la matrice de la rotation de l’espace d’angle et d’axe (Oz) Soit X3 = • 0 0 1 − Alors A X3 = X3 Donc X3 est un vecteur propre de A et la valeur propre associée est 1 Exemple 4 Soit A= 0 1 1 1 Le complexe j = 1 2 +i p 3 2 = e i 2ˇ 3 est une valeur propre de A En effet : A 1 j = j 1 j 1 4 Cas d’une matrice diagonale Le cas
vérifie Ax = x On dit que x est un vecteur propre associé à 2 Les valeur propres de A sont les racines du polynôme caractéristique de A, P()=det(AI n) 3 Une matrice A 2 M n,n(R) possède n valeurs propres complexes ATTENTION : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes 4
On appelle matrice idempotente une matrice Btelle que B2 = B 36-1) On calcule det(B)2 = det(B2) = det(B) Donc le déterminant vérifie la relation x2 = xqui n’est possible que si x= 0 ou x= 1 36-2) Soit V un vecteur propre de valeur propre , c’est-à-dire un vecteur véri-fiant BV = V On a : B2 V = B BV = B V = BV = 2V
On dit que Y est un vecteur propre associé à la valeur propre ‚ et que (‚,Y) est un couple propre de A Montrer en exercice que si Y est vecteur propre de A associé à la valeur propre ‚, si fi2K,fi6˘0 , alors fiY est également vecteur propre de A associé à la valeur propre ‚: les vecteurs propres ne sont pas uniques Exemple
Exercice 1 On considère la matrice (1 2) 3 6 A= 1) Vérifier que A n’est pas inversible 2) Déterminer les valeurs propres de la matrice A, puis trouver les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres Dans la suite de cet exercice, on considère l’application f qui, à toute matrice M de M2(ℝ), associe : f M AM( )=
2 Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle inversible? Valeurs propres, vecteurs propres, polynˆome caract´eristique Exercice 3 On pose A = −1 0 4 −2 3 2 2 0 1 1 Calculer AX ou` X = 1 1 1 et en d´eduire que X est vecteur propre; quelle est la valeur propre associ´ee? 2 Quel est l’espace propre associ´e a cette valeur propre
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans , on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent, on a : avec donc
[PDF]
Valeurs propres, vecteurs propres - Exo7
[PDF]
MATHÉMATIQUES Corrigé du TD “Valeurs propres et vecteurs
Corrigé ex 31 : Matrice de valeurs propres données La matrice M= 4 2 a b a pour valeurs propres 7 et 8 La trace et le déterminant de Msont respectivement la somme et le produit des valeurs propres On obtient : (Tr(M) = 4+b= 1 + 2 = 7+8 = 15 det(M) = 4b 2a= 1 2 = 7 8 = 56 On en déduit que b= 11 et, par conséquent, a= 6 Corrigé ex 32 : Valeur propre du carré et de l’inverse A= 2 2 Taille du fichier : 128KB
[PDF]
Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison
[PDF]
DIAGONALISATION
de vecteurs propres associés à la valeur propre 1 Puisque v 3 est associé à la valeur propre 2, la famille (v 1;v 2;v 3) est libre C’est donc une base de R3 formée de vecteurs propres de M 1, ce qui montre que M 1 est diagonalisable Quatrième étape : diagonalisation Posons Q = 1 0 1 0 1 5 3 1 3 (c’est la matrice obtenue en
[PDF]
Exercicesduchapitre4aveccorrigésuccinct
Il était prévisible que 0 était valeur propre de cette matrice En effet puisque ses 2 colonnes sont proportionnelles, elle n’est pas inversible, donc 0 est valeur propre Pour A2: A(s) ˘(s¯1)(s¯2)¡2 ˘s2 ¯3s ˘s(s¯3), on obtient le même polynôme caractéristique que pour la matrice A1 Ce résultat est général : les matrices sont transposées l’une de l’autre Recherche
[PDF]
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
λ telle que A~v =λ~v On dit que λ est la valeur propre de A associée à ~v Reprenons notre exemple : A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Donc AP =P a 0 0 b , et A 1 1 =a 1 1 , A 2 3 =b 2 3 1 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée a; 2 3 est un vecteur propre, de valeur propre associée b Taille du fichier : 479KB
[PDF]
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans , on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, ette matri e n’est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours
Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A 2
fic
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en
correction du td
Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n appelée vecteur propre associé à la valeur propre λ Exercice Montrer que 4 est une
partie
Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP 6) Montrer que les valeurs propres de toute matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux
.Diagonalisation.Corrig C A s
3 5 3 Résolution d'équations de récurrence avec des matrices non 3 5 4 Exercice récapitulatif (corrigé) Une valeur propre de A est un nombre λ qui, quand il est sosutrait à appelé un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ
diagonalisation chapitre a
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ⇐⇒ 0 est valeur propre de A Solution : 1 Tout
MT chap cor
c) Pour chaque valeur propre, déterminer l'espace propre associé d) En déduire la transformation géométrique définie par cette matrice Exercice 4 11 : On
MRe AlglinChap
Ce qui est compliqué dans le calcul des puissances d'une matrice, c'est que Exemple 2 : Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses + 3X3 = 0 v(1) = m(1) = 2 Le calcul montre que les vecteurs propres sont les colonnes u
MVA
Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : . On a : Par conséquent
Soit e un vecteur propre de f pour la valeur propre 1. Démontrer que (eu
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Théorème. Une matrice de taille n × n qui a n valeurs propres disctinctes est diagonalisable. Exercice. Diagonaliser si c'est possible
La matrice B a 3 valeurs propres distinctes on sait donc déj`a d'apr`es le Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. En déduire les valeurs de ...
Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ∈ Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . linéairement indépendants associés à cette valeur propre est appelée une matrice non diagonalisable.
Calculer APσ . 4. Trouver les valeurs propres d'une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme. : toute permutation se décompose de
Mini-exercices. 1. Calculer le polynôme caractéristique des matrices suivantes et en déduire leurs valeurs propres : A = 2 3. 7
x1 +x2 +3x3 = b1. 2x1 +x3. = b2 x1 +x2 +2x3 = b3. Page 55. CHAPITRE 2. LES Exercice 2.— Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des matrices ...
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
Exercice 1. 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en.
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
7 nov. 2015 2-iii) On a deux valeurs propres distinctes ±i en dimension 2 d'après un résultat du cours cela implique que la matrice est diagonalisable.
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Dé nition 3.1.1 Soit A une matrice carrée. Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est.
La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de ...
Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A =.
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A. Solution : 1.
On a donc obtenu le polynôme caractéristique de A. Les valeurs propres de A Corrigé. La première chose à faire est de trouver la matrice de T dans un ...
(iii) M3 = (6 2. 2 3. ) . Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Première étape : valeurs propres. Le polynôme caractéristique de M1 est det(
Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4
Exercice 6 Soit P(X) un polynôme de C[X] soit A une matrice de Mn(C) On note B la matrice : B = P(A) ? Mn(C) 1 Démontrer que six est un vecteur propre de
Défintion : valeur propre et vecteur propre ? Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n si Ax = ?x pour un certain réel ?
Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : On a : Par conséquent on a :
Comme C est une matrice de type (3 3) et qu'elle admet 3 valeurs propres distinctes elle est diagonalisable Exercice 2 On considère la matrice réelle A =
Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ? Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11A22 Ann i e ce sont les coefficients diagonaux de A
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A Solution : 1
Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est exemple illustre un principe général concernant les valeurs propres d'une matrice diagonale
La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de
Comment déterminer la valeur propre d'une matrice ?
? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que AX = ?X.Comment déterminer le polynôme caractéristique d'une matrice ?
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - ?I) (c'est un polynôme en ?). ? ? ? ? a - ? b c d - ? ? ? ? ? = (a -?)(d -?)-cd = ?2 -(a +d)?+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.Comment montrer que M'est diagonalisable ?
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique ?A et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si ?A n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si ?A est scindé à racines simples, A est diagonalisable.- Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = ? v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f ? ? I d E ) .
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1