Exercice 12 [ 02771 ] [correction] SoitEl’ensembledessuites(a n) n>0 deC tellesquelasérie P a nconverge Si a= (a n) n>0 appartientàE,onpose kak= +X∞ n=0 a n a)Montrerquek kestunenormesurE b)Soit F= (a∈E/ X+∞ n=0 a n= 1) L’ensembleFest-ilouvert?fermé?borné? Exercice 13 [ 03021 ] [correction] SoientEunespacevectorielnormé
Exercice 1 Montrer en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] a,b [, a
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½
La note totale de l’exercice sera 0 au minimum Q1 : Il existe un espace m´etrique contenant 15 ouverts et 17 ferm´es NON Un ensemble O est ouvert ssi son compl´ementaire est ferm´e Ainsi il y a toujours autant d’ouverts que de ferm´es Q2 : Toute suite convergence dans un espace m´etrique est born´ee OUI x n → x signifie que d(x
ouvert contenu dans A (au sens de la relation d’inclusion): O ⊂ A et O ouvert ⇒ O ⊂ ˚A En particulier A est ouvert si et seulement si A = int(A) Fronti`ere Si A ⊂ E, on appelle ”fronti`ere de A”, et on note Fr(A) ou ∂A l’ensemble des points x ∈ E tels que tout ouvert O de E contenant x v´erifie: O ∩A 6= ∅ et O ∩Ac
En effet, A est ouvert dans R donc a fortiori dans E Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B = E \A =]0,+∞[ est ouvert dans E, donc A est ferm´e dans E Exercice 17 Soit E un sous-ensemble de R On suppose qu’il existe trois r´eels a < c < b tels que
2 On sait déjà que tout compact est fermé et borné (dans un espace métrique quelconque) Soit maintenant KˆR un ensemble fermé et borné La bornitude de Kmontre qu’il existe R>0 tel que K ˆ[ R;R] La question précédente montre que [ R;R] est un compact Par hypothèse Kest fermé dans R et donc c’est aussi un fermé de
Exercice 7 On note X = l¥ l’espace des suites réelles bornées, et Y = c 0 l’espace des suites réelles tendant vers 0, tous deux munis de la métrique (à vérifier) d(x;y) = sup n jx(n) y(n)j Montrer que Y est fermé dans X Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dans Y mais pas dans X
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Corrigé de la feuille d’exercices no5
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert
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I Ouverts, ferm´es - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 1 Montrer en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] a,b [, a
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Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z, est dense dans R 1 Remarquer que Dest stable par Taille du fichier : 899KB
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Feuille d’exercices N 1 : Topologie sur R
L’ensemble Aest-il ouvert? ferm e? Donnez A;A et Fr(A) Exercice 3 Les assertions suivantes sont-elles vraies? (D emonstration ou contre-exemple selon les cas ) 1 Toute partie non ouverte de Rd est ferm ee 2 Une union quelconque d’ouverts de Rd est ouverte 3 Une int ersection quelconque de ferm es de Rd est ferm e 4 Une union quelconque de ferm es de Rd est ferm ee 5 L’ensemble
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Partie de Un€N*
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½ Comme , on voit que tout x € *0,1* appartient à E Donc, [0,1[ C E En fait [0,1[ = E : si n
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Feuille d’exercices no 1 – Espaces métriques
6 Soit X un ensemble non vide Pour x,y ∈ X, posons : d(x,y) = ˆ 0 si x = y, 1 si x 6= y 1) Prouver que la relation précédente définit une distance sur X, que l’on qualifie de discrète 2) Déterminer les ouverts et les fermés de X, ainsi que l’ensemble des voisinages dans X d’un point x ∈ X
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Correction du contrˆole continu N 1
Exercice 1 R´epondre par OUI ou par NON aux questions suivantes Une r´eponse correcte donne un +1 et une r´eponse fausse un −1 2 (et 0 s’il n’y a pas de r´eponse) La note totale de l’exercice sera 0 au minimum Q1 : Il existe un espace m´etrique contenant 15 ouverts et 17 ferm´es NON Un ensemble O est ouvert ssi son compl´ementaire est ferm´e Ainsi il y a toujours autant d
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Fonctions et topologie élémentaire de Rn
Exploiter le fait que le complémentaire d’un ouvert est fermé et que le complémentaire d’un fermé est ouvert Indication pourl’exercice5 N Distinguer la partie triviale de l’exercice de la partie non triviale Dans cet exercice, le seul point délicat est pour le paramètre t proche de 0 2 Correction del’exercice1 N 1 Le graphe est bien un paraboloïde de révolution ayant l
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints (Indication : si x 2O ouvert, considérer J x qui est l’union des intervalles ouverts inclus dans O et contenant x) Énoncer un résultat similaire pour les ouverts de Rn Indication H Correction H [002341] Exercice 3 On va montrer que l’ensemble D des réels de la forme p+q p 2 Taille du fichier : 193KB
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
Exercice VI.4. On dit que X est un espace séparable si et seulement si il existe un sous ensemble A de X dense dans X et
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un sous
Montrer que l'ensemble A = {xnn ≥ 0}∪{l} est compact. Corrigé : Soit (Ui)i∈I un recouvrement de A par une famille quelconque d'ouverts. A ⊂.
Montrer que l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à p est un fermé de Mn Mn(R)GLn(R) est fermé en tant que complémentaire d'un ouvert. Soit n ⩾ ...
Par définition des fermés les ensembles X Fi sont des ouverts. On a vu en Exercice 69.— Cet exercice ne sera pas corrigé! On note A le graphe de la.
L'ensemble {1/n n ∈ N∗} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
ensemble `a la fois ouvert et fermé et. B (x
l'ensemble des suites convergentes vers 0
L'ensemble {(x y) ∈ R2 : x + 3y2 ≤ 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
Exercice 4 (fiche 2) Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de ... ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son.
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
La note totale de l'exercice sera 0 au minimum. Q1 : Il existe un espace métrique contenant 15 ouverts et 17 fermés. NON. Un ensemble O est ouvert ssi son
XI Elements de corrigés de l'examen 2017-2018 Corrigé de l'exercice 1.— ... Par définition des fermés les ensembles X Fi sont des ouverts.
ouverts de R et les ensembles de la forme {x/
Corrigé de l'exercice ?. Exercice complémentaire 3 : Montrer que l'ensemble. C = (x y) 2 R2 : 2x + y > 1 et x y. 0 . n'est ni ouvert
30 oct. 2013 nombre fini des demi-plans qui sont des ensembles convexes. ... la droite 2x + y + 1 > 0
Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(R) est connexe par arcs. Mn(R)GLn(R) est fermé en tant que complémentaire d'un ouvert.
C) On montre que X est l'image réciproque d'un ouvert par une application Soit {x1...
2 oct. 2015 ce qui montre que S(x r) est l'intersection de deux fermés (grâce ... L'ensemble B?(l
Exercice 1 Montrer en utilisant la d´e?nition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] ab [ a
2 Montrer que les compacts de R sont exactement les ensembles fermés et bornés Corrigé : 1 (a)Le segment [a;a] n’est autre que le singleton fag Comme les (U i) i2Irecouvrent [a;b] il existe au moins un i 0 2Itel que a2U i 0 Ceci montre que U i 0 est un recouvrement ouvert (à l’évidence ?ni) de [a;a] et donc que a2A
Comment calculer les 4 éléments d'un ensemble?
4 éléments : Il n'y a qu'une partie à 4 éléments : l'ensemble E E lui-même. L'ensemble des parties de E E comporte donc 16 = 2 4 16 = 2 4 éléments. Soient deux ensembles E E et F F . Soit A A une partie de E?F E ? F. A A est-elle une partie de E E? de F F? En déduire une comparaison de P(E?F) P ( E ? F) avec P(E)?P(F) P ( E) ? P ( F).
Comment calculer l'extension d'un ensemble?
Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant tous leurs éléments) les ensembles suivants : A={nombres entiers compris entre ?2 et 2?}. A = { nombres entiers compris entre 2 et 2 ? }.
Quels sont les 4 éléments d'un ensemble?
3 éléments : Il y a 4 parties à 3 éléments : { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d }. { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d }. 4 éléments : Il n'y a qu'une partie à 4 éléments : l'ensemble E E lui-même. L'ensemble des parties de E E comporte donc 16 = 2 4 16 = 2 4 éléments. Soient deux ensembles E E et F F .
Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Ouverts et fermés chapitre 11.2 I Ouverts
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