2 a) Loi de probabilité d’une variable aléatoire X : c’est la fonction qui à toute valeur xi de X associe le réel p i qui est la probabilité de l’événement (X = x i ) Une loi de probabilité P est souvent donnée par un tableau ou par une formule
Toute application X : › E est une variable aléatoire Par exemple, pour le lancé simultané de trois dés, S : › N, définie par S() est la somme des trois numéros obtenue, est une variable aléatoire Notation 2 3 Événements usuels Si X est une variable aléatoire et si A est une partie de E, notation {X 2 A} ou (X 2A) pour l
variable aléatoire est une variable aléatoire discrète On emploie également cette appellation pour une variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs possibles est un ensemble infini dénombrable Exemple : Considérons comme épreuve une suite indéfiniment prolongée de parties de pile ou face, et comme variable
1 1 Variable aléatoire réelle (discrète) Définition 1 Soit Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire Définir une variable aléatoire sur Ω, c’est associer à chaque issue de Ω un nombre réel Vocabulaire et notation : • Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule : X, Y, Z,
Reprise de l’exemple des paquets de farine dont le poids (en grammes) est une variable aléatoire Y : [950,1100] - Lorsqu’on prend un paquet au hasard, la proba d’obtenir un poids de farine
Exemple Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour: Soit X le nombre d’autos vendues par jour X est une variable aléatoire discrète Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné 17
Exemple 1 ♠ 1 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est donnée par : ∀x ∈ R, F X (x)= 0 si x < 0 xsi ∈ [0,1] 1 si x > 1 X est-elle une variable aléatoire à densité? Si oui, donner une densité 2 Même question avec la variable aléatoire Y dont la fonction de répartition est donnée par : ∀x ∈ R F
I) Notion de variable aléatoire 1) Exemple :On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée On gagne 2 F pour chaque résultat "pile" et on perd 1 F pour chaque "face" L’univers des possibles est Ω= {PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF} L'ensemble des gains possibles est donc {+6, +3, 0, −3}
La variable aléatoire U est donc à densité, et une densité fU de U est obtenue par dérivation de FU sauf en 0 et en 1, oil on donne à fU la valeur abitraire 0, de sorte que : si x < 0 ou x > 1 si 0 < x < 1 2- si x > 0 Soit a un réel strictement positif etfla fonction définie par : f (x) 0 si x < 0
Variable Aléatoire Continue, Loi à densité : • Exemple : Une puce électronique se déplace,dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante sur les
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VARIABLES ALÉATOIRES
comme par exemple celui du Chevalier de Méré: « Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? » I Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat "Taille du fichier : 146KB
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Chapitre 7 Variables aléatoires COURS
Une variable aléatoire ???? est une fonction définie sur un univers et à valeur dans ℝ 2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire 2 1 Exemples 2 1 1 Exemple 1 avec un tableau On dispose de deux dés cubiques bien équilibrés : un rouge et un vert notés ???? et ???? On lance les deux dés et on note le résultat de chaque dé Par exemple, un résultat pourra être (????1 ;????4)
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3 Variables aléatoires
D’un point de vue formel, une variable aléatoire est une fonction X : ℝ , où Ω est l’univers des résultats Si l’ensemble des valeurs de cette fonction est fini ou dénombrable, on dit que cette variable aléatoire est discrète Exemple On remarque que la somme de des probabilités est égale à
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VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES - Unisciel
Un cas assez fréquent est celui où la variable aléatoire prend des valeurs entières positives : on note alors simplement k=x k Exemple 1 : X Ω =P ( ) 1,5 T car ω( ) = +X a b avec 0 ≤a ≤3 et 0 3 ≤b ≤ Les valeurs 0 et 6 ne sont pas obtenues car 0 0 0 = + et 6 3 3 = + Or : ≠a b
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VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - Maths-cours
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ >0 sur [0;+∞[ sisa densité deprobabilité f est définiesur [0;+∞[ par : f (x)=λe−λx EXEMPLE La densité de la loi exponentielle de paramètre λ =1,5 est la fonction f définie sur [0;+∞[ par f (x) =
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VARIABLE ALÉATOIRE - LOI DE PROBABILITÉ
expérience aléatoire EXEMPLES • On mise 1€sur le numéro 1 à la roulette On gagne 35€(36€- la mise) si le numéro sort On perd sa mise (soit 1€) dans les autres cas On peut définir une variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur Cette variable aléatoire peut
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Variables aléatoires continues - Free
Exemple 1 Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : Variable T correspondant à la taille d’un élève, Variable L correspondant à longueur d’un train, Variable A correspondant au temps d’attente à une caisse I 2 Fonction de répartition Définition 2 Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R par
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MATHEMATIQUES Somme de variables aléatoires : entraînement
On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre de points de la première phase et Y la variable aléatoire qui correspond à la deuxième phase Ainsi, S la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points, est la somme des deux; c’est à dire S = X +Y Déterminer la valeur exacte de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire S de l’exemple précédent
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LOI BINOMIALE - Maths & tiques
1) Variable aléatoire Exemple : On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie On considère comme succès "obtenir Pile" On réalise donc un schéma de Bernoulli de paramètre n = 5 et p=0,5 On note X le nombre de succès X est appelé la variable aléatoire associée au schéma
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La loi de Poisson Règle d’utilisation Deux exemples
Exemple On considère une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre λ Son espérance mathématique et son écart-type sont alors donnés par les formules suivantes : Propriétés E[X] = λ σ(X) = √ λ Remarque C’est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance Taille du fichier : 173KB
Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète 1 Loi de probabilité, Fonction de répartition La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de
varBio
variance d'une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux Voici d'autres exemples de domaines d'applications des probabilités Fiabilité On
st l inf probas
Exercice: Calculer espérance et variance des v a r évoquées plus haut La propriété suivante relie le calcul de l'espérance et la loi d'une variable aléatoire
ProbasL
déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète Exemple 2 2 On lance 2 dés équilibrés et on pose X la variable aléatoire qui donne la somme
M
Finalement, E(X)=1/p Exemple : Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire Y de loi exponentielle, c'est-`a-dire de densité
proba va
C'est alors un exercice de dénombrement que de démontrer que le couple (X, Y ) suit alors une loi trinomiale de param`etres (n, px,py) 1 2 Lois marginales
couples agrint
1 Notion de variable aléatoire Exemples Définition 2 Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance
CM probas L
Aléatoires 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes 2 1 Définition 2 2 Loi de Probablité 2 3 Fonction de Répartition 3 Variables Aléatoires Continues
variablesaleatoires
Exemple : Calculer P([X = 1]) et P([X ⩽ 2]) dans les deux exemples de la partie 1 1 Proposition 1 : Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω,T ,P) Alors,
Cours Chapitre
I. Variable aléatoire et loi de probabilité. 1) Variable aléatoire. Exemple : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le
Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète. 1 Loi de probabilité Fonction de répartition. La loi de probabilité d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire est généralement noté par une lettre de la fin de l'alphabet en majuscule comme par exemple X T
variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction Exemple de la loi binomiale : On réalise n expériences indépendantes et on ...
I. Variable aléatoire et loi de probabilité. 1) Variable aléatoire. Exemple : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le
struire" les probabilités mais simplement à identifier le modèle et à Posons X la variable aléatoire qui donne le nombre total de succès sur les n ...
2.2.7 Exemples de lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166. 2.3 Loi jointe de plusieurs variables aléatoires vecteurs aléatoires .
variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler Voici d'autres exemples de domaines d'applications des probabilités.
c) Calculer P(X ? 3). Exercice 5.2 : Définition : La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est la fonction réelle définie
Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple 1. Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas
Une variable aléatoire X de Bernoulli est une variable qui ne prend que deux valeurs : l'échec (au quel on associe la valeur 0) et le succès (auquel on associe
La variable aléatoire peut prendre les valeurs 1 2 3 4 5 et 6 Par exemple si on obtient la combinaison (2 ; 5) la plus grande valeur est 5 et on a :
Après avoir défini la notion de variable aléatoire celles de lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- miales géométrique de
Exemple 1 : Dans un sac qui contient 4 jetons numérotés 0 1 2 et 3 on tire Définition : Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un
Une variable aléatoire est généralement noté par une lettre de la fin de l'alphabet en majuscule comme par exemple X T W etc Cela est une convention
I) Variable aléatoire discrète 1) Exemples Exemple 1 On a donc la loi de probabilité de la variable aléatoire G en notant les valeurs prises
On dit aussi parfois que X est une variable aléatoire réelle finie ou encore que X prend un nombre fini de valeurs Exemples : a) Pour le lancers de pièce le
x2f(x) dx Exemple : Calcul de la variance d'une variable aléatoire X de loi G(p) On a déj`a vu que
exemples : fonctions de répartition et histogrammes des lois uniforme de Bernoulli binomiale Définition 2 3 : loi géométrique Théorème 2 2 : loi géométrique
Exemple 3 Si on lance une pièce non truqué deux fois le nombre de fois où pile est obtenue est une v a prenant les valeurs 012 Loi de probabilité
Comment faire une variable aléatoire ?
Définition : Une variable aléatoire ?? associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des possibles. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. - Si cette carte est un cœur, on gagne 5 €. - Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €.Comment identifier une variable aléatoire ?
nombres réels telle que pour chaque événement élémentaire il y a un et un seul nombre réel qui lui est associé. Une variable aléatoire est généralement noté par une lettre de la fin de l'alphabet en majuscule comme par exemple X, T, W, etc.Comment calculer la probabilité d'une variable aléatoire ?
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur E et prenant les valeurs x1,x2,, xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité pi = P(X = xi).- La moyenne est calculable pour les variables numériques, qu'elles soient discrètes ou continues. On l'obtient simplement en additionnant l'ensemble des valeurs et en divisant cette somme par le nombre de valeurs. Ce calcul peut être fait à partir des données brutes ou d'un tableau de fréquences.
VARIABLES ALÉATOIRES