Cours Terminale L La fonction logarithme népérien

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Cours Terminale L La fonction logarithme népérien

1. La fonction logarithme népérien

1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.

L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.

Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.

Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.

Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.

Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .

On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .

On dit que ln est la bijection réciproque

de exp.

La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.

1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?

1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.

1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.

Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(

?a) = 1

2ln(a).

1.4. Exercices :

Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(2

4) ; b) ln

4

7 + ln3

4 + ln9; c) lna2

b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln1

2 + ln2

3 + ln3

4 + ... + lnn

n?1 pour n ?? ? .

2. Étude de la fonction logarithme népérien

2.1. Fonction dérivée

Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .

En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de

plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.

Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve

l'ordre sur ]0; + ? [.

Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous

réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.

2.2. Limites aux bornes

Théorème : lim

x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.

En prenant X =

1 x, soit x = 1

X, lorsque x tend vers 0+ , 1

Xtend vers +? ;

lim x?0lnx = lim

X???ln?

1

X? = lim

X????ln?X? = - ?.

2.3. Représentation graphique

Quelques tangentes remarquables:

La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passe par l'origine du repère. Propriété: Les courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

3. La fonction ln o u

3.1. Dérivée de lnu .

On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction composée lnu est dérivable sur I et (lnu)' = u' u.

Exemple : Le polynôme P défini par P(x) = x2 + x + 1 et strictement positif sur ? , donc ln(P(x)) est dérivable sur ? et

ln(P(x))' = 2x?1 x2?x?1.

Comme la fonction u est strictement positive sur I, le signe de la dérivée de ln(u) est le signe de u'.

Dans l'exemple précédent, le signe de ln(P(x))' est celui de 2x + 1.

4. Équations et inéquations

La fonction ln étant une bijection croissante de ]0; + ? [ dans ? , pour tous réels a et b de ]0; + ? [,

ln a = lnb équivaut à a = b; et ln a < lnb équivaut à a < b. On peut alors résoudre des équations et des inéquations:

lnx = 2 équivaut à x = e2 ; L'équation ln(x - 1) = 1 n'a de sens que si x - 1 > 0 puisque la fonction ln est définie

sur ]0; + ? [, c'est-à-dire si x > 1. Et ln(x - 1) = 1 donne x - 1 = e , donc x = 1 + e. Cette solution appartient à

l'intervalle ]1; +?[ , donc l'équation a pour solution : S = {1 + e}.

lnx ? 2 équivaut à 0 < x ? e2 ; ln(x - 1) ? 1 équivaut à 0 < x - 1 ? e, donc 1 < x ? 1 + e.

Tableau de variations:

x0 1e+? 1 x ln(x)|||||| - ?01 +?

Exemples :

a) Résoudre l'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x). Cette équation est valide si et seulement si 3x - 1 > 0 et 1 - x > 0.

La première inéquation donne x >

1

3 et la deuxième donne x < 1, donc on résout l'équation sur ]1

3; 1[ .

L'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x) équivaut alors à 3x - 1 = 1 - x, qui s'écrit 4x = 2, soit x =

1

2. Cette solution appartient

à l'intervalle ]

1

3; 1[ , donc l'équation a une solution : S = {1

2}.

b) Résoudre l'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1). Cette équation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et 4x - 1 > 0.

La première inéquation donne x >

3

2 et la deuxième donne x > 1

4, donc on résout l'équation sur ]1

4; +?[ .

L'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1) équivaut alors à 2x - 3 = 4x - 1, qui s'écrit 2x = - 1, soit x =

?1

2. Cette solution

n'appartient pas à l'intervalle ] 1

4; +?[ , donc l'équation n'a pas de solution.

c) Résoudre l'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1). Cette inéquation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et

x - 1 > 0. La première inéquation donne x > 3

2 et la deuxième donne x > 1, donc on résout l'inéquation sur ]3

2; +?[ .

L'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1) équivaut alors à 2x - 3 ? x - 1 , équivaut à x ? 2. Donc les solutions de cette

inéquation sont les réels x ? ] 3

2 ; 2].

5. La fonction logarithme décimal

5.1. Définition: Le logarithme décimal est défini sur ]0; + ? [ , noté log, et vérifie: pour tout réel x, l'unique solution de

l'équation 10 x = y est le nombre log(y).

Cours Terminale L La fonction logarithme népérien

1. La fonction logarithme népérien

1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.

L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.

Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.

Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.

Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.

Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .

On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .

On dit que ln est la bijection réciproque

de exp.

La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.

1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?

1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.

1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.

Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(

?a) = 1

2ln(a).

1.4. Exercices :

Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(2

4) ; b) ln

4

7 + ln3

4 + ln9; c) lna2

b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln1

2 + ln2

3 + ln3

4 + ... + lnn

n?1 pour n ?? ? .

2. Étude de la fonction logarithme népérien

2.1. Fonction dérivée

Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .

En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de

plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.

Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve

l'ordre sur ]0; + ? [.

Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous

réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.

2.2. Limites aux bornes

Théorème : lim

x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.

En prenant X =

1 x, soit x = 1

X, lorsque x tend vers 0+ , 1

Xtend vers +? ;

lim x?0lnx = lim

X???ln?

1

X? = lim

X????ln?X? = - ?.

2.3. Représentation graphique

Quelques tangentes remarquables:

La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passe par l'origine du repère. Propriété: Les courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

3. La fonction ln o u

3.1. Dérivée de lnu .

On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction composée lnu est dérivable sur I et (lnu)' = u' u.

Exemple : Le polynôme P défini par P(x) = x2 + x + 1 et strictement positif sur ? , donc ln(P(x)) est dérivable sur ? et

ln(P(x))' = 2x?1 x2?x?1.

Comme la fonction u est strictement positive sur I, le signe de la dérivée de ln(u) est le signe de u'.

Dans l'exemple précédent, le signe de ln(P(x))' est celui de 2x + 1.

4. Équations et inéquations

La fonction ln étant une bijection croissante de ]0; + ? [ dans ? , pour tous réels a et b de ]0; + ? [,

ln a = lnb équivaut à a = b; et ln a < lnb équivaut à a < b. On peut alors résoudre des équations et des inéquations:

lnx = 2 équivaut à x = e2 ; L'équation ln(x - 1) = 1 n'a de sens que si x - 1 > 0 puisque la fonction ln est définie

sur ]0; + ? [, c'est-à-dire si x > 1. Et ln(x - 1) = 1 donne x - 1 = e , donc x = 1 + e. Cette solution appartient à

l'intervalle ]1; +?[ , donc l'équation a pour solution : S = {1 + e}.

lnx ? 2 équivaut à 0 < x ? e2 ; ln(x - 1) ? 1 équivaut à 0 < x - 1 ? e, donc 1 < x ? 1 + e.

Tableau de variations:

x0 1e+? 1 x ln(x)|||||| - ?01 +?

Exemples :

a) Résoudre l'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x). Cette équation est valide si et seulement si 3x - 1 > 0 et 1 - x > 0.

La première inéquation donne x >

1

3 et la deuxième donne x < 1, donc on résout l'équation sur ]1

3; 1[ .

L'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x) équivaut alors à 3x - 1 = 1 - x, qui s'écrit 4x = 2, soit x =

1

2. Cette solution appartient

à l'intervalle ]

1

3; 1[ , donc l'équation a une solution : S = {1

2}.

b) Résoudre l'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1). Cette équation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et 4x - 1 > 0.

La première inéquation donne x >

3

2 et la deuxième donne x > 1

4, donc on résout l'équation sur ]1

4; +?[ .

L'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1) équivaut alors à 2x - 3 = 4x - 1, qui s'écrit 2x = - 1, soit x =

?1

2. Cette solution

n'appartient pas à l'intervalle ] 1

4; +?[ , donc l'équation n'a pas de solution.

c) Résoudre l'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1). Cette inéquation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et

x - 1 > 0. La première inéquation donne x > 3

2 et la deuxième donne x > 1, donc on résout l'inéquation sur ]3

2; +?[ .

L'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1) équivaut alors à 2x - 3 ? x - 1 , équivaut à x ? 2. Donc les solutions de cette

inéquation sont les réels x ? ] 3

2 ; 2].

5. La fonction logarithme décimal

5.1. Définition: Le logarithme décimal est défini sur ]0; + ? [ , noté log, et vérifie: pour tout réel x, l'unique solution de

l'équation 10 x = y est le nombre log(y).