La Méthode de Gauss/ Gauss-Jordan www abbesazzi com, Marseille, 06 Mai 2013 Page 1 Méthode de Gauss et Gauss-Jordan Méthode de Gauss Résoudre un système d’équations algébriques linéaires par la méthode de Gauss, revient à manipuler les équations pour arriver à un système équivalent mais plus simple à résoudre
Dans tous les cas, la mØthode du pivot de Gauss permet de dØterminer si le systŁme a des solutions ou non (et notamment de savoir s™il est un systŁme de Cramer lorsque n= p) Le cas des systŁmes de Cramer à deux ou trois inconnues a ØtØ traitØ dans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathØmatiques" (TLM1)
Le nombre d’op erations est de l’ordre de n3 au lieu de 2n 3 3 A v eri er en exercice Donc moins int eressant que l’algorithme de Gauss Mais application int eressante pour le calcul de l’inverse d’une matrice 6 Calcul de l’inverse d’une matrice La formule th eorique (A 1)ij = cofacteur(aij) d et(A) est inutilisable pratiquement
Pivot de Gauss 4 principes fondamentaux reprendre l’étape de triangularisation de la méthode de Gauss au cours de l’élimination de Gauss sur la matrice A,
Afin de simplifier la mise en œuvre de la méthode du pivot de Gauss, on fait l’hypothèse que la matrice A est inversible Le système ( S ) a alors une unique solution : X = A −1 B
Méthode du pivot de Gauss La méthode du pivot de Gauss comporte 2 grandes étapes : 1 échelonnement du système (descente), 2 réduction du système (remontée) Etapes réalisées avec des´ opérations élémentaires sur les lignes: L i ←λL i avec λ 6= 0, L j ←L j +λL i avec i 6= j, L i ↔L j Appliquer des opérations
où Aeest triangulaire supérieure, issue de A L’algorithme d’élimination de Gauss permet de trianguler la matrice A Il comporte nétapes de transformation On note A(k) l’état de la matrice transformée à la ke étape La matrice Aerecherchée correspond à A(n) On initialise l’algorithme avec A(1) = A, puis on calcule les
Info Méthode du pivot de Gauss – Corrigé PTSI Métho de du pivot de Gauss rrigé Co rtie a P n ° 1: Pivot de Gauss 1 Python A = [ [ 2, 2 - 3 ] [ - 2 - 1 [ 6 4 4 ] ] Y = [ 2, - 5, 16] 2 Python imprt o y cop # pour utiliser la fonction y deepcop # et réaliser une copie réellement indépendante def matrice_aug (AB ,): onction F """ qui
Rappeldel’épisodeprécédentsurl’inversed’uneapplicationlinéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matrices Notion d’inverse d’une application linéaire Inverse d’une matrice Critère d’inversibilité : le déterminant 1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matrice
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METHODE DU PIVOT DE GAUSS - {toutes les Maths}
L™idØe de la mØthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le systŁme (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du systŁme, exactement dans l™ordre dans lequel ils apparaissent Cette matrice s™appelle la matrice augmentØe associØe à (S):Dans notre exemple, elle s™ØcritTaille du fichier : 114KB
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La Méthode de Gauss/ Gauss-Jordan - Abbes AZZI
Autre chose, la méthode Gauss-Jordan peut aussi être utilisée pour trouver l’inverse d’une matrice Pour cela, il suffit de poser la matrice en question côte à côte avec la matrice identité (AI) et faire les transformations nécessaires pour arriver à (IA-1) La méthode est stable mais assez sensible aux erreurs de troncatures Elle est aussi sensiblement plusTaille du fichier : 185KB
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Analyse numérique matricielle Élimination de Gauss
L’algorithme d’élimination de Gauss permet de trianguler la matrice A Il comporte nétapes de transformation On note A(k) l’état de la matrice transformée à la ke étape La matrice Aerecherchée correspond à A(n) On initialise l’algorithme avec A(1) = A, puis on calcule les étapes k = 2, ,n à l’aide de la relation de récurrence définie pour i = k+1, ,n par 8 >> >> < >> >>: a(k+1) ij = a (k) ij a(k) ik Taille du fichier : 93KB
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M ethode de Gauss-Jordan Calcul de l’inverse d’une matrice
M ethode de Gauss-Jordan Calcul de l’inverse d’une matrice M etho des num eriques 2003/2004 - D Pastre licence de math ematiques et licence MASS 1 M etho de de Gauss-Jordan Variante de la m ethode de Gauss (gauss1): a la k eme etape, on combine Taille du fichier : 59KB
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Gauss, LU, pour l’ingénieur Méthodes numériques
Pivot de Gauss 4 principes fondamentaux On ne change pas la solution lorsque l’on : 1 permute 2 lignes 2 permute 2 colonnes 3 divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne 4 ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne Stratégie: Transformer le système linéaireTaille du fichier : 131KB
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Chapitre 4 Algèbre linéaire Méthode de Pivot de Gauss
La méthode de pivot de Gauss de résolution d’un système linéaire (S) consiste à :Effectuer une suite finie d’opérations élémentaires dans un ordre bien déterminé de façon à transformer (S) en un système échelonné (E) équivalent Résoudre le système (E) L’ensemble des solutions de (S) est l’ensemble des solutions de (E) Mise en oeuvre de la méthode de Pivot de Gauss : Considérons le système : (S) : 8
Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn−1 3 Méthode de Gauss Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure
cours gauss
Calcul de l'inverse d'une matrice Méthodes numériques 2003/2004 - D Pastre licence de mathématiques et licence MASS 1 Méthode de Gauss-Jordan
cours gauss jordan
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss L' algorithme
gauss matrices
Dans chaque cas, on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle 2 ( algo) Soit M ∈ Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ∈ Rn un vecteur (b
TD correction exercice
si tous les pivots restant sont nuls la matrice est singulière une matrice ? Avec l' algorithme de gauss on peu résoudre directement de la méthode de Gauss
syslindirect
2x + 3y + z = 1 3x + y + 5z = 2 4x − y − z = 0, on décide de rendre facile l' inconnue x dans le premi`ere équation Pour cela, on “tue” x dans les deux autres en
pivot
On considère un système linéaire de la forme AX = B avec A matrice carrée de taille n et B vecteur colonne de taille n La matrice A est supposée inversible donc
Fiches TD Methode du pivot de Gauss
Exercice 1 Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la méthode de Gauss : 1
td RAM
échelonnée en lignes 14 2 Résolution des systèmes linéaires par la méthode des pivots de Gauss Nous allons voir ici que toute matrice A
Propriété : Un système de Cramer possède une unique solution que l'on détermine en partant de la dernière équation II – Technique du pivot de Gauss-Jordan
M C A thode du pivot de Gauss et ses applications
1.3.2 Méthode de Gauss méthode LU. Soit A ? Mn(IR) une matrice inversible
Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.
Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : •
Matrices Handout- Gaussian and Gauss-Jordan. Updated: Fall 2019 Gaussian elimination is a method for solving systems of equations in matrix form.
Dans chaque cas on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle. 2. (algo) Soit M ? Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ? Rn un
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss. L'algorithme général.
Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.
Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.
Méthodes directes de résolution. 22. 3.2 Méthode d'élimination de Gauss. Le principe de la méthode consiste `a déterminer une matrice M inversible telle que
5.3 Propriétés des matrices triangulaires unitaires . . . . . . . . . . . . . 28. 6 Factorisation LU. 31. 6.1 Formalisation de l'élimination de Gauss .
1.3 Les méthodes directes