1 2 Linéarité et changement d’indice Propriété 2 : Changement d’indice L’expression à l’aide du symbole ∑ n’est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p
˙ Je sais écrire le produit de deux sommes comme une somme double 1 Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3
On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice) Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des
©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Méthode Changementd’indice Onpeutprocéderàunchangmentd’indicepourdeuxtypesderaison •Sil’onveutchangerl’indicedanslestermesàsommer Parexemple,
2 Double somme Dans certaines situations, l’utilisation d’une double somme s'avère nécessaire Il s’agit alors d’appliquer successivement la définition Exemple Soit T1 3, T2 5, T3 1 U1 2, U2 4 Nous utiliserons l’indice i pour les termes de T et l’indice j pour les termes de U Í Í T Ü U Ý 6
Ce résultat se retrouve également par changement d'indice : Xn k=p qk j==k p nX p j=0 qj+p = qp nXp j=0 qj = qp 1 qn+1 p 1 q: 2 5 Sommes doubles Lorsqu'on a une somme double où les indices des deux sommes ne dépendent pas l'un de l'autre, on peut intervertir
Propri et es de la somme 1 Changement d’indice Xn i=1 a i= nX 1 j=0 a j+1 = Xn i=0 a i+1; Xn i=m a i= nX m j=0 a m+j; 2 commutativit e : Xn i=1 a i= Xn i=1 a n i+1 3 lin earit e Xn i=1 a i+ b i= X a i+ X b i; P a i= P a i 4 Relation de chasles si m
Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 12 octobre 2013
Changement d’indice k =n− p p n−1 n−2 ··· 1 0 k 0 1 2 ··· n−1 n Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice
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Les symboles somme et produit
On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p−1 ∑ k=p−n a p−k Exemples : Calculer la somme : Sn = n ∑ k=1 1 k − 1 k +1 • On utilise la linéarité : Sn = n ∑ k=1 1 k − n ∑ k=1 1 k +1 • On effectue un changement d’indice sur la deuxième somme : k → k +1 : Sn = n ∑ Taille du fichier : 102KB
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Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux
˙ Je sais écrire le produit de deux sommes comme une somme double 1 Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3 Expliquer pourquoi le changement d’indice : j =i2 est incorrectement mené dans
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Chapitre 2 : Sommes et produits
2 Somme double ECO1 LMA 2020/21 Sommes télescopiques Exercice 2 En effectuant un changement d’indice, démontrer la proposition suivante : Soient p,n ∈ Navec p 6 n et a p, ,a n+1 sont des nombres réels On a : Xn k=p (a k+1 −a k) = a n+1 −a p Proposition 3 Exemple 5 Soit n ∈ N∗ 1 Montrer que pour tout k ∈ J1;nK on a : 1 k(k +1) = 1 k − 1 k +1 2 En déduire la somme Xn
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Sommes, produits, récurrence
• faire un changement d'indice : Xi=n i=1 a i = j=Xn−1 j=0 a j+1 (on a posé j = i−1) Remarque 2 enTter de simpli er d'une façon ou d'une autre Xi=n i=0 a ib i est par contre une très bonne manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur; les sommes et produits ne font pas bon ménage 2 Démonstration par récurrenceTaille du fichier : 122KB
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Nouveaux El´ements de Calculs Alg´ebriques
Exemple 12 (∗) Calculer les sommes suivantes a l’aide de changements d’indice et d’une d´ecomposition en ´el´ements simples pour S 1 et S 2: 1 S 1 = Xn k=1 1 k(k +1) 2 S 2 = Xn k=1 2 k(k +1)(k +2) 3 S 3 = Xn k=1 1 k − 1 n+1−k Remarque 6 On ne peut faire que des d´ecalages d’indice ou ´eventuellement des ”inversions” d’indice (i = n−j)
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Colles, semaines 2 et 3 (21/09 2/10) Chap 3 Calculs
Les techniques de calculs de sommes et produits : Chasles, télescopage, changement d'indice Savoir écrire une somme double comme une double-somme (deux façons) Idem pour les sommes triangulaires Reconnaître une progression géométrique et prendre garde au cas particulier où la raison autv 1 Écrire ou reconnaître le binôme À venir en semaine 4 : onctions F L ycée Alb ert c h w
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Calculs algébriques - Carnot
(Changement d’indice l ˘k ¯1; 0 Én, ) E2 –Si n 2N, Xn i˘0 (n¡i)˘ Xn k˘0 k (Changement d’indice k ˘ n¡i; 0 É, ) 4 Simplifications télescopiques Voyons sur un exemple une manière bien commode de calculer une somme, lorsque les termes s’écrivent sous forme d’une différence d’un terme avec son successeur ak ¡ak¯1 ou ak
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Cours de mathématiques MPSI
changement d’indice k0 ˘2k n’est pas « valable », car 2Pn k0˘2 k0 ˘2¯3¯4¯5¯6¯¢¢¢¯2n 6˘S Attention Formulationgénérale Soit (ak)k2I une famille finie de complexes indexée par I non vide, supposons qu’il existe une bijection f: J I (où J désigne un autre ensemble), par composition on a ainsi une autre famille, indexée par J, et qui est (af (k0))k02J La fonction f
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Récurrence, somme, produit
Le changement d'indice Nous avons déjà vu que l'indice de la somme est une ariablev muette Il peut parfois être intéressant de changer cet indice Soient deux entiers naturels net ptels que p n, alors Xn k=p u k+m= nX+m i=p+m u i: On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice)
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SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX
Changement d’indice k =n − p p n−1 n−2 ··· 1 0 k 0 1 2 ··· n−1 n Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice • Il arrive souvent qu’on tombe au cours d’un calcul sur des sommes de la forme : X Taille du fichier : 90KB
Méthode Changement d'indice On peut Si l'on veut changer l'indice dans les termes à sommer On appelle somme double toute somme du type ∑
SommesProduits
Une somme peut se récrire en opérant un changement d'indice La plupart du On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme) Théorème de
sommes
et en développant le second membre, retrouvez la valeur de la somme S1 = n Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice, calculez les sommes suivantes
exo
27 fév 2017 · On effectue un changement d'indice sur la deuxième somme : k → k + 1 : 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices, on parle de somme double
symboles somme produit
18 sept 2010 · La lettre i est une variable muette, autrement dit on peut la changer par n'importe quelle autre séparer ou regrouper des sommes de mêmes indices : Notre but va être de prouver par récurrence double la propriété Pn : un
recurrence
Calculer une somme double finie indexée par un rectangle ou un triangle (i) on utilise les formules d'Euler pour changer cos(x) et sin(x) en termes avec eix et e−ix ; On considère une famille de réels indexée par deux indices (ai,j)1≤i≤n
ECS Chapitre
En effectuant le changement d'indice j = i + 1 dans la première somme, nous obtenons n ∑ Une somme double dont le domaine de sommation porte sur des
Cours Calculs algebriques
On les réorganise en ”commençant” par j: 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ i ≤ j. On en déduit que la somme double s'écrit : n. ∑ j=1. ( j. ∑ i=1 xij. ) . Si on ne somme
les deux symboles sont néanmoins bien distincts). Indice muet et double somme Un changement d'indice permet parfois de calculer explicitement une somme.
5 2 3 10 (somme de la 4ième colonne). Pour effectuer la somme de tous les termes du tableau il faut faire varier les deux indices et utiliser une double somme
27 févr. 2017 Propriété 2 : Changement d'indice. L'expression à l'aide du symbole C n'est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices ...
. But: Calculer cette somme double. ∑. 1妻ij妻n aij. Pour cela
changement d'indice calculez les sommes suivantes. 1. Sn = n. ∑ k=1 k2k. On ... de cette suite double. C'est i ou j suivant les cas. Justement
Toute somme double s'écrit comme une somme de sommes cette trans- formation Avec le changement d'indice j = n − k
un changement d'indice pour se ramener à une somme à partir de 0. Une autre Le fait que le carré soit compris entre les deux triangles traduit la double ...
Ce changement d'indice revient a d ecaler les indices d'une unit e. Exemple termes de ces suites est dite double puisque deux indices varient. A ...
pratique quand on cherche une formule close pour une somme double
On les réorganise en ”commençant” par j: 1 ? j ? n et 1 ? i ? j. On en déduit que la somme double s'écrit : n. ? j=1.
(n + m ? j) (changement d'indice pour retourner la somme) Remarque : Même s'il n'y a qu'un seul signe ? il s'agit bien d'une somme double.
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique —. Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes.
27 févr. 2017 On effectue un changement d'indice sur la deuxième somme : k ? k + 1 : ... 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double.
Double sommation. Soient n et p deux entiers naturels non nuls (ai) 1?i?n et (bi) 1?i?n deux suites de réels. Indices indépendants : ?.
Une somme peut se récrire en opérant un changement d'indice. La plupart du temps c'est un On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme).
Double somme . Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de ... Dans la première somme l'indice " i " varie de 1 à 5.
ak+p. Proposition I.4 (changement d'indice). Exemple 8 : Soit n ? N? et Sn = ?n.
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Sommes
Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel de ses indices Pour ce faire il existe une loi de base appelée
Le syst`eme d'indices qui décrit la somme est 1 ? i ? n et i ? j ? n • On synthétise ces conditions : 1 ? i ? j ? n • On les réorganise en ”commençant”
Une somme peut se récrire en opérant un changement d'indice La plupart du temps c'est un On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)
L'indice i désigne le numéro de la ligne et l'indice j celui de la colonne La somme de tous les éléments de ce tableau But: Calculer cette somme double
12 nov 2022 · Exercices de niveau 14 Exo préc : Changement d'indice Exo suiv : Formule du binôme
et en développant le second Changements d'indice et télescopages Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes
27 fév 2017 · On effectue un changement d'indice sur la deuxième somme : k ? k + 1 : 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double
Double sommation Soient n et p deux entiers naturels non nuls (ai) 1?i?n et (bi) 1?i?n deux suites de réels Indices indépendants : ?
Le principe des sommes télescopiques s'appuie sur le changement d'indices Même s'il n'y a qu'un seul signe ? il s'agit bien d'une somme double
19 sept 2022 · Pour faire un changement d'indices il faut des entiers consécutifs et le même nombre de termes dans les deux sommes Démonstration
Comment faire un changement d'indice sur une somme ?
un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé Comment calculer la somme double ?
Pour calculer une somme double, on peut : si la famille à sommer s'écrit sous la forme ai,j=bi?j a i , j = b i × c j , reconnaître un produit de deux sommes : n?i=1p?j=1bicj=(n?i=1bi)(p?j=1cj).Qu'est-ce qu'une double somme ?
Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.- Ce que, moi, j'appelle une somme télescopique est une somme s'écrivant sous la forme : q?k=pak+1?ak qui se simplifie donc en aq+1?ap. D'une manière générale, b?k=a(f(k+1)?f(k))=f(b+1)?f(a), tous les autres termes s'étant "télescopés" mutuellement dans la somme.
Sommes doubles 1 Sommes doubles `a indices indépendants