FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTS
Exponentielle et logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.
exponentielle et logarithme
La fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal. Propriétés analytiques. Pour x strictement positif log(x) = ln(x) ln(10). (avec ln(10) = 2
LogarithmeDecimal
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Corollaires : Pour tous réels x et y on a : a) exp(− ) =.
Texplog
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Remarque : La première formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi celui qui aurait à effectuer 36 x 62
LogTT
Rappel mathématique
Le logarithme de x en base a est u (on écrit alors loga x = u). Une formule simple familière aux étudiants en finance
mathrappel
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTESL
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
formulaire.pdf
de définition de la formule : par exemple √a sous-entend a 李 0 n ∈ N∗
formulaire
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTC
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1 FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1.- logarithme formule pdf
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