Les isométries du plan

Contrôle de mathématiques Mardi 12 avril 2016 Exercice1 Alignement (3 points) Soit un triangle ABC On donne les points D et E déﬁnis par : −−−→ AD =2 −−−→ AB + −−−→ AC et −−→ BE = 1 3 −−−→ BC 1) Sur l’annexe construire les points D et E On laissera les traits de construction 2) Montrer que

Classes préparatoires MP Programme de mathématiques Première

Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité Interprétation géométrique des applications z 7az¯b Similitudes directes Cas particuliers : translations, homo-théties, rotations Interprétation géométrique de la conjugaison L’étude générale des similitudes indirectes est hors pro-gramme Calculs algébriques (6 heures)

1ère S DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)

2°) a) Déterminer les coordonnées des points A’, C’ et I définis comme dans la partie A b) En déduire une vérification de la nature du quadrilatère AA’C’C 3°) a) Déterminer une équation de la droite (AI) b) En déduire une vérification de l’alignement des points A, I et C’

Les isométries du plan - Serveur de mathématiques - LMRL

c -à-d les images de points alignés sont des points alignés Image d’une droite : On déduit de la conservation de l’alignement des points que l’image de la droite a par d s est la droite a', passant par les points M', N' et P' On note : () ' d s a a= ; cela veut dire que les images de tous les points de la droite a par d s sont tous

Cours élémentaire 1ère année N Année scolaire 2011/2012 P

Cours élémentaire 1ère année N Palier 1 Pilier 3 Les principaux éléments de mathématiques Vérifier l'alignement de points grâce à la règle

Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan

Faire des mathématiques avec GéoPlan Page 1/19 Le barycentre en 1S Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan Problèmes de lieu, d'alignement et de concours Sommaire 1 Rappel vecteur 2 Repère 3 Barycentre de deux points 4 Barycentre de trois points 5 Problèmes d'alignement 6 Problèmes de lieux 7 Barycentre de quatre points 8

Vecteurs et colinéarité - Logamathsfr

On utilise la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme 2 3) Expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires Théorème 6 Soient A, B et C trois points non alignés du plan Alors, pour tout point M du plan, il existe un couple unique de nombres réels (x ; y) tels que : AM=x AB y AC

REPRODUIRE UNE FIGURE CYCLE 3 - Académie de Lille

1ère activité: travail sur la superposition de formes par transparence pour faire apparaitre les lignes et les points (alignement) 2ème activité: reproduire une figure à l’aide points donnés et de points à trouver 2 critères retenus dans le choix de la figure :

Transformations du plan Frises et pavages - Le site de

Déﬁnition 1 4(Image) Si Fest une ﬁgure du plan (un ensemble de points quelconques), on appelle image de Fpar fet on note f(F) l’ensemble des points de la forme f(M) lorsque Mdécrit F Si f(F) = F, on dit que Fest globalement invariante par f Déﬁnition 1 5(Transformation identique) La transformation qui, à tout point Mdu plan associe

Chapitre 8

1. Symétrie orthogonale (ou symétrie axiale)

Définition. Etant donné une droite d du plan, la symétrie orthogonale d"axe d est la transformation du plan notée ds, qui associe à tout point M le point "M tel que d est la médiatrice de [ "]MM. Donc : " tel que médiatrice de [ "] ds

M M d MM

Remarques : a) Le point "M est appelé image de M par ds ou encore le symétrique de M par rapport à d. On note : ()"dM s M=. b) La droite d est l" élément caractéristique de la symétrie orthogonale ds.

Construction de l"image d"un point :

fig. 1 2

Construire sur cette figure

()"ds N N= et ()"ds P P=. Les droites ()MP et ()NP coupent l"axe d en J et K respectivement. Quelles sont les images de J et K par ds ?

Définition. On dit qu"un point M est

invariant (ou fixe) par une transformation f du plan si ()f M M=, c.-à-d. si M est transformé en lui-même.

Retenons : L"

ensemble des points invariants par une symétrie orthogonale ds est l"axe d. En d"autres termes : ()ds M M M d= ? ?. Sur la figure 1, quelles sont les images des points "M, "N et "P par ds ?

Remarquons que :

()()" "d ds M M s M M= ? =. Sur la figure 1, quel est l"image du triangle MNP par ds ? Les propriétés que nous allons voir dans la suite permettent d"affirmer que :

Propriétés d"une symétrie orthogonale :

a) Conservation de l"alignement. Image d"une droite fig. 2 3 Sur la figure 2, les points M, N, et P sont alignés : ils appartiennent à la même droite a. Construire sur la figure les images des points M, N et P. Que constatez-

vous ? ........................................................................................................

Retenons : Une symétrie orthogonale

ds conserve l"alignement des points, c.-à-d. les images de points alignés sont des points alignés. Image d"une droite : On déduit de la conservation de l"alignement des points que l"image de la droite a par ds est la droite "a, passant par les points "M, "N et "P.

On note :

()"ds a a= ; cela veut dire que les images de tous les points de la droite a par ds sont tous les points de la droite "a. Que peut-on dire du point d"intersection des droites a et "a ? .....................................................................................

Cas particulier :

a d? fig. 3

Sur cette figure

a d?. Construire l"image de la droite a par ds. Que constatez-vous ?

Quelle est l"image de la droite d par

ds ? ..........................................................

On dit que l"axe d est une droite

invariante (point par point) par ds. 4

Cas particulier :

a d? fig. 4

Sur cette figure

a d?. Construire l"image des points M, N et P par ds. Quelle est l"image de la droite a par ds ?.......................................................................... Donc les droites perpendiculaires à l"axe d sont invariantes (globalement) par ds.

Résumons :

Une symétrie orthogonale

ds transforme une droite a en une droite "a. Si a?d, alors a et "a sont sécantes et leur point d"intersection est sur l"axe d. Si a d?, alors "a d?. En particulier ()ds d d= : d est invariante point par point. Si a d?, alors ()ds a a= et la droite a est globalement invariante par ds. 5 b) Conservation des distances. Image d"un segment fig. 5

Construire les images des segments

[ ]AB, [ ]AC et [ ]BC par ds. Expliquer : Que peut-on dire de la longueur des trois segments images ?

Retenons : Une symétrie orthogonale

ds transforme un segment en un segment de même longueur. On dit que ds conserve les longueurs (ou les distances). On dit encore que la transformation ds est une isométrie.

Définition. Une

isométrie est une transformation du plan qui conserve les longueurs. 6 Sur la figure 5, quelle est l"image du triangle ABC par ds ? ................................. Que peut-on dire des longueurs des côtés du triangle " " "A B C ?

Définition. On dit que les triangles ABC et

" " "A B C sont isométriques lorsque les longueurs de leurs côtés sont deux à deux égales. c) Conservation des angles

Sur la figure 5 on a :

?()?" " "ds BAC B A C=, ?()?" " "ds ABC A B C= et ?()?" " "ds BCA B C A= Que peut-on dire des amplitudes des angles des triangles ABC et " " "A B C ?

Retenons : Une symétrie orthogonale

ds transforme un angle en un angle de même amplitude. On dit que ds conserve les angles.

Cas particuliers :

a) L"image d"un angle droit est un angle droit. Donc ds transforme deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires. On dit que ds conserve la perpendicularité . Sur la figure ci-dessous par exemple : ()()()" "ds AB A B= et ()()()" "ds BC B C=. Comme ()()AB BC? et ds conserve la perpendicularité, on a aussi ( " ") ( " ")A B B C?.

De cette façon, on peut voir que l"image du

rectangle

ABCD par ds est le rectangle

" " " "A B C D. (De plus, comme ds conserve les longueurs, les dimensions du rectangle " " " "A B C D sont les mêmes que celles du rectangle ABCD.) fig. 6 7 b) L"image d"un angle nul (resp. plat) est un angle nul (resp. plat). Donc ds transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles. On dit que ds conserve le parallélisme . Sur la figure ci- dessous par exemple : ()()()" "ds BC B C= et ()()()" "ds AD A D=. Comme ()()BC AD? et ds conserve le parallélisme, on a aussi ()()" " " "B C A D?.

De cette façon, on peut voir que l"image du

trapèze

ABCD par ds est le trapèze

" " " "A B C D. (De plus, comme ds conserve les longueurs, les dimensions du trapèze " " " "A B C D sont les mêmes que celles du trapèze ABCD.) d) Renversement de l"orientation Intuitivement, l"orientation d"une figure est le choix d"un sens de parcours sur cette figure. Considérons par exemple le trapèze ABCD et son image " " " "A B C D de la figure 7. Si nous choisissons sur les deux trapèzes le sens de parcours qui correspond à l"ordre alphabétique des points (c"est ce que nous allons faire toujours dans la suite) alors le trapèze ABCD est orienté dans le sens Z tandis que le trapèze " " " "A B C D est orienté dans le sens Y. Les deux trapèzes n"ont donc pas la même orientation.

Définition. Le sens Y est appelé

sens positif (sens des ronds-points, sens direct), le sens Z est appelé sens négatif (sens des aiguilles d"une montre, sens indirect). On peut faire la même observation sur la figure 5 : le triangle ABC est orienté dans le sens positif, alors que son image, le triangle " " "A B C, est orienté dans le sens négatif.

Retenons : Une

symétrie orthogonale ne conserve pas l"orientation d"une figure. fig. 7 8 c) Image d"un cercle Construire sur la figure ci-dessous les images des cercles 1C, de centre A et de rayon .............r= et 2C, de centre B et de rayon " ...............r= par ds : fig. 8

Expliquer la construction : ............................................................................

Construire sur la figure 8 un cercle invariant par ds. Où faut-il placer le centre de ce

cercle ? ......................................................................................................

Retenons : Une symétrie orthogonale

ds transforme le cercle C de centre O et de rayon r en le cercle "C de centre ()"dO s O= et de même rayon r. Un cercle est globalement invariant par ds si et seulement si son centre est sur l"axe d. 1C 2C 9

Axe de symétrie d"une figure

Définition. On dit qu"une droite d est un

axe de symétrie d"une figure F, si cette figure est invariante par la symétrie orthogonale ds, c.-à-d. si ()ds=F F. Exemples : Voici des figures géométriques simples avec en rouge leurs axes de symétrie. Compléter à chaque fois le tableau des images des symétries orthogonales indiquées : a) Un rectangle a 2 axes de symétrie. b) Un carré a 4 axes de symétrie. as Aquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Chapitre 8

Les isométries du plan

1. Symétrie orthogonale (ou symétrie axiale)

M M d MM

Construction de l"image d"un point :

Construire sur cette figure

Définition. On dit qu"un point M est

Retenons : L"

Remarquons que :

Propriétés d"une symétrie orthogonale :

Retenons : Une symétrie orthogonale

On note :

Cas particulier :

Sur cette figure

Quelle est l"image de la droite d par

On dit que l"axe d est une droite

Cas particulier :

Sur cette figure

Résumons :

Une symétrie orthogonale

Construire les images des segments

Retenons : Une symétrie orthogonale

Définition. Une

Définition. On dit que les triangles ABC et

Sur la figure 5 on a :

Retenons : Une symétrie orthogonale

Cas particuliers :

De cette façon, on peut voir que l"image du

ABCD par ds est le rectangle

De cette façon, on peut voir que l"image du

ABCD par ds est le trapèze

Définition. Le sens Y est appelé

Retenons : Une

Retenons : Une symétrie orthogonale

Axe de symétrie d"une figure

Définition. On dit qu"une droite d est un