On a montrer par récurrence que : 8x 2N, un ˘ (n¡1)(n¡4) 2 2 Dans cette question, l’on considère la suite auxiliaire (vn) telle que, pour tout n appartenant à N, vn ˘un¯1 ¡un a Montrer que la suite (vn) est arithmétique vn ˘un¯1 ¡un ˘n¡2 Donc (vn) est une suite arithmétique de premier terme v0 ˘¡2 et de raison 1 b
Montrer que, pour tout n 2N⁄, l’on a : Sn ˘un ¡u0 c Calculer cette somme d’une autre manière d Comparer les deux expressions obtenues et conclure Exercice5 Soit la suite (un) définie par u0 ˘1 et pour tout n 2N, un¯1 ˘ q 2¯u2 n 1 Déterminer la valeur de u1 2 Montrer par récurrence que : 8n 2N, un 6un¯1 3 Que peut-on
Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le pre-mier terme et la raison Exercice 3292 On considère la suite{u définie par: u0 = 0 un+1 = 1 2 un pour tout n2N Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a
a° Montrer par récurrence que Un+1≤Un b° En déduire le sens de variation de la suite 6) Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel par : {U0=2 Un+1=√2Un+1 Montrer que la suite (Un) est croissante Majorant, minorant et encadrement 7) Montrer que la suite définie par : {U0=−1 Un+1= 1 2 Un+1 est majorée par 2
Exemple 3 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 22n +2est un entier divisible par 3 Solution 3 •Si n=0, 22n +2=20 +2=3qui est bien divisible par 3 L’affirmation de l’énoncé est vraie quand n=0 •Soit n>0 Supposons que 22n +2est un entier divisible par 3, et montrons que 22(n+1) +2est divisible par 3
On dit que la suite (un) a pour limite L, ou que la suite (un) converge vers L On écrira n n lim u L o f Remarques : Montrer, par récurrence, que 04d d duu nn 1
ces démonstrations, on peut montrer qu’une suite définie par récurrence est majorée (ou minorée, ou bornée) Rappelons ce qu’est le principe de récurrence Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier net soit n 0 2N Définition 3 1 On dit que la propriété Pest héréditaire à partir du rang n 0 lorsque, si, pour tout
Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0
Exercice8:soit la suite récurrente définie par °: 1 0 81 2 3 n n n u u u u ® °¯ n 1) Montrer que est minorée par 2 2) Montrer que est majorée par 4 3)Etudier la monotonie de la suite 2 Solutions :1) Montrons que 2d u n n ؟؟؟؟ 1étapes : n=0 on a : 2du 0 car 23 Donc la proposition est vraie pour n=0 2étapes : Hypothèse de
1 Monter que la suite est croissante 2 Montrer que la suite est non majorée (Par absurde) 3 En déduire la limite de la suite Exercice30: Soit une suites tel que : 2 2 21 n 34 nn v n Calculer lim n n v o f Exercice31: calculer les limites suivantes : 1) 1 lim tan n 34 n n S o f §· ¨¸ ©¹ 2) 2 2 16 3 1 lim n 21 nn o f n 3) 1 lim
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
La suite (un) est la suite définie par : u0 ∈ ]0;1[ et un+1 = un(2 −un) Démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N, 0
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite Raisonnement par récurrence EXERCICE 1 Soit la suite (un)définie sur N par : (u0 =14 un+1 =2un −5 Montrer par récurrence que : ∀n ∈N, un =9×2n +5 EXERCICE 2 La suite (un)est définie par : u1 =0 et un+1 = 1 2−un 1) Calculer u2, u3, u4 2) Que peut-on faire comme conjecture sur l’expression de un en fonction de n?
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Limites de suites - Récurrence - Exercices T S
3 Montrer par récurrence que la suite (u n)est croissante 4 En déduire que la suite (u n)est convergente Exercice 8 Soit (u n)la suite définie par u0 =1et, pour tout entier n, u n+1 = √ u n +3 1 Calculer lesquatre premiers termes delasuite, etconjecturer lesens de variationde lasuite (u n) Démontrer cette conjecture 2 Montrer que, pour tout entier n, 0
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Suites - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer que la relation de récurrence +1= 1 5 (1−√1− ) et la donnée initiale 0= 1 5 permet de définir une suite ( ) ∈ℕ de nombres réels appartement à l’intervalle ]0,1[ 2 Montrer que la suite est décroissante 3 Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite Allez à : Taille du fichier : 564KB
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Suites - limites et récurrence
2 a Montrer que la suite (T n) est croissante b Montrer que, pour tout entier naturel n, T n+1 = S n +T n 3 c Montrer par r´ecurrence que, pour tout entier n>1, on a T n 61 d En d´eduire que la suite (T n) converge vers un r´eel l D´eterminer l Exercice 26 (u n) est la suite d´efinie par u 0 = 3 et, pour tout entier n, u n+1 = 3u n 3+2u n
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Suites - Etudes des suites recurrentes - Free
En d´emontrant que J est stable par f et que u0 ∈ J, le principe de r´ecurrence nous a permis de d´emontrer que : • tout les termes de la suite existent • tout les termes de la suite sont dans l’intervalle J
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Suites numériques Exercices - Free
Montrer par récurrence que , 5 (Importance de l’initialisation) 1 Montrer que les deux propositions « est un multiple de » et « est un multiple de » sont héréditaires 2 Sont-elles vraies pour tout ? 6 On considère la suite définie par ? 1 1 Calculer les 4 premiers termes
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LES SUITES NUMERIQUES - e-monsite
Montrer par récurrence que uu nn d 1 Solutions :1étapes :on a uu 10 22 Pour n=0 nous avons u 0 uu1 donc 01 d Donc la proposition est vraie pour n=0 2étapes :Supposons que: 3étapes : Montrons alors que : uu nn 12d?? on a : donc uu nn 22 1 donc : uu nn d 22 1 donc Par suite : : : On dit que la
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Révisions d'analyse
A) Dé nition de la suite Pour montrer que la suite est bien dé nie, il est souvent nécessaire de montrer par récurrence une propriété du type P n: \u nexiste et u n2I où Iest un intervalle stable par f, c'est-à-dire f(I) ˆI B) Recherche d'une éventuelle limite de la suite Remarque:
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Montrer qu’une suite est constante
Montrer qu’une suite est constante Méthode : Pour montrer qu’une suite (u n) est constante, on montre que pour toutn,onau n+1 = u n Exercice 1 Soient les suites (u n) et (v n) définies par : u 0 =0 et u n+1 = u n +v n 2 pour toutn 0 Soient les suites (u n) et (v n) définies par : v 0 =12 et v n+1 = u n +2v n 3 pour toutn 0 On pose t n =3v n +2u n pour toutn 0
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un ) est d) On utilise un raisonnement par récurrence (voir section 2) Il est bien évident DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE Une suite (un)
extrait
Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? raisonnement par récurrence Lorsque ( )un est une suite à termes strictement positifs, on montre que
demo suite croissante decroissante
Démontrer par récurrence que (un) est croissante Il s'agit de montrer que la propriété P(n) : un+1 ≥ un est vraie pour tout n ≥ 0 ○ Initialisation : pour n = 0,
Resume corrige
étudie la suite (un) définie par u0 ∈ I et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un) Résultats ` a de montrer par récurrence que (un) est croissante On proc`ede de même si
PCSI complement
forte si les termes de la suite sont définies par récurrence en fonction de tous les montrer que u est convergente et croissante (resp décroissante) à partir d'un
M C A thodes Suites MPSI
23 sept 2009 · La suite (un) est croissante à partir du rang 0 Á Montrer que la suite (un) définie pour tout n ∈ N∗ par : un = 2n n
Rappels sur les suites. R E currence
Afin de montrer qu'un intervalle J est stable par une fonction f, il est suffit d'étudier les variations de On va montrer par récurrence que la suite u est croissante
Suites Etudes des suites recurrentes
La suite (Sn)n李0 de l'introduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1, l' application φ est strictement croissante, on montre facilement par récurrence
ch suites
Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme Montrer que pour tout entier naturel : la suite ( ) est croissante c
Term S Etude de suites recurrentes
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n : 0 < un < 2. 2) Démontrer que la suite (un) est croissante. 1.3 Limite d'une suite. On s
Un calcul simple montre que f(1/2) < 1/2. Comme 0 = x0 < 1/2 et que f est croissante on en déduit par récurrence que xn < 1/2 pour tout n ?
a) Montrer que cette suite est strictement croissante. b) Déterminer puis démontrer par récurrence le terme général de la suite un. ( )n ? IN*.
La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Ainsi
1. Soit u une suite croissante. Démontrer par récurrence que un ? u0 pour tout n. Initialisation : u0 ? u0. Hérédité : Soit
M + 2 et. m = 2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est majorée par 3. Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
est croissante ou décroissante ? Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? (Strictement croissante ?) raisonnement par récurrence. Méthode 2.
Montrer que si la suite (un)n?N est croissante alors la suite (vn)n?N les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence.
Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang. On commence par calculer la différence u n+1 ? u n. : u.
Montrons par récurrence que la suite (un) est croissante. On va en fait montrer par récurrence que pour tout n ? 0
LES SUITES