[BAC] EXPONENTIELLE – LIMITES – TANGENTE Soient f x ex et g x 2e x 2 1 deux fonctions définies sur ℝ 1) On voit aisément que f 0 g 0 1, ce qui implique que les courbes représentatives C f et C g de f et g ont un point commun d'abscisse 0 et d'ordonnée 1 Le coefficient directeur des tangentes en ce point à C f et C g
SUR LIMITES ET DERIVATION Exercice 1 La fonction f est définie sur R par: f x x x( ) 5 1=− − −2 1) Déterminer les limites de f en -∞ et en + ∞ 2 a) Calculer la dérivée et étudier son signe b) Dresser le tableau de variation 3) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 1
2 Etudier les limites en +∞ et −∞ 3 Déterminer la fonction dérivée de la fonction ℎ et dresser le T V 4 Déterminer l’équation de la tangente T en (0,0) 5 Etudier les positions relatives de ???? et la courbe 6 Tracer la courbe 2) Définition et propriétés 2 1 Définitions : Définition :
Utilisation possible : limites d’un quotient en un point (avec ´eventuellement des diff´erences au num´erateur et au d´enominateur) • Factorisation Utilisation possible : limites en l’infini avec des racines, ou limites en un point de fractions Aide sp´ecifique `a chaque question : 1 Comparaison 2 Comparaison (gendarmes) 3
b) En déduire le signe de f ‘(x) puis dresser le tableau des variations et des limites de f 6°) a) Calculer les coordonnées des extrema locaux b) Calculer f(-2) et toutes les intersections de (Cf) avec les axes de coordonnées 7°) Écrire une équation de la tangente (T) au point d’abscisse x = - 4
A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite Ainsi : • soit l'intervalle ]b; c[ contenant a; • ∈soit h(x
Exercices Construire avec un tableau de variation Pour les exercices de 1 à 4, utiliser le tableau de variations pour trouver le domaine de définition, les limites aux bornes de l’ensemble de définitio n et les asymptotes éventuelles
= +1 et lim x1 jxj e x= 0 Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en 1 aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours leur limites en 0+ ou +1au logarithme Fonctions circulaires réciproques On suppose connues les fonctions sinus et cosinus On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] ˇ 2; ˇ 2 [ par
Développements limités, équivalents et calculs de limites Pascal Lainé 4 2 En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en =0 et que la fonction ainsi prolongée admet une dérivée première en =0 3 Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de =0 de : ( )=ln
Il s’agit déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction Limites en zéro des fonctions élémentaires f(x) 1 xn 1 √ x lim x→0+ f(x) +∞ +∞ lim x→0− f(x) +∞ n pair −∞ n impair non défini Théorème de comparaison f, g, et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I
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[BAC] EXPONENTIELLE LIMITES TANGENTE - Maths-cours
[BAC] EXPONENTIELLE – LIMITES – TANGENTE Soient f x ex et g x 2e x 2 1 deux fonctions définies sur ℝ 1) On voit aisément que f 0 g 0 1, ce qui implique que les courbes représentatives C f et C g de f et g ont un point commun d'abscisse 0 et d'ordonnée 1
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Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)
(e)En partant de l’équivalent de tangente en 0, puis en utilisant la relation tan0= 1 +tan2 3 En déduire lim x0 tan x x x3 3 x5 4 Pour x 2 h 0; p 6 i, encadrer tan x par deux polynômes de degré 5 Exercice 9 Déterminer les développements limités suivants 1 sin x x, ordre 2 en 0 2 ln(3 + x), ordre 2 en 0 3 ln e2x +2ex +3, ordre 2 en 0Taille du fichier : 146KB
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I Exercices - Lycée Jean Vilar
Chapitre 2 : Limites et asymptotes 3 Limites ind´etermin´ees Pour chaque limite il faut trouver la bonne m´ethode C’est difficile au d´ebut, puis avec l’exp´erience Calculer les limites suivantes 1 lim x→+∞ x+sinx 2 lim x→+∞ sinx x 3 lim x→+∞ √ x− 3− √ x+1 4 lim
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Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay
Interpr´etation g´eom´etrique La courbe repr´esentative de f poss`ede en (0,a) une tangente, la droite d’´equation y = b+ax On veut faire pareil pour une fonction de deux variables La courbe repr´esentative est remplac´ee par une surface repr´esentative d’´equation z Taille du fichier : 126KB
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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - Maths & tiques
IV Limites et croissances comparées Propriétés (croissances comparées) : a) lim x→+∞ lnx x =0 et pour tout entier non nul n, lim x→+∞ lnx xn =0 b) lim x→0 x>0 xlnx=0 et pour tout entier n, lim x→0 x>0 xnlnx=0 Démonstrations dans les cas où n = 1 : En posant X=lnx: a) lim x→+∞ lnx x =lim X→+∞ X eX =0 par croissance comparée de xx et xex b) limTaille du fichier : 2MB
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LIMITES – EXERCICES CORRIGES
Déterminer les limites suivantes : 1) lim ln(2) x x x →+∞ + 2) lim 1 ln() x x x →+∞ − 3) lim ln2 3ln( ) x x →+∞ − 4) ( ) 0 lim 4 ln x x x → −+ 5) lim ln 2 x x →−∞ 6) 0 ln lim x x → x 7) lim ln x x x →+∞ − 8) 1 lim ln 1 x x →+∞ x + (Poser 1 X ) x = 9) 0 ln(1 2 ) lim x x → x + (Poser 2 )X = x Exercice n°29 Déterminer les limites suivantes : 1) lim ()2 x x x e
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Calculs de limites, développements limités, développements
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes 1 lim xp=2(sinx) 1=(2x p) 2 lim xp=2 jtanxj cosx 3 lim n+¥ cos(np 3n+1)+sin(np 6n+1) n 4 lim x0(cosx)lnjxj 5 lim xp=2 cosx:e 1=(1 sinx) 6 lim xp=3 2cos2 x+cosx 1 2cos2 x 3cosx+1 7 lim x0 1+tanx 1+thx 1=sinx 8 lim xe;x1 xx 1 ln(1 p x2 1) 10 lim x+¥ xln(chx 1) x2+1 11 lim x0;x>0
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Faire un dl en x=0 à l’ordre 2 cela donne f(0), f0(0) et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu’il faut pour répondre aux questions Idem en x =1 Indication pourl’exercice6 N Il s’agit de faire un dl afin de trouver la limite 1 (a)lim x+¥ p x2 +3x+2+x =+¥ (b)lim x ¥ p x2 +3x+2+x = 3 2 2 lim x0+ (arctanx) 1 x2 =0 3 lim x0 (1+3x)13 1 sinx
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Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements limités, équivalents et calculs de limites Pascal Lainé 1 Développements limités, équivalents et calculs de limites Exercice 1 Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre J des fonctions suivantes : 1 ( )= ???? (1+????)3 J=2 2 ) ( = sin(????) 1+ln(1+????) J=3 3 (ℎ )= sh(????) ???? J=1 4
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FONCTION EXPONENTIELLE
3) Limites en l'infini Propriété : et - Propriété démontrée au paragraphe III - 4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x − + 0 (expx)'=expx exp(0)=1 expx>0 (expx)'=expx>0 lim x→−∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ ∞+ (expx)' expx +∞Taille du fichier : 2MB
La fonction tangente, notée tan, est la fonction définie pour tout x = par tan(x) = la tangente se lit sur la droite tangente au Étude de la limite en π 2 −
CoursDerivationFin
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0, en abrégé DLn(x0), s'il existe des réels a0, ··· ,an Position de la courbe par rapport à une tangente
DL
Pour illustrer les différentes techniques, nous proposons de calculer le développement de la fonction tangente d'ordre 5 par sept méthodes différentes Nous ne
dl
Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions
Limite
Prenons l'exemple de la fonction exponentielle Une idée du comportement de la fonction f (x) = exp x autour du point x = 0 est donné par sa tangente, dont
ch dl
I D Exemples de développements limités au voisinage d'un point ou de l'infini C 1 Tangente en un point d'une courbe paramétrée 13 III C 2 Position
developpements limites
Si x = −1, la pente de la tangente est f (−1) = 3(−1)2 = 3 On peut aussi chercher les valeurs de x o`u la pente a une valeur spécifique Par exemple, la tangente
Notes calcul differentiel
Etudier localement la fonction : asymptote, tangente, position relative On dit que f admet un développement limité (d l ) d'ordre n au voisinage de 0 si il existe
Etude locale de fonction
La tangente a pour équation : 7 y x = − Exercice 2 La fonction f est définie sur R par: 3 2 ( ) 3 4 3 x f x x x = − − + 1) Déterminer les limites de f en -∞ et
daeu de rivation limites revision
La fonction tangente notée tan est la fonction définie pour tout x = la tangente se lit sur la droite Étude de la limite en
Limite de sinx / x dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients tangente La longueur du segment de droite [AM] représente
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0) s'il existe des Position de la courbe par rapport à une tangente
26 jui 2013 · 3 2 Application aux calculs de limites Théorème 7 : D'après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus on
Pour guider les calculs on rappelle le développement limité de tangente en 0 `a Exercice 2 : Développement limité de tan par la formule de Taylor
Pour illustrer les différentes techniques nous proposons de calculer le développement de la fonction tangente d'ordre 5 par sept méthodes différentes Nous ne
5 1 Taux de variation instantané avec les limites Définition 5 1 Comme la pente de la tangente `a au graphe d'une fonction f est directement lié `a sa
A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Exercice A6 16: a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe d'équation
la courbe représentative de la fonction f admet une tangente au point (x0 Dans ce cas l'existence de la limite équivaut `a l'égalité des limites `a
[PDF] IV) Étude de la fonction tangente - Normale Sup