ƒ non u-continue sur I ? ƒ non lipschitzienne sur I. Exercice : Comportement global d'une fonction uniformément continue. Soit ƒ : + ? une application
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2.
SAVOIR REFAIRE : Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue. Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue mais continues.
?x est uniformément continue mais non lipschitzienne sur [0 1]. • Si f : R ?? R est une fonction continue admettant des limites finies en ±?
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. uniformément continue sur R+ et donc pas non plus sur R.
Donner un exemple de fonction continue mais non uniformément conti- nue ainsi qu'un exemple de fonction uniformément continue qui n'est pas Lipschitzienne.
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10. Vérifiez les points non démontrés dans le point 1.2.5. Exercice 2.8.
Donner des exemples de normes sur l'espaces des fonctions continues sur un intervalle : traité Une application lipschitzienne est uniformément continue.
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne. A.8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue. Donner en justifiant sa
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Raisonnons par contraposition et montrons : non (i) ? non (ii)
(1) Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition f n'est pas uniformément continue sur I (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2
Exercices 4 3 24 à 4 3 26 La notion d'application lipschitzienne est plus facile à appréhender que celle d'application uniformément continue car
Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne En effet il suffit de considérer la fonction de [01] dans [01] f : x ?? ?
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
— Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue (Heine) Exemple des fonctions lipschitziennes Enfin en quelle couleur
Une famille importante de fonctions uniformément continues sur un intervalle est celle des fonctions lipschitziennes sur cet intervalle
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne A 8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue Donner en justifiant sa
Exercice 1 Uniforme continuité 1 Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1] 2 Soit ?? < a < b < +?