Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan

Contrôle de mathématiques Mardi 12 avril 2016 Exercice1 Alignement (3 points) Soit un triangle ABC On donne les points D et E déﬁnis par : −−−→ AD =2 −−−→ AB + −−−→ AC et −−→ BE = 1 3 −−−→ BC 1) Sur l’annexe construire les points D et E On laissera les traits de construction 2) Montrer que

Classes préparatoires MP Programme de mathématiques Première

Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité Interprétation géométrique des applications z 7az¯b Similitudes directes Cas particuliers : translations, homo-théties, rotations Interprétation géométrique de la conjugaison L’étude générale des similitudes indirectes est hors pro-gramme Calculs algébriques (6 heures)

1ère S DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)

2°) a) Déterminer les coordonnées des points A’, C’ et I définis comme dans la partie A b) En déduire une vérification de la nature du quadrilatère AA’C’C 3°) a) Déterminer une équation de la droite (AI) b) En déduire une vérification de l’alignement des points A, I et C’

Les isométries du plan - Serveur de mathématiques - LMRL

c -à-d les images de points alignés sont des points alignés Image d’une droite : On déduit de la conservation de l’alignement des points que l’image de la droite a par d s est la droite a', passant par les points M', N' et P' On note : () ' d s a a= ; cela veut dire que les images de tous les points de la droite a par d s sont tous

Cours élémentaire 1ère année N Année scolaire 2011/2012 P

Cours élémentaire 1ère année N Palier 1 Pilier 3 Les principaux éléments de mathématiques Vérifier l'alignement de points grâce à la règle

Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan

Faire des mathématiques avec GéoPlan Page 1/19 Le barycentre en 1S Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan Problèmes de lieu, d'alignement et de concours Sommaire 1 Rappel vecteur 2 Repère 3 Barycentre de deux points 4 Barycentre de trois points 5 Problèmes d'alignement 6 Problèmes de lieux 7 Barycentre de quatre points 8

Vecteurs et colinéarité - Logamathsfr

On utilise la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme 2 3) Expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires Théorème 6 Soient A, B et C trois points non alignés du plan Alors, pour tout point M du plan, il existe un couple unique de nombres réels (x ; y) tels que : AM=x AB y AC

REPRODUIRE UNE FIGURE CYCLE 3 - Académie de Lille

1ère activité: travail sur la superposition de formes par transparence pour faire apparaitre les lignes et les points (alignement) 2ème activité: reproduire une figure à l’aide points donnés et de points à trouver 2 critères retenus dans le choix de la figure :

Transformations du plan Frises et pavages - Le site de

Déﬁnition 1 4(Image) Si Fest une ﬁgure du plan (un ensemble de points quelconques), on appelle image de Fpar fet on note f(F) l’ensemble des points de la forme f(M) lorsque Mdécrit F Si f(F) = F, on dit que Fest globalement invariante par f Déﬁnition 1 5(Transformation identique) La transformation qui, à tout point Mdu plan associe

F Page 1/19 Le barycentre en 1S

Le Barycentre

Faire des maths avec GéoPlan

Problèmes de lieu, d'alignement et de concours.

Sommaire

1. Rappel vecteur

2. Repère

3. Barycentre de deux points

4. Barycentre de trois points

5. Problèmes d'alignement

6. Problèmes de lieux

7. Barycentre de quatre points

8. Problèmes de concours

: http://debart.pagesperso-orange.fr Document Word : http://www.debart.fr/doc/barycentre_cours.doc Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/barycentre_cours.pdf Page HTML : http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/barycentre.html Document n° 24, réalisée le 12/11/2002, modifié le 3/4/2008

Tout ce qui est dit

Extrait du programme de géométrie de 1S

Barycentre de quelques points pondérés dans le plan et l'espace. Associativité du barycentre. On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites. La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre l'efficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité.

1. Rappels vecteurs

Parallélogramme : égalité de vecteurs et somme uF vF vecteur opposé - vF ; différence de deux vecteurs uF vF ; multiplication par un réel.

Vecteurs colinéaires.

Droite passant par A de direction

Vecteurs coplanaires.

Milieu : I milieu de [AB] :

IA IB 0F

2. Repère

Droite : (A,

Plan : (O,

iF jF

Espace : (O,

iF jF kF

F Page 2/19 Le barycentre en 1S

3. Barycentre de deux points

Activités

Balance romaine

Définition et formules

Définition :

Soit (A, ) et (B, ) deux points pondérés tels que + 0,

Il existe un point unique G tel que

GA GB le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, ) et (B, ). Pour chercher G, avec la relation de Chasles, remplacer GB par GA AB , on obtient : GA AB donc o ABAGD E Cette relation assure que le point G existe et est unique.

Si k 0, alors k

GA + k GB , ceci montre que le point G est aussi le barycentre des points pondérés (A, k) et (B, k). Coordonnées barycentriques d'un point sur une droite

Soit A et B deux points distincts d'une droite.

Pour tout point M de la droite, Įȕ

que :

Įȕplaçant la première condition par :

Position du barycentre

De la colinéarité des vecteurs

AG et AB , on peut déduire que les points A, B et G sont alignés.

Théorème :

Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB) Il est sur le segment [AB] si les coefficients sont de même signe,

F Page 3/19 Le barycentre en 1S

au milieu si les coefficients sont égaux. De A et de B, le point le plus près du barycentre est celui dont le coefficient a la plus grande valeur absolue.

Si les coefficients sont de même signe on a

10dED E , donc G appartient au segment [AB]. GA GB GBGAD donc si Dt ; GA est plus petit que GB ; G est plus près de A. d) Problème réciproque : exprimer un point comme barycentre de deux autres

B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C,

A barycentre de (B, 2) et (C,-1) 2

AB AC

C barycentre de (A, 1) et (B,-2) 2

CB CA B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) 2 AB BC

A barycentre de (B, 3) et (C,-1) 3

AB AC

C barycentre de (A, 2) et (B,-3) CA = 3

CB = 2 CA e) Fonction vectorielle de Leibniz : MA MB

Soit (A, ) et (B, ) deux points pondérés

tels que + 0, et G leur barycentre.

Pour tout point M du plan on a :

MA MB MG GA MG GB MG GA GB MG 0F MG MG MA MB o o

MBMAMGD

E ED D

En remplaçant M par G on retrouve la

formule du barycentre. En remplaçant M par A ou par B on reconnaît les formules permettant de calculer les vecteurs AG ou BG

G barycentre de (A,2) et (B,3/2)

MA' MA MB' MB MS MA' MB' MA MB

F Page 4/19 Le barycentre en 1S

Dans un repère (O,

iF jF barycentre.

Cas particuliers

Médianes : si les coefficients et sont égaux et non nuls l'isobarycentre I des points (A, ) et (B, ) est le milieu du segment [AB]. On choisit souvent = = 1.

On a alors

IA IB . On obtient pour tout point M la forme vectorielle duquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan

F Page 1/19 Le barycentre en 1S

Le Barycentre

Faire des maths avec GéoPlan

Sommaire

1. Rappel vecteur

2. Repère

3. Barycentre de deux points

4. Barycentre de trois points

5. Problèmes d'alignement

6. Problèmes de lieux

7. Barycentre de quatre points

8. Problèmes de concours

Tout ce qui est dit

Extrait du programme de géométrie de 1S

1. Rappels vecteurs

Vecteurs colinéaires.

Droite passant par A de direction

Vecteurs coplanaires.

Milieu : I milieu de [AB] :

2. Repère

Droite : (A,

Plan : (O,

Espace : (O,

F Page 2/19 Le barycentre en 1S

3. Barycentre de deux points

Activités

Balance romaine

Définition et formules

Définition :

Il existe un point unique G tel que

Si k 0, alors k

Soit A et B deux points distincts d'une droite.

Pour tout point M de la droite, Įȕ

Įȕplaçant la première condition par :

Position du barycentre

De la colinéarité des vecteurs

Théorème :

F Page 3/19 Le barycentre en 1S

Si les coefficients sont de même signe on a

B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C,

A barycentre de (B, 2) et (C,-1) 2

C barycentre de (A, 1) et (B,-2) 2

A barycentre de (B, 3) et (C,-1) 3

C barycentre de (A, 2) et (B,-3) CA = 3

Soit (A, ) et (B, ) deux points pondérés

Pour tout point M du plan on a :

MBMAMGD

En remplaçant M par G on retrouve la

G barycentre de (A,2) et (B,3/2)

F Page 4/19 Le barycentre en 1S

Dans un repère (O,

Cas particuliers

On a alors