épreuve de spécialité - session 2021

218734 ?CORRIGÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL?

ÉPREUVE D"ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Session2021Sujet 0

EXERCICE1 commun à tousles candidats 5 points

1.On considère les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier natureln,

u n=1-?1 4? n etvn=1+?14? n On considère de plus une suite (wn) qui, pour tout entier natureln, vérifieun?wn?vn.

On peut affirmer que :

a.Les suites(un)et(vn)sont géométriques.b.La suite (wn) converge vers 1. c.La suite(un)est minorée par 1.d.La suite(wn)est croissante. Application directe du théorème dit "des gendarmes».

2.On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=xex2.

La fonction dérivée defest la fonctionf?définie surRpar : a.f?(x)=2xex2b.f?(x)=(1+2x)ex2 c.f?(x)=(1+2x2)ex2 d.f?(x)=(2+x2)ex2. f?(x)=1×ex2+x×2xex2=?1+2x2?ex2

3.Que vaut limx→+∞x

2-1

2x2-2x+1?

a.-1b.0c.1

2d.+∞.

limx→+∞x

2-12x2-2x+1=limx→+∞x

2? 1-1 x2? x2?

2-2x+1x2?

=limx→+∞1-1 x2

2-2x+1x2=12

4.On considère une fonctionhcontinue sur l"intervalle [-1 ; 1] telle que

h(-1)=0h(0)=2h(1)=0.

On peut affirmer que :

a.La fonctionhest croissante sur l"intervalle [-1 ; 0]. b.La fonctionhest positive sur l"intervalle [-1 ; 1]. c.Il existe au moins un nombre réeladans l"intervalle [0; 1] tel queh(a)=1. d.l"équationh(x)=1 admet exactement deux solutions dans l"intervalle [-1 ; 1]. Application du théorème des valeurs intermédiaires sur l"intervalle [0 ; 1].

5.On suppose quegest une fonction dérivable sur l"intervalle [-4 ; 4]. Ondonne ci-contre la repré-

sentation graphique de safonctiondérivéeg?.

On peut affirmer que :

a.gadmet un maximum en-2. b.gestcroissantesurl"intervalle[1;2]. c.gest convexe sur l"intervalle [1; 2]. d.gadmet un minimum en 0.

0 1 2 3 4-1-2-3-40

-11 23
C g? La fonctiong?est croissante sur l"intervalle [1 ; 2], donc la fonctiongest convexe sur cet intervalle. Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P.

EXERCICE2 commun à tousles candidats 5 points

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et Jle symétrique de E par rapport à F.

ABCDH EG I ??F J Dans tout l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonormé?

A ;# »AB,# »AD,# »AE?

Les sommets du cube ont pour coordonnées : A

(000)) , B((100)) , D((010)) , E((001)) , C((110)) , F((101)) , H((011)) et G((111))

1. a.• Le point I est le milieu de [EF] donc I a pour coordonnées((1

201))
• Le point J est le symétrique de E par rapport à F, donc J a pour coordonnées((201)) b.On en déduit les coordonnées des vecteurs# »DJ((2 -1 1)) ,#»BI((-1 201))
et# »BG((011))

c.• Les vecteurs#»BI et# »BGne sont pascolinéaires donccesont deuxvecteurs directeursduplan

(BGI). •# »DJ·#»BI=-1+0+1=0 donc# »DJ?#»BI. •# »DJ·# »BG=0-1+1=0 donc# »DJ?# »BG.

Donc le vecteur# »DJ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc il est

normal au plan (BGI). d.• Le vecteur# »DJ((2 -1 1)) est normal auplan (BGI)doncle plan (BGI)aune équation delaforme

2x-y+z+d=0.

• LepointBappartientauplan(BGI)donclescoordonnéesdeBvérifientl"équationduplan; donc 2xB-yB+zB+d=0, ce qui équivaut à 2-0+0+d=0, ce qui veut dire qued=-2. Donc une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0.

2.On notedla droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a.La droitedest orthogonale au plan (BGI), et# »DJ est un vecteur normal au plan (BGI), donc# »DJ

est un vecteur directeur de la droited. LepointFappartientàladroiteddoncladroitedestl"ensembledespointsMdecoordonnées (x;y;z) tels que# »FM et# »DJ soient colinéaires.

Corrigédu sujet 0 -2session 2021

Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P. # »FM et# »DJ colinéaires??# »FM=t.# »DJ?????x-1=t×2 y-0=t×(-1) z-1=t×1

Donc la droiteda pour équation???x=1+2t

y= -t z=1+t,t?R b.On considère le point L de coordonnées?2

3;16;56?.

• Pour prouver que L?d, on cherchetpour que?????2

3=1+2t

1 6= -t 5 6=1+t

On trouvet=-1

6donc L?d.

• Le plan (BGI)a pour équation 2x-y+z-2=0; or 2xL-yL+zL-2=4

3-16+56-2=0, donc

L?(BGI).

Le point L est donc le point d"intersection de la droitedet du plan (BGI).

3. a.La pyramide FBGI a pour base le triangle rectangle FBG, et pour hauteur IF.

• IF=1 2 • Le triangle rectangle FBG a pour aire

FG×FB

2=12.

Le volume de la pyramide FBGI est doncV=1

3×12×12=112.

b.La droitedest orthogonale au plan (BGI) et coupe ce plan en L. Le point F appartient à la droited, donc on peut dire que la distance FL est la distance du point Fau plan (BGI), autre- ment dit c"est la hauteur de la pyramide FBGI dont le triangleBGI est la base. FL 2=?2 3-1? 2 +?16-0? 2 +?56-1? 2 =19+136+136=636=16donc FL=1?6 On appelleAl"aire du triangle BGI. On exprime le volume de la pyramide FBGI : V=1

3×FL×A??112=13×1?6×A??3×?

6

12=A??A=?

6 4

L"aire du triangle BGI est égale à?

6 4.

EXERCICE3 commun à tousles candidats 5 points

Pour préparer l"examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

— la formation avecconduite accompagnée;

— la formationtraditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l"examen du permis de conduire. Dans ce

groupe : — 75personnesontsuiviuneformationavecconduiteaccompagnée;parmielles,50ontréussil"exa-

men à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.

— 225personnessesontprésentéesàl"examensuiteàuneformationtraditionnelle;parmielles,100

ont réussi l"examen àla première présentation, 75 àla deuxième et 50 àla troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les évènements suivants :

A: "la personne a suivi une formation avecconduite accompagnée»; R

1: "la personne a réussi l"examen à la première présentation»;

R

2: "la personne a réussi l"examen à la deuxième présentation»;

?CORRIGÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL?

ÉPREUVE D"ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Session2021Sujet 0

EXERCICE1 commun à tousles candidats 5 points

1.On considère les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier natureln,

u n=1-?1 4? n etvn=1+?14? n On considère de plus une suite (wn) qui, pour tout entier natureln, vérifieun?wn?vn.

On peut affirmer que :

a.Les suites(un)et(vn)sont géométriques.b.La suite (wn) converge vers 1. c.La suite(un)est minorée par 1.d.La suite(wn)est croissante. Application directe du théorème dit "des gendarmes».

2.On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=xex2.

La fonction dérivée defest la fonctionf?définie surRpar : a.f?(x)=2xex2b.f?(x)=(1+2x)ex2 c.f?(x)=(1+2x2)ex2 d.f?(x)=(2+x2)ex2. f?(x)=1×ex2+x×2xex2=?1+2x2?ex2

3.Que vaut limx→+∞x

2-1

2x2-2x+1?

a.-1b.0c.1

2d.+∞.

limx→+∞x

2-12x2-2x+1=limx→+∞x

2? 1-1 x2? x2?

2-2x+1x2?

=limx→+∞1-1 x2

2-2x+1x2=12

4.On considère une fonctionhcontinue sur l"intervalle [-1 ; 1] telle que

h(-1)=0h(0)=2h(1)=0.

On peut affirmer que :

a.La fonctionhest croissante sur l"intervalle [-1 ; 0]. b.La fonctionhest positive sur l"intervalle [-1 ; 1]. c.Il existe au moins un nombre réeladans l"intervalle [0; 1] tel queh(a)=1. d.l"équationh(x)=1 admet exactement deux solutions dans l"intervalle [-1 ; 1]. Application du théorème des valeurs intermédiaires sur l"intervalle [0 ; 1].

5.On suppose quegest une fonction dérivable sur l"intervalle [-4 ; 4]. Ondonne ci-contre la repré-

sentation graphique de safonctiondérivéeg?.

On peut affirmer que :

a.gadmet un maximum en-2. b.gestcroissantesurl"intervalle[1;2]. c.gest convexe sur l"intervalle [1; 2]. d.gadmet un minimum en 0.

0 1 2 3 4-1-2-3-40

-11 23
C g? La fonctiong?est croissante sur l"intervalle [1 ; 2], donc la fonctiongest convexe sur cet intervalle. Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P.

EXERCICE2 commun à tousles candidats 5 points

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et Jle symétrique de E par rapport à F.

ABCDH EG I ??F J Dans tout l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonormé?

A ;# »AB,# »AD,# »AE?

Les sommets du cube ont pour coordonnées : A

(000)) , B((100)) , D((010)) , E((001)) , C((110)) , F((101)) , H((011)) et G((111))

1. a.• Le point I est le milieu de [EF] donc I a pour coordonnées((1

201))
• Le point J est le symétrique de E par rapport à F, donc J a pour coordonnées((201)) b.On en déduit les coordonnées des vecteurs# »DJ((2 -1 1)) ,#»BI((-1 201))
et# »BG((011))

c.• Les vecteurs#»BI et# »BGne sont pascolinéaires donccesont deuxvecteurs directeursduplan

(BGI). •# »DJ·#»BI=-1+0+1=0 donc# »DJ?#»BI. •# »DJ·# »BG=0-1+1=0 donc# »DJ?# »BG.

Donc le vecteur# »DJ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc il est

normal au plan (BGI). d.• Le vecteur# »DJ((2 -1 1)) est normal auplan (BGI)doncle plan (BGI)aune équation delaforme

2x-y+z+d=0.

• LepointBappartientauplan(BGI)donclescoordonnéesdeBvérifientl"équationduplan; donc 2xB-yB+zB+d=0, ce qui équivaut à 2-0+0+d=0, ce qui veut dire qued=-2. Donc une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0.

2.On notedla droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a.La droitedest orthogonale au plan (BGI), et# »DJ est un vecteur normal au plan (BGI), donc# »DJ

est un vecteur directeur de la droited. LepointFappartientàladroiteddoncladroitedestl"ensembledespointsMdecoordonnées (x;y;z) tels que# »FM et# »DJ soient colinéaires.

Corrigédu sujet 0 -2session 2021

Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P. # »FM et# »DJ colinéaires??# »FM=t.# »DJ?????x-1=t×2 y-0=t×(-1) z-1=t×1

Donc la droiteda pour équation???x=1+2t

y= -t z=1+t,t?R b.On considère le point L de coordonnées?2

3;16;56?.

• Pour prouver que L?d, on cherchetpour que?????2

3=1+2t

1 6= -t 5 6=1+t

On trouvet=-1

6donc L?d.

• Le plan (BGI)a pour équation 2x-y+z-2=0; or 2xL-yL+zL-2=4

3-16+56-2=0, donc

L?(BGI).

Le point L est donc le point d"intersection de la droitedet du plan (BGI).

3. a.La pyramide FBGI a pour base le triangle rectangle FBG, et pour hauteur IF.

• IF=1 2 • Le triangle rectangle FBG a pour aire

FG×FB

2=12.

Le volume de la pyramide FBGI est doncV=1

3×12×12=112.

b.La droitedest orthogonale au plan (BGI) et coupe ce plan en L. Le point F appartient à la droited, donc on peut dire que la distance FL est la distance du point Fau plan (BGI), autre- ment dit c"est la hauteur de la pyramide FBGI dont le triangleBGI est la base. FL 2=?2 3-1? 2 +?16-0? 2 +?56-1? 2 =19+136+136=636=16donc FL=1?6 On appelleAl"aire du triangle BGI. On exprime le volume de la pyramide FBGI : V=1

3×FL×A??112=13×1?6×A??3×?

6

12=A??A=?

6 4

L"aire du triangle BGI est égale à?

6 4.

EXERCICE3 commun à tousles candidats 5 points

Pour préparer l"examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

— la formation avecconduite accompagnée;

— la formationtraditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l"examen du permis de conduire. Dans ce

groupe : — 75personnesontsuiviuneformationavecconduiteaccompagnée;parmielles,50ontréussil"exa-

men à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.

— 225personnessesontprésentéesàl"examensuiteàuneformationtraditionnelle;parmielles,100

ont réussi l"examen àla première présentation, 75 àla deuxième et 50 àla troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les évènements suivants :

A: "la personne a suivi une formation avecconduite accompagnée»; R

1: "la personne a réussi l"examen à la première présentation»;

R

2: "la personne a réussi l"examen à la deuxième présentation»;