MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu'applicable l
Rappel d'instructions précédentes : ↑ ou premières lettres ↑ exp log
matlab
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
III. Propriété de la fonction exponentielle. 1) Relation fonctionnelle lnm3 − √5n + lnm3 + √5n = 3 ln 2 + ln 5 − 2 ln 3 = ln m − ln.
Texplog
Calculatrices BA II PLUS™ / BAII PLUS™ PROFESSIONAL
3. Pour accéder à un autre format de la calculatrice appuyez une fois Calculer un logarithme népérien : ln 203.45. 203.45 >.
BAIIPLUSGuidebook FR
m. abdou salam diop professeur de mathematiques au lycee de koki
Chapitre III : DERIVATION. ➢ Chapitre IV : ETUDE DE FONCTIONS. ➢ Chapitre V : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. ➢ Chapitre VII : SUITES NUMERIQUES.
COURS TL
OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
3. Remarquez que la règle d'addition et de soustraction des fractions n'est applicable que Le logarithme népérien a un comportement monotone croissant.
rappelmath
TI-83 Plus.fr MANUEL D'UTILISATION
Chapitre 3 : Graphes de fonctions Vous ne pouvez pas frapper les lettres L O
ti plus fr
INTRODUCTION À MAPLE
18 juill. 2001 3. Qu'est-ce que Maple ? Maple est un logiciel de mathématiques ... Le logiciel possède déjà des fonctions pré-définies comme cos sin
guide maple
Manuel dʼutilisation
1.1.3 Récupérer un résultat quelconque dans lʼhistorique de calcul . log(x) Fonction logarithme népérien : attention ici log(x) calcule donc ln(x).
book
HISTOIRE DES SCIENCES
3 Caractère de la science grecque . 3 Les universités et la scolastique . ... où la notation moderne ln désigne le logarithme népérien.
PHQ A ?sequence= &isAllowed=y
Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
3. + ln. 3. 4. + + ln n n1 pour n . 2. Étude de la fonction logarithme népérien. 2.1. Fonction dérivée. Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; ...
coursTL logarithmes
Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.
L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.
Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .
On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .On dit que ln est la bijection réciproque
de exp.La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.
1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?
1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(
?a) = 12ln(a).
1.4. Exercices :
Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(24) ; b) ln
47 + ln3
4 + ln9; c) lna2
b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln12 + ln2
3 + ln3
4 + ... + lnn
n?1 pour n ?? ? .2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Fonction dérivée
Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de
plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve
l'ordre sur ]0; + ? [.Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous
réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.2.2. Limites aux bornes
Théorème : lim
x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.En prenant X =
1 x, soit x = 1X, lorsque x tend vers 0+ , 1
Xtend vers +? ;
lim x?0lnx = limX???ln?
1X? = lim
X????ln?X? = - ?.
2.3. Représentation graphique
Quelques tangentes remarquables:
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passe par l'origine du repère. Propriété: Les courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.3. La fonction ln o u
3.1. Dérivée de lnu .
On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction composée lnu est dérivable sur I et (lnu)' = u' u.Exemple : Le polynôme P défini par P(x) = x2 + x + 1 et strictement positif sur ? , donc ln(P(x)) est dérivable sur ? et
ln(P(x))' = 2x?1 x2?x?1.Comme la fonction u est strictement positive sur I, le signe de la dérivée de ln(u) est le signe de u'.
Dans l'exemple précédent, le signe de ln(P(x))' est celui de 2x + 1.4. Équations et inéquations
La fonction ln étant une bijection croissante de ]0; + ? [ dans ? , pour tous réels a et b de ]0; + ? [,
ln a = lnb équivaut à a = b; et ln a < lnb équivaut à a < b. On peut alors résoudre des équations et des inéquations:lnx = 2 équivaut à x = e2 ; L'équation ln(x - 1) = 1 n'a de sens que si x - 1 > 0 puisque la fonction ln est définie
sur ]0; + ? [, c'est-à-dire si x > 1. Et ln(x - 1) = 1 donne x - 1 = e , donc x = 1 + e. Cette solution appartient à
l'intervalle ]1; +?[ , donc l'équation a pour solution : S = {1 + e}.lnx ? 2 équivaut à 0 < x ? e2 ; ln(x - 1) ? 1 équivaut à 0 < x - 1 ? e, donc 1 < x ? 1 + e.
Tableau de variations:
x0 1e+? 1 x ln(x)|||||| - ?01 +?Exemples :
a) Résoudre l'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x). Cette équation est valide si et seulement si 3x - 1 > 0 et 1 - x > 0.
La première inéquation donne x >
13 et la deuxième donne x < 1, donc on résout l'équation sur ]1
3; 1[ .
L'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x) équivaut alors à 3x - 1 = 1 - x, qui s'écrit 4x = 2, soit x =
12. Cette solution appartient
à l'intervalle ]
13; 1[ , donc l'équation a une solution : S = {1
2}.b) Résoudre l'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1). Cette équation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et 4x - 1 > 0.
La première inéquation donne x >
32 et la deuxième donne x > 1
4, donc on résout l'équation sur ]1
4; +?[ .
L'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1) équivaut alors à 2x - 3 = 4x - 1, qui s'écrit 2x = - 1, soit x =
?12. Cette solution
n'appartient pas à l'intervalle ] 14; +?[ , donc l'équation n'a pas de solution.
c) Résoudre l'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1). Cette inéquation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et
x - 1 > 0. La première inéquation donne x > 32 et la deuxième donne x > 1, donc on résout l'inéquation sur ]3
2; +?[ .
L'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1) équivaut alors à 2x - 3 ? x - 1 , équivaut à x ? 2. Donc les solutions de cette
inéquation sont les réels x ? ] 32 ; 2].
5. La fonction logarithme décimal
5.1. Définition: Le logarithme décimal est défini sur ]0; + ? [ , noté log, et vérifie: pour tout réel x, l'unique solution de
l'équation 10 x = y est le nombre log(y).Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ?.
L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur ?.
Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.Il existe une fonction définie sur ]0; + ? [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien , notée ln.Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .
On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x . De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .On dit que ln est la bijection réciproque
de exp.La fonction ln est définie sur ]0; + ? [.
1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln ?
1 e? = - 1. Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e- 1 = 1 e.1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme. ln 1 b? = - ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé. ln a b? = ln(a) - ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(
?a) = 12ln(a).
1.4. Exercices :
Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 - ln(24) ; b) ln
47 + ln3
4 + ln9; c) lna2
b + lnb3 a4 ; d) ln(e3) - ln(e- 2 ) ; e) ln(e ?e) - ln(1 e) ; f) ln12 + ln2
3 + ln3
4 + ... + lnn
n?1 pour n ?? ? .2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Fonction dérivée
Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; + ? [ et ln(x)' = 1 x. Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) ? ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))? ln'(x) = 1. de
plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x? ln'(x) = 1, d'où ln(x)' = 1 x.Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve
l'ordre sur ]0; + ? [.Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; + ? [, donc pour tous
réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b. De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.2.2. Limites aux bornes
Théorème : lim
x???lnx??? et lim x?0lnx???. Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; + ? [, pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc lim x???lnx???.En prenant X =
1 x, soit x = 1X, lorsque x tend vers 0+ , 1
Xtend vers +? ;
lim x?0lnx = limX???ln?
1X? = lim
X????ln?X? = - ?.
2.3. Représentation graphique
Quelques tangentes remarquables:
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : y = 1(x - 1) + ln1 = x - 1. La tangente au point d'abscisse e a pour équation : y = 1 e(x - e) + lne = 1 ex - 1 + 1 = x e. Cette tangente passe par l'origine du repère. Propriété: Les courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.3. La fonction ln o u
3.1. Dérivée de lnu .
On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction composée lnu est dérivable sur I et (lnu)' = u' u.Exemple : Le polynôme P défini par P(x) = x2 + x + 1 et strictement positif sur ? , donc ln(P(x)) est dérivable sur ? et
ln(P(x))' = 2x?1 x2?x?1.Comme la fonction u est strictement positive sur I, le signe de la dérivée de ln(u) est le signe de u'.
Dans l'exemple précédent, le signe de ln(P(x))' est celui de 2x + 1.4. Équations et inéquations
La fonction ln étant une bijection croissante de ]0; + ? [ dans ? , pour tous réels a et b de ]0; + ? [,
ln a = lnb équivaut à a = b; et ln a < lnb équivaut à a < b. On peut alors résoudre des équations et des inéquations:lnx = 2 équivaut à x = e2 ; L'équation ln(x - 1) = 1 n'a de sens que si x - 1 > 0 puisque la fonction ln est définie
sur ]0; + ? [, c'est-à-dire si x > 1. Et ln(x - 1) = 1 donne x - 1 = e , donc x = 1 + e. Cette solution appartient à
l'intervalle ]1; +?[ , donc l'équation a pour solution : S = {1 + e}.lnx ? 2 équivaut à 0 < x ? e2 ; ln(x - 1) ? 1 équivaut à 0 < x - 1 ? e, donc 1 < x ? 1 + e.
Tableau de variations:
x0 1e+? 1 x ln(x)|||||| - ?01 +?Exemples :
a) Résoudre l'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x). Cette équation est valide si et seulement si 3x - 1 > 0 et 1 - x > 0.
La première inéquation donne x >
13 et la deuxième donne x < 1, donc on résout l'équation sur ]1
3; 1[ .
L'équation ln(3x - 1) = ln(1 - x) équivaut alors à 3x - 1 = 1 - x, qui s'écrit 4x = 2, soit x =
12. Cette solution appartient
à l'intervalle ]
13; 1[ , donc l'équation a une solution : S = {1
2}.b) Résoudre l'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1). Cette équation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et 4x - 1 > 0.
La première inéquation donne x >
32 et la deuxième donne x > 1
4, donc on résout l'équation sur ]1
4; +?[ .
L'équation ln(2x - 3) = ln(4x - 1) équivaut alors à 2x - 3 = 4x - 1, qui s'écrit 2x = - 1, soit x =
?12. Cette solution
n'appartient pas à l'intervalle ] 14; +?[ , donc l'équation n'a pas de solution.
c) Résoudre l'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1). Cette inéquation est valide si et seulement si 2x - 3 > 0 et
x - 1 > 0. La première inéquation donne x > 32 et la deuxième donne x > 1, donc on résout l'inéquation sur ]3
2; +?[ .
L'inéquation ln(2x - 3) ? ln(x - 1) équivaut alors à 2x - 3 ? x - 1 , équivaut à x ? 2. Donc les solutions de cette
inéquation sont les réels x ? ] 3