience montre que pour l"écoulement dans une conduite: où: ()e,,,Vou,Q,DfLPmr=D

P/L: Perte de charge par unitéde longueur

D : Diamètre de la conduite

: Vitesse moyenne (ou Q: Débit volumique) r etm : Masse volumique et viscositédynamique. e : Rugositémoyenne de la conduite

Question:

En utilisant le théorème p, on vous demande de proposer une forme pour présenter les résultats expérimentaux en fonction de paramètres adimensionnels. 2424
Inventaire des variables:Inventaire des variables:

LeRugosité

ML-1t-1mViscosité

Masse volumique

Longueur

Diamètre

Vitesse

Perte de charge

Variable

ML-3r LL LD

Lt-1

ML-1t-2DP

Dimensions

(MLt)Symbole 2525
On a 7 quantités avec trois dimensions (MLt). On trouve donc (7 -3 = 4) paramètres p, soient:

Si on prend , D et

rcomme variables qui se répètent (car les trois contiennent les dimensions fondamentales MLt).

P1, P2, P3et P4

Les nombres Pqu"on peut former sont les suivants:

=mr>====

000zyx

4000zyx

3000zyx

2000zyx

1tLMDVtLMeDVtLMLDVtLMPDV444333222111

2626

Les nombres Pqu"on peut former sont les suivants:

==p==p==p==p

00011z3yx1

000z3yx1

3000z3yx1

200021z3yx1

1 tLMtMLMLLLttLMLMLLLttLMLMLLLttLMtMLMLLLt 4443
332
221
11 2727
()()()0002x1z3yx1z

1tLMtLM11111==p----++.

()()()000x1z3yxz

2tLMtLM22222==p-+-+.

02x01z3yx01z11111

2x0y 1z 111
21v
p r D=p

0x01z3yx0z22222

0x 1y0z 222D
L 2=p 2828
()()()000x1z3yxz

3tLMtLM33333==p-+-+.

0x01z3yx

0z 33333
0x 1y 0z 333D
e 3=p ()()()0001x1z3yx1zquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Chapitre 5

Analyse dimensionnelle

22Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

Introduction et définitions

Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

3.Théorème de Buckingham (Théorème de P).

4.Exemples d"application.

33Critères de similitudeCritères de similitude

Maquette (M)Prototype

Dk==(1)

Constante de proportionnalité

Similitudes cinématique et dynamique:

F, km et kt sont respectivement les constantes de

Réarrangement de l"équation (6):

1kkkkk=

1Séparation des termes:

FFLLVV1

Maquette22LVF

2L2) doit être le même àdes positions

Maquette223LVgL

Maquette2gLV

Maquette222LVpL

Maquette2

Pour des fluides Newtoniens: t= -m(dV/dy).

222LyVLdydVLFDDm-=m-=t=

Donc F est proportionnelle àmVL.

Maquette22LVVL

Nombre de Reynolds (Re)

1313Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1.Introduction et définitions

2.Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

3.Théorème de Buckingham (Théorème de

4.Exemples d"application.

1414Notion de dimension

Notion de dimension

Les grandeurs physiquespour les systèmes

M, L, t )

On peut aussi choisir la force, F, àla place

F, L, t )

Selon le théorème de Buckingham (ou

Théorème de Buckingham

1, P2, P3, ..., représententles quantités

1, A2,

3,..., An, on peut alors écrire une équation de la forme:

0)A,...,A,A(n21=f

0),...,,,(fmn321=pppp-

0),...,,(fmn321=ppp=p-

1818Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

étapes suivantes:

1.Dresser la liste de toutes les quantités physiques Aiet leur

Exemple:

2.Écrire la fonction

3.Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir

Exemple:

0)A,...,A,A(n21=f

1919Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

4.Écrire les paramètres pen fonction des exposants inconnus:

S"assurer que toutes les quantités A

5.Écrire les équations des paramètres ppour les exposants; on doit obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension.

6.Résoudre les équations simultanément.

7.Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de p(étape 4) pour obtenir les paramètres psans dimension.

1tLMtMLMLLLtDV

111111==mr=p----

2020Les étapes de l"analyse dimensionnelleLes étapes de l"analyse dimensionnelle

8.Déterminer la fonction:

S"assurer que tous les paramètres p

9.Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus

0),...,,,(fmn321=pppp-

2121Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1.Introduction et définitions

2.Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

3.Théorème de Buckingham (Théorème de

4.Exemples d"application.

Écoulement dans une conduite

Grandeurs:

Géométriques :D, e, L

Physiques :

Cinématiques et dynamiques:V, Dp

11pgzr+