FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTS
Exponentielle et logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.
exponentielle et logarithme
La fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal. Propriétés analytiques. Pour x strictement positif log(x) = ln(x) ln(10). (avec ln(10) = 2
LogarithmeDecimal
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Corollaires : Pour tous réels x et y on a : a) exp(− ) =.
Texplog
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Remarque : La première formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi celui qui aurait à effectuer 36 x 62
LogTT
Rappel mathématique
Le logarithme de x en base a est u (on écrit alors loga x = u). Une formule simple familière aux étudiants en finance
mathrappel
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
La fonction logarithme népérien notée ln
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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
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de définition de la formule : par exemple √a sous-entend a 李 0 n ∈ N∗
formulaire
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTC
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition (voir paragraphe II). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur
, à valeurs dans0;+∞
. Pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln:0;+∞ x"lnxExemple : L'équation
e x =5 admet une unique solution. Il s'agit de x=ln5 . A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée : x≈1,61YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x . Conséquences : a) x=e a est équivalent à a=lnx avec x > 0 b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxExemples :
e ln2 =2 et lne 4 =4 Propriété : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a) lnx=lny⇔x=y b) lnx3lnx-4=8
, I=0;+∞ d) ln6x-1 ≥2 , I= 1 6 e) e x +5>4e x I=! a) lnx=2 ⇔lnx=lne 2 ⇔x=e 2La solution est
e 2 . b) e x+1 =5 ⇔e x+1 =e ln5 ⇔x+1=ln5 ⇔x=ln5-1La solution est
ln5-1 . c)3lnx-4=8
⇔3lnx=12 ⇔lnx=4 ⇔lnx=lne 4 ⇔x=e 4La solution est
e 4 . d) ln6x-1 ≥2 ⇔ln6x-1 ≥lne 2 ⇔6x-1≥e 2 ⇔x≥ e 2 +1 6L'ensemble solution est donc
e 2 +1 6 . e) e x +5>4e x ⇔e x -4e x >-5 ⇔-3e x >-5 ⇔e x 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition (voir paragraphe II). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur
, à valeurs dans0;+∞
. Pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln:0;+∞ x"lnxExemple : L'équation
e x =5 admet une unique solution. Il s'agit de x=ln5 . A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée : x≈1,61YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x . Conséquences : a) x=e a est équivalent à a=lnx avec x > 0 b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxExemples :
e ln2 =2 et lne 4 =4 Propriété : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a) lnx=lny⇔x=y b) lnx3lnx-4=8
, I=0;+∞ d) ln6x-1 ≥2 , I= 1 6 e) e x +5>4e x I=! a) lnx=2 ⇔lnx=lne 2 ⇔x=e 2La solution est
e 2 . b) e x+1 =5 ⇔e x+1 =e ln5 ⇔x+1=ln5 ⇔x=ln5-1La solution est
ln5-1 . c)3lnx-4=8
⇔3lnx=12 ⇔lnx=4 ⇔lnx=lne 4 ⇔x=e 4La solution est
e 4 . d) ln6x-1 ≥2 ⇔ln6x-1 ≥lne 2 ⇔6x-1≥e 2 ⇔x≥ e 2 +1 6L'ensemble solution est donc
e 2 +1 6 . e) e x +5>4e x ⇔e x -4e x >-5 ⇔-3e x >-5 ⇔e x 5- logarithme formule pdf
- logarithme formule changement base
- logarithme formule limites
- logarithme formule dérivée
- logarithme formule terminale
- formule logarithme népérien
- formule logarithme décimal
- formule logarithme et exponentielle