Le but est de résoudre : 2y’ + 3y = x² + 1 (E1) 1) Montrer que la fonction f telle que f(x) = 27 17 9 4 3 ² − + x x est solution de (E1) 2) Montrer que g + f est solution de l’équation (E1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle (E2) : 2y’ + 3y = 0 3) En déduire toutes les solutions de (E1)
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension
1 Montrer que f est continue en 0 2 Étudier la dérivabilité de f en 0 Solution : 1 On a lim x→0+ x2 = 0 Donc, f est continue en 0 2 On a : lim x→0+ x2 −0 x −0 = lim x→0+ x = 0 Donc, f est dérivable à droite en 0 et f′ d(0) = 0 De même, il est clair que f est dérivable à gauche en 0, avec f′ g(0) = 0 Donc, f est
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de RN, l’espace vectoriel des suites réelles Montrer que si u ∈F ∩G, alors u est constante en déduire que la somme F +Gest directe 2 Solution: L’équation caractéristique d’une suite de F est r2−r−3=0 Ses racines sont r1= 1− √ 13 et r2= 1+ √ 13 2 Ainsi
6 Si F est un hyperplan vectoriel de F (i e un sous-espace vectoriel de dimension n 1), on dit que ˙ F est une réflexion Montrer que det˙ F = 1 7 Montrer que l’ensemble des isométries vectorielles de E forme un
Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ) (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f
• On dit que f est différentiable sur Ω si elle est différentiable en tout point a∈Ω Dans ce cas on a une application Df (ou D1f ou f ’) de Ω dans L (E,F), appelée application dérivée (1) On dit que f est une primitive de Df • On dit que f est p fois différentiable en a si : - Dp−1f est définie sur un voisinage ouvert Ω
Algèbre linéaire 1 1 Applications linéaires : 1 1 Rang de f2: Eest un K -espace vectoriel de dimension nie n Soit f∈ L(E) 1- Montrer que rg (f2) = rg f−dim(kerf∩Im f)
Montrer que l'ensemble fxn:n 2 N g[f xg est compact Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y une bijection continue
Proposition 3 Si f :E → F est une application linéaire, alors l’image d’un sous-espace vectoriel de E est toujours un sous-espace vectoriel de F ; et l’image réciproque de tout sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E Corollaire 1 Si f :E → F est une application linéaire, alors ker(f)est un sous-espace
Continuité d’une fonction Sur un intervalle
Montrer que g est continue sur 2 1 0; Exercice 4 Soit f(x) = x3 −4x +5 Montrer que l’équation f(x) = 8 admet une unique solution sur ;3 3 2 3 et en donner un encadrement à 0,1 près Exercice 5 Soit f(x) = 2x3 −3x² −1 Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution et en donner un encadrement à 10-2 près En déduire le signe de f Exercice 6 Soit la fonction f
[PDF]
CONTINUITÉ - Maths & tiques
f est continue en a f est continue en a f est continue en a Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 4 f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon" Propriétés : 1) Les fonctions xxn (n
[PDF]
Chapitre 2 Espace des fonctions continues sur un compact
Montrer que f est continue en x 0 (resp continue sur E) Solution : En effet, Soit ">0,alorsilexiste>0 tel que d(x,x 0) ) d0(fn(x),fn(x 0)) ", 8n 2 N Puisque la dernière inégalité est vraie pour tout n 2 N,parpassageàlalimite quand n 1,onobtientlacontinuitédef en x 0 Théorème 2 1 3 (Ascoli (1883)) Soit K un espace métrique compact et F un espace métrique complet Soit H une
[PDF]
COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Reste à montrer que g est continue Soit x un point de f(I) et (x n) une suite de points de f(I) convergeant vers x Supposons que (g(x n)) n ne converge pas vers g(x) Alors il existe > 0 tel que pour tout N il existe n > N tel que g(x n)−g(x) > On peut donc construire une suite (x n k) k convergeant vers x tel que pour tout k on ait g(x n k)−g(x) > ; ou encore1une suite (x n k) k Taille du fichier : 137KB
ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions
Une fonction est continue à droite en a si lim x →a x>a f (x)= f (a) et continue à gauche en a si lim x →a x
[PDF]
III Continuité d’une fonction
La fonctionrfainsi construite est continue sur On dit querf est leprolongement par continuitéde f en a Exercice : On pose fpxq tan x x sur D f s ˇ 2;0rYs0;ˇ 2 r Montrer que f est prolongeable par continuité en a 0 en une fonctionrf à préciser 1 Ici, s ˇ 2;ˇ 2 r, a 0 et fpxq tan x
[PDF]
Continuité et dérivabilité d’une fonction
que la seule solution acceptable est 4 La suite (un)converge vers 4 1 5 Continuité et dérivabilité Théorème 2 : Admis • Si f est dérivable en a alors la fonction f est continue en a • Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I B La réciproque de ce théorème est Taille du fichier : 162KB
[PDF]
Continuité sur un intervalle
est continue sur Ren tant que quotient de fonctions continues sur Rdont le dénominateur ne s’annule pas sur R 2 Les grands théorèmes 2 1 Le théorème des valeurs intermédiaires 2 1 1 Compléments sur les intervalles de R On rappelle les différents types d’intervalles : • [a,b], aet bréels tels que a6b(intervalle fermé borné ou segment) • [a,b[, aet bréels tels que a
[PDF]
Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
On doit montrer que la fonction g = f 1 est continue Soit F un fermé de X ; il nous su t de montrer que g 1 (F ) est fermé dans Y Pour cela, notons que g 1 (F ) = fy 2 Y :g(y) 2 F g = fy 2 Y :f 1 (y) 2 F g = f(F ) : D'après le théorème 3 10, f(F ) est compact; comme les compacts sont fermés, on en déduit bien que g 1 (F ) = f(F ) est fermé, ce qu'il fallait démontrer 14 Created
[PDF]
FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1
Montrer que f est impaire et continue sur 2 Montrer que f est de classe C1 sur 3 Donner le tableau des variations de f 4 (Q GpGXLUH O¶H[LVWHQFH G¶XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire Correction 1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ° z ® °¯ : f est impaire La fonction xeexx2 1est continue
Montrer que cette fonction est continue sur D Réponse Or la fonction f − g est continue (comme différence de deux fonctions continues) et la fonction
TD corrige
Démontrer que l'équation f (x) = 2 admet au moins une solution sur [-1 ; 4] - f est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur R - f −1
ContinuiteTESL
Ici D est une réunion de deux intervalles disjoints et f est continue sur D si et l' on note x0 x0 est un élément de [a, b] et donc de I On va montrer que f (x0) = γ
continuite
(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
selcor
Soit f une fonction définie en un point x0 ∈ R On dit que f est continue en x0 si f poss`ede x0 convient pour montrer la continuité en x0 Maintenant pour x0
new.continu
7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la
Cours continuite derivabilite fonction
Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g−l ) et (f −l)l tendent vers 0 Une fonction f est continue en a quand elle admet f(a) comme limite en a
lc
Montrer que f est continue en tout point de R Exercice 2 14 (Borne supérieure atteinte) 24 Page 8 Soit f une application continue
chap
Exemple La fonction valeur absolue · est continue sur Démonstration Soit a Nous devons montrer que f est continue en a, i e que : lim a f = f (a), ou encore
Cours Continuite
7 nov. 2014 La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe 3) Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet exactement une solution sur l'intervalle.
a) Montrer que si f = g +h avec g qui admet une limite en 0 mais pas h alors Correction :Par opérations
Montrer que si f est continue pour tout ? ouvert de R
Montrer que f est continue et que f est bijective de ]a b[ dans ]?
La fonction f(x y) est continue sur R2 {0
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. Démonstration. Supposons f dérivable Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe :.
Montrer que f est strictement monotone. Théorème 6.8. Soit f une fonction continue sur un segment. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Rappelons qu'un
Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction
on démontre que : 1 ! est continue sur [+ ;S] 2 ! change de signe sur [+ ;S] 3 ! est strictement monotone sur [+ ;S] Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent Avec la condition 3 en plus nous savons que la solution est unique Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)
Continuité d’une fonction Valeur approchée de la solution f(x) = k Principe : on entre dans la calculatrice la fonction on définit les paramètres du tableur avec l’intervalle dans lequel est contenue la solution de l’équation et on choisit le pas
élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x?a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau 1 2 3 ?1 1 2 3
f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée Comme la fonction x 7? x est continue sur R si f est continue sur [ab] alors f aussi Supposons que f ne soit pas majorée Alors il existe une suite (x n) n d
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en toute valeur a appartenant à I Exemples Les fonctions polynômes sont continues sur ? Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition La fonction racine carrée est continue sur[0;+?[ Remarque Interprétation graphique
Soit f continue sur R+ telle que pour tout réel positif x on ait f(x2) = f(x) Montrer que f est constante sur R+ Trouver un exemple où f n’est pas constante Correction H [005397] Exercice 7 ***IT Soit f continue sur R+ à valeurs dans R admettant une limite réelle quand x tend vers +¥ Montrer que f est uniformément continue sur R+
Comment montrer qu'une fonction est continue ?
On conclut en donnant le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) la fonction f est continue. D'après les questions précédentes, f est continue sur left]2 ; +infty right [ et en x=2. On en conclut que f est continue sur left [2 ; +infty right [.
Quelle est la continuité d'une fonction ?
Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I. On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) elle est définie.
Comment calculer la continuité d’une fonction ?
(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
Continuité et dérivabilité dune fonction