Exemple 3.1.5 (a) [0 1] est compact mais ni ]0
Montrer qu'une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact. Donner un exemple de deux fermés de R2 dont la somme n'est pas fermé.
Maurice Fréchet (1878-1973); (convergence uniforme convergence compacte
les sous-ensembles compact de l'ensemble des fonctions continues. faible il y a plus d'ensembles compacts : par exemple les boules fermées deviennent ...
Exemple 1.1.3 (1) Les espaces normés seront étudiés dans le prochain pa- ragraphe. Si (E
1.6 Ensembles compacts. Définition. X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ? B(0 R)). Exemples.
connexité 1
On note par K(E F) l'ensemble des opérateurs compacts de E dans F et par K(E) si E = F. 4.1.13 EXEMPLE (LES OPÉRATEURS INTÉGRAUX SONT COMPACTS).
Un ensemble convexe est une partie C d'un espace vectoriel E telle que pour tous x0 Exemple. Soit E un espace de Banach muni de sa norme .
Notation I désignera un ensemble quelconque (fini dénombrable ou indénom- Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour ...
Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour la topologie définie par la valeur absolue 3 Suites dans un espace compact
Exemple 3 1 5 (a) [0 1] est compact mais ni ]0 1] ni R ne l'est (b) Toute partie finie d'un espace métrique est compacte (c) Dans l'espace (C0([0
Un espace topologique X est localement compact si et seulement s'il est séparé et tout point de X admet un voisinage compact Exemple 4 6 2 Les espaces
Un espace métrique (Xd) est dit complet si toute suite de Cauchy converge Exemples Un espace métrique compact est complet (proposition précédente et Bolzano-
Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-suite convergente (dans (Ed)) vers un élément de A
Exemple : considérons l'espace normé R muni de la norme usuelle quels on sait tr`es bien montrer qu'un ensemble est compact Par exemple lorsqu'il
Si A est une partie de E on dit que A est une partie compacte si et seulement A munie de la distance induite est un espace métrique compact 1 1 2 Exemples •
Soient K et L deux parties compactes d'un espace métrique X Montrer que K ? L est une partie compacte Exercice 3 Soit Mn(R) l'ensemble des matrices de
A est l'ensemble des limites des suites de A alors il existe un ensemble fini F ? I tel que X = ?i?F Ui Exemple [01] est compact
5 Page 6 Définition Un espace topologique E est localement compact si E est séparé et si tout point de E admet un voisinage compact Exemples ? IR et IRn