Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1
Quand une fonction est majorée sur son ensemble de définition, on se ontente de dire qu’elle est majorée Un majorant ???? d’une fontion sur n’est pas néessairement extremum absolu Dans la courbe ci-contre 4 est un majorant de mais pas un extremum asolu (Il n’ y a pas de réel qui vérifie que ( )=4)
Majorants et Minorants d’une fonction f Pour montrer qu’une fonction f est major´ee sur I Il s’agit de rechercher M ∈ Rtel que ∀x ∈ I on a f(x) ≤ M” Plusieurs m´ethodes sont alors possibles : 1 Par majorations successives en partant de x ∈ I 2 En effectuant l’´etude de la fonction f sur I 3
Lorsque le rang n est dans la fonction (son expression dépend de n), et les bornes sont fixes : par exemple, v n = ∫ a b f n (t) dt Ce que je dois savoir faire Montrer qu'une telle suite est convergente Si f admet une primitive F, alors u n = [ (t) ] 0 n = n) – (0) +∞ n→si cette expression a une limite quand ,
Pour montrer qu'une suite réelle u est majorée (resp minorée), le cas échéant à partir d'un certain rang, on peut se ramener à la définition, en exhibant un majorant et en veillant à ce que le majorant considéré soit indépendant de n,
Voici une formulation ´equivalente du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires On rappelle que si E est un ensemble et f : E → R une application, son image f(E) = {f(t)t ∈ E} est l’ensemble des valeurs prises par f(t) lorsque t d´ecrit E Th´eor`eme 2 Soit I un intervalle non vide, f : I → R une fonction continue Alors f(I) est un
Savoir-Faire : Montrer qu’une suite est bornée Définitions : • (u n) est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, u n M • (u n) est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, u n m • (u n) est bornée si (u n) est à la fois majorée et minorée
Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une application f: UR, où U est une partie de R En général, U est un intervalle ou une réunion d’intervalles On appelle U le domaine de définition de la fonction f Exemple 1 La fonction inverse : f: ]1,0[[]0,+1[ R x 7 1 x Le graphe d’une fonction f: UR est la
Notons qu'il est immédiat que f0 g (a) f0 d (a) pour tout a 2 R (la limite à gauche d'une fonction croissante est toujours inférieure à sa limite à droite); en particulier, si f est convexe alors f0 g et f0 d sont toutes deux des fonctions croissantes Théorème 7 11 Soit I un intervalle ouvert de R , et f : I R une fonction convexe
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Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1Taille du fichier : 166KB
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Savoir ÉTUDIER DES SUITES D'INTÉGRALES
Montrer qu'une telle suite est majorée Si f gsur [ 0 ; +∞ [ , alors u n ∫ 0 n (t) d en général démontré si g admet une primitive, dans une question précédente nalors on peut calculer cette intégrale majorante en fonction de Si pour tout n, f n g sur [ a; b] , alors v n ∫ a b g(t) d
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theoremes d analyse - Université Paris-Saclay
Montrer que f est surjective Solution de l’exercice 3 Fonctions d´efinies sur un intervalle ouvert Par d´efinition de la limite, f(I) n’est ni major´e ni minor´e Le seul intervalle qui ait cette propri´et´e, c’est R entier Par cons´equent, f(I) = R, donc f est surjective Fin du cours n02
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Convexité - Licence de mathématiques Lyon 1
s'applique pour montrer que l'autre inégalité est vraie pour tout x 2 R 39 Proposition 7 12 Toute fonction convexe sur R et majorée est constante Démonstration Soit f : R R une fonction convexe majorée D'après le résultat précédent, on a f(x) f0 d (a)(x a) + f(a) pour tout a 2 R ; comme f est majorée ceci impose que f0
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Exercices : Fonctions de plusieurs variables : optimisation
1 La fonction f est-elle minorée, majorée, bornée sur D? 2 Justi˙er que la fonction f est de classe C1 sur D Étant donné un réel a >0, on considère l’ensemble C a = f(x;y;z) 2R3: x + y + z = 3ag et on note g = fj C a la restriction de f à C a 3 Montrer que si g admet un extremum local au point (x;y;z), alors : 1 + lnx = 1 + lny = 1 + lnz:
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wwwoptimalsupspefr
Pour montrer qu'une suite réelle u est croissante (resp décroissante) à partir d'un certain rang no, on peut : majorer (resp minorer) directement, pour tout entier n no, un+l en essayant de faire apparaître un, montrer que : Yn no, un+l - un 0 (resp que : Yn no, un+l - un 0), méthode' particulièrement intéressante si
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que (u n) est croissante et (v n) décroissante 2 Montrer que (u n) est majorée et (v n) minorée Montrer que ces suites ont la même limite 3 Raisonner par l’absurde : si la limite ‘ = p q alors multiplier l’inégalité u q 6 p q 6v q par q et raisonner avec des entiers 5
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I INTEGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE 1
Soit F une fonction croissante sur un intervalle [a,b[ de R On sait alors que F admet une limite à gauche en b: •si F est majorée sur [a,b[ alors lim xb¡ F(x) existe et est le réel supx2[a,b[F(x) •si F n’est pas majorée sur [a,b[ alors lim xb¡ F(x) ˘¯1 Proposition 2 P Soient f et g continues et positives sur [a,b[ Si 0 É f Ég sur [a,b[ et si Z b a
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Etudes des suites recurrentes - Free
Afin de montrer qu’un intervalle J est stable par une fonction f, il est suffit d’´etudier les variations de f continue sur J et d’en d´eduire les valeurs minimales et maximales prises par f sur J
chapitre n'en est pas moins le plus important de votre cours d'analyse C'est l' Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g−l ) et (f −l)l tendent
lc
Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe Le fait que [a, b] soit un intervalle fermé borné est tr`es important
MHT chap
Exercice : Si A ⊂ R est majorée, montrer que sa borne supérieure est unique ni injective alors que la fonction h : R+ → R+ définie par h(x) = x2 est bijective et A → N Il est important d'observer que R n'est pas dénombrable : pour cela on
INPcourscontinuite
Montrer que admet une borne inférieure et la déterminer, est-ce un minimum ? 2 Montrer que Remarque : on aurait pu étudier la fonction ]0,1[ ∪ ] 1,+∞[
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges bornes superieures et inferieures
Montrer que la fonction γ est bien définie , croissante, et tend vers 0 lorsque t tend vers 0 Prouver l'inégalité suivante : ∣ ∣ ∣ ∫ bx ax
oralescp analyse
Soit on calcule à la main les valeurs propres, ce qui prendrait un Du coup, on ne peut que chercher à montrer que la fonction est dérivable en 0 c'est-à-dire si :
Correction EML ECE
Au passage, il est important de s'interroger sur ce que signifie cette ”preuve”, Exercice 1 2 5 Montrer, en revenant `a la définition de la valeur absolue, que Définition 2 1 1 Une suite numérique est une fonction de N dans l'ensemble des
m
(un)n∈ est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈ ∀n ∈ En utilisant la définition de la limite montrer que limn→+∞ un = 2 Trouver (voir la preuve de la proposition 8) on a en appliquant la fonction racine n-ème, n · : 1 + h n Terminons par un résultat théorique très important Théorème 4
ch suites
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b] Démonstration Pour montrer que f est
Cours AN
12 avr. 2005 Montrer que f est surjective. Solution de l'exercice 3. Fonctions définies sur un intervalle ouvert. Par définition de la limite f(I) n'est ...
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/majo.pdf
9 mai 2012 A f(t)dt est une fonction croissante et majorée par ... et nous avons déjà montré que l'intégrale ? +?. 1 t2e?t dt converge.
Une fonction est majorée par son maximum et est minorée par son minimum . Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un
Comment montrer qu'une suite récurrente est majorée ou minorée? Si la fonction f est strictement croissante sur I alors la suite (un) est monotone.
19 janv. 2015 Montrer que f admet un point fixe. Exercice 1. Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. Exercice 2.
f : [a b] ? R une fonction continue. Alors f est bornée sur [a
g) est continue sur I. Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f
THEOREMES DANALYSE