4 Apply the simplex methodto the dual maximization problem The maximum value of z will be the minimum value of w Moreover, the values of x1, x2, , and xn will occur in the bottom row of the final simplex tableau, in the columns corresponding to the slack variables y1 $ 0, y2 $ 0, , and ym $ 0 a1ny1 1 a2n y2 1 1 amnym # cn
Some Simplex Method Examples Example 1: (from class) Maximize: P = 3x+4y subject to: x+y ≤ 4 2x+y ≤ 5 x ≥ 0,y ≥ 0 Our first step is to classify the problem Clearly, we are going to maximize our objec-tive function, all are variables are nonnegative, and our constraints are written with
Simplex method • invented in 1947 (George Dantzig) • usually developed for LPs in standard form (‘primal’ simplex method) • we will outline the ‘dual’ simplex method (for inequality form LP) one iteration: move from an extreme point to an adjacent extreme point with lower cost questions 1 how are extreme points characterized
Normally, we would use the revised simplex to solve it But here we will write down all the tableaus So, the initial tableau is x 1 x r 1 x 2 x r 3 y 0 = ˘ 0 0 1 1 1 xr 1 2 3 1 0 0 xr 2 1 3 0 1 0 xr 3 4 6 0 0 1 Excluding x r 1;x 2, and x r 3 from Row 0, we have x 1 x r 1 x 2 x r 3 y 0 = ˘ 7 12 0 0 0 xr 1 2 3 1 0 0 xr 2 1 3 0 1 0 xr 3 4 6 0 0 1 1
Simplex 130 ∼−1 130 ∼−1 LMDIF 27 ∼0 57 ∼−1 • Use COSY-GO ( verified global optimizer) In the search domain [−4,4]×[−4,4],the minimum is found with 10−14 accuracy in 129 steps The minimizer is localized in the volume 5·10−17
(2) The minimizer x µλ is not unique The uniqueness of the minimizers ties closely with the differentiability of the dual function q(µ,λ), which we discuss next In some situations f of some of g j’s are not differentiable, but still the minimizers x µλ may be easily computed Example 1 (Assignment Problem)
kis the minimizer of ˚along x k+ p k, given by k= rT k p k pT k Ap k (17) We will see that for any x 0 the sequence fx kggenerated by the conjugate direction algorithm converges to the solution of the linear system in at most nsteps Since conjugate directions are linearly independent, they span n-space Therefore, x x 0 = ˙ 0p 0 + + ˙ n 1p
Simplex 130 ∼−1 130 ∼−1 LMDIF 27 ∼0 57 ∼−1 • Use COSY-GO ( verified global optimizer) In the search domain [−4,4]×[−4,4],the minimum is found with 10−14 accuracy in 129 steps The minimizer is localized in the volume 5·10−17
In order to use the simplex method, a bfs is needed To remedy the predicament, artificial variables are created The variables will be labeled according to the row in which they are used as seen below Row 1:z - 2x 1 - 3x 2 = 0 Row 2: 0 5x 1 + 0 25x 2 + s 1 = 4 Row 3: x 1 + 3x 2 - e 2 + a 2 = 20 Row 4: x 1 + x 2 + a 3 = 10
ORF 523 Lecture 14 Spring 2016, Princeton University Instructor: A A Ahmadi Scribe: G Hall Thursday, April 14, 2016 When in doubt on the accuracy of these notes, please cross check with the instructor’s notes,
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Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
3 2 MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II 3 c)Maintenant,ondésirecalculerlasolutiondebaseadjacenteliéesauxvariablesdebase fx 1;x 2;x 4g Pour cela, on poursuit l’élimination de Gauss-Jordan à partir du pivot a 3;4 2 6 6 4 1 0 1 0 0 6 0 1 3=2 0 1=2 2 0 0 5=4 1 1=2 5=2 3 7 7 5: Donc x 1 = 6 x 3 x 2 = 2+3=2 x 3 1=2 x 5 x 4 = 5=2 5=4 x 3 +1=2 x 5 En
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MINIMISATION OU MAXIMISATION NUMÉRIQUE : 2
f'(x1) Note: on a la même chose dans un espace à plusieurs dimensions avec les dérivées partielles dans chaque direction Exemple: Trouver la racine de l'équation x2=2 par approximations successives à partir de 3 f(x) = x2– 2 et f'(x)=2x ∆x 1= - 7/6 = -1,167, donc x 2= 3-1,167 = 1,833 ∆x
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2 Méthode du simplexe et son analyse
Méthode du simplexe – forme algébrique • Les contraintes constituent un système de 3 équations comportant 5 variables Exprimons 3 des variables en fonction des 2 autres: u = 30 – 5x – 3y p = 24 – 2x – 3y h = 18 – 1x – 3y z = 0 – 8x – 6y • En fixant x et y nous retrouvons les valeurs des autres variables
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PROBLEMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES
l’on sait g¶en¶eralement r¶esoudre de fa»con e–cace, par exemple en utilisant l’algorithme du simplexe: Minimiser z = cx sous Ax = b x ‚ 0: 1 Outils d'aide à la décision Master SIS 2009-2010
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Programmation lin eaire et Optimisation
minimiser p= 400u+ 600v sous les contraintes u+ v 10000 u+ 2v 16000 u 0; v 0: (1 4) Une analyse graphique fournit la solution optimale u= 4000 et v= 6000, ce qui corres-pond a un prix global p= 5200000:On remarque (nous verrons par la suite que ce n’est pas un hasard) que la solution optimale du probl eme du concurrent (on parlera de probl emeTaille du fichier : 1MB
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X Algorithmes d’optimisation
(fsolve,fzero ) et la minimisation, en une et plusieurs dimensions Pour minimiser une fonction à une variable dans un domaine on utilise fminbnd et si la fonction a plusieurs variables, on utilise fminsearch Pour le cas de problèmes contraints on utilise linprog et quadrprog pour les cas linéaires et quadratiques respectivement La fonction fmincon
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Correction de l’épreuve intermédiaire de mai 2009
Les méthodes du simplexe révisée et du simplexe en deux phases sont deux notions distinctes – La méthode de calcul (du simplexe) révisée est simplement une façon d’écrire les calculs lorsqu’on effectue l’algorithme On introduit les calculs λ = cUU−1,rV = cV − λV,y = U−1a de façon à
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Méthodes et outils d'optimisation - Optimisation
Méthodes et outils d'optimisation Optimisation Introduction Introduction Exemples Caractéristiques Complexité Processus Méthodes Programmation linéaire Nombres entiers Programmation par Contraintes Meta- heuristiques Conclusion Biblio Exemples de problèmes : revenu
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Optimisation sous contraintes
formation et des choix logistiques, que Dantzig, le créateur de l’algorithme du simplexe en program-mation linéaire étudiait à l’époque L’emploi du terme programmation avait également un intérêt pour débloquer des crédits en une époque où la planification devenait une priorité des gouvernements, cf
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Optimisation en Mécanique - UNIT
Exemple 1 : Une fonction f a une valeur théorique pour un jeu de paramètres donné de : f(v) = 19 273428 Sa valeur théorique pour une perturbation d’un des paramètres de 0 0001 est de : f(v+δv i)=19 273491 En fait, les valeurs sont calculées avec 6 chiffres significatifs
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les sommets A partir Reprenons le problème modèle du premier chapitre écrit sous la forme canonique max z Pour un problème de minimisation, on modifie le critère en
Chapitre
Donc la solution demeure réalisable aussi longtemps que x ≤ min {6, 12, 18} = 6 • Puisque l'objectif est de minimiser z, nous allons choisir la plus grande
Meth Simplexe Analyse
18 mar 2008 · Il a la forme suivante : maximiser (ou minimiser) z avec z = c1x1 + c2x2 + Alg `ebre lin éaire Algorithme du simplexe R ésum é Exemple
simplexe
2) Tableau du simplexe (forme canonique ) x1 x2 x3 x4 x5 z b -1 -2 0 0 0 -1 0 - 3 2 1 0 0 0 2 -1 2 0 1 0 0 4 1 1 0 0 1 0 5 3) Si SBR, alors phase II
r c
Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type, on retranche une variable d'excédent , tel que est une variable positive ou nulle Exemple : 3 2 2 se
algorithme simplexe
20 avr 2007 · Exemple : max x1 + 2x2 Algorithme du Simplexe – MATH-F-306 ⇔ ⎛ b Pour b = (1,1,2) et c = (1,1,1,2), minimiser cx sur S Solution : 7
chap exercices
Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc : x1 x2 x3 problème d'optimisation en fixant comme objectif de minimiser cette somme : Min ∑ Les prix de vente sont fixés à 215 € pour le modèle A et 150 € pour le modèle B
MNM corr doc
la volonté de minimiser ou maximiser quelque chose " Encore beaucoup 2 Programmation linéaire Définition Exemples Caractéristiques Simplexe Dualité
CM
8 4 4 Utilisation de la méthode du simplexe lorsque la solution optimale n'existe pas Exemple 8 2 2 L'intendant d'un lycée doit composer un menu qui doit contenir un minimum d'éléments o`u Z est la fonction objectif `a minimiser ✞ ✝
optimisation chap
de départ, par exemple une augmentation du stock de caoutchouc ou du stock produites vers les chaınes de montage afin de minimiser le coût total de transport Avant de formaliser l'algorithme du simplexe, et d'en découvrir les bases
LM
Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0
10 avr. 1983 L'exemple de minimisation le plus courant pour des physiciens est ... on continue avec ce nouveau simplexe. Si f(P*)<f(PL) on prend un pas plus ...
Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent
Elles doivent être réduites à zéro pour espérer obtenir une solution de base réalisable au modèle de programmation linéaire. Phase II minimiser Z = 3x1 + 4x2.
−x1 + x2. ≤ −2. Page 4. où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0. – Il y a trois variables dans le modèle dual. – Il y a deux contraintes dans le modèle dual. DUAL : Minimiser.
Algorithme du Simplexe. Cours 2: Dualité et Analyse de sensitivité Exemple: • V = {1...
Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe. Que Exemple : si le pharmacien fait varier ses demandes en vitamines A B
Par exemple il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec Il s'agit de minimiser le prix à payer : minz = bty. Pour cela
Il s'agit de minimiser le coût de transport. La fonction objective s'écrit : z = ∑ ij Reprenons notre exemple du début. Pour chaque case
Forme standard d'un programme linéaire : Exemple. Maximiser y. s.c.. 20x − 50y Algorithme du simplexe (Version minimisation). Entrées: Un programme linéaire ...
Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0 x1 + x2 ? x0 ? 10 ?
Exemple : Un problème comportant 10 équations et 20 inconnues le calcul de toutes les solutions de base pourrait ainsi exiger la résolution d'env
Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent tel que est une variable positive ou nulle Exemple : 3 2 2
3 2 1 L'algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire Notre modèle mathématique consiste à minimiser cette fonction dite fonction objectif par
Puisque nous cherchons à minimiser z il est avantageux d'augmenter la On peut démontrer que la méthode du simplexe circule autour du
Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL) DUAL : Minimiser w = 8y1 ? 6y2 + 2y3 sujet aux contraintes y1 + 2y2 + y3
Forme standard d'un programme linéaire : Exemple Maximiser Algorithme du simplexe (Version minimisation) Entrées: Un programme linéaire (P) sous forme
Développer un nouveau tableau III – Méthode du simplexe « MINIMISATION » On procédera à l'illustration de la méthode sur l'exemple suivant : = 24 + 20
Minimisation/ maximisation d'une fonction linéaire sous des con- Principe de l'algorithme du simplexe: Se promener de points extrêmes
18 mar 2008 · Il a la forme suivante : maximiser (ou minimiser) z avec Alg `ebre lin éaire Algorithme du simplexe R ésum é Exemple
An example of the dual simplex method Suppose we are given the problem Minimize z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 subject to 8 x 1 x 2 +x 3 x 4 10; x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 6; 3 x 1 4 2 +5 3 6 4 15 x 1; x 2; x 3; x 4 0:
Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 60 12 10 1 0 0 12 s1 ? Departing 60 6 30 0 1 0 15 s2 00 0 ? Entering Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 10y1 0 –6 20 –11 s 2 ? Departing 024–40 5 0 ?
Chapitre 3 Méthode du simplexe