b Vecteur nul : Le vecteur nul, noté 0 est le vecteur AA, BB, c Opposé d’un vecteur: On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont : - la même direction - la même longueur - mais pas le même sens uL’opposé d’un vecteur se note – u L’opposé d’un vecteur AB se note – AB ou BA A B D C A B C A B D
Vecteur unitaire On appelle vecteur unitaire tout vecteur de longueur 1 Soit AB un vecteur non nul Alors les deux vecteurs AB AB 1 x = et AB AB 1 y =− sont les seuls vecteurs unitaires colinéaires à u Mesure algébrique d’un vecteur Soit ∆ une droite munie d’un repère (O, I), soit A et B deux points de ∆, on appelle mesure
3) Existence de bases d’un espace vectoriel non réduit au vecteur nul Soit E un espace vectoriel sur K Si E ={0E}, alors E est de dimension finie puisque (0E)en est une famille génératrice En revanche, comme il n’est pas possible d’y trouver une famille libre, un tel espace vectoriel ne peut posséder une base On suppose maintenant E
Notation 2 : Le vecteur qui a le même point pour extrémité et pour origine est appelé le vecteur nul Il caractérise une translation qui laisse le point à sa place ( on dit invariant) Il est noté ⃗0 Ne pas oublier la flèche pour ne pas confondre ce vecteur avec le nombre 0 B) Vecteurs égaux On dit que les vecteurs −→ AB et
4) Vecteur directeur d’une droite a) Définition On dit qu’un vecteur⃗u non nul est un vecteur directeur de la droite (d) s’il existe deux points A et B de (d) tels que⃗AB=⃗u b) Propriétés Soit A un point de (d) et⃗u un vecteur directeur de (d)
un nombre réel Å non nul tel que , & = , & Exemple : Remarque : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction • Le vecteur nul 0 , & est colinéaire à tous les vecteurs Exemples : a) Q , & ( 2 ; – 3 ) et R & ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et –15 = –3 x 5
Un vecteur directeur d’une droite ne peut pas être nul car les points Aet B sont distincts Si →u est un vecteur directeur de la droite d, alors tout vecteur non nul colinéaire à ~uest aussi vecteur directeur de d Propriété 2 Exemple 1 Dans un repère du plan, on donne les points A(2;−5), B(−4;10)et le vecteur ~u(−2;6) Le
IV) La multiplication d’un vecteur par un réel un vecteur non nul et un nombre non nul k, on appelle produit du vecteur par le nombre k est le vecteur ku ayant les caractéristiques suivantes: et ont même direction, même sens si k 0 et de sens contraire si k 0 2 remarques : k 00 et 1uu , 1 uu-Si ku 0 alors k=0 ou u 0 3
On dit qu’un vecteur x de E est un vecteur propre de f si : a) x est non nul b) il existe un scalaire tel que f x x Ce scalaire , nécessairement unique, est appelé valeur propre de f associée au vecteur propre x Remarque: On dit aussi que x est un vecteur propre associé à la valeur propre
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VECTEURS ÉGAUX – VECTEURS OPPOSÉS – VECTEUR NUL
Remarque : si M et N sont deux points quelconques, les vecteur MN et NM sont opposés : on note cela MN = – NM Les vecteurs nuls sont les vecteurs de norme nulle (on ne peut donc pas parler de direction et de sens) On les note 0 Exemple : si M est un point quelconque, le vecteur MM est un vecteur nul :
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Les vecteurs - Free
b) Vecteur nul Pour tout point A, le vecteur AA est appelé vecteur nul; on le note 0 On ne modifie pas un vecteur en lui ajoutant le vecteur nul c) Vecteurs opposés Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents KB 2 sur 4 A B C A B C DTaille du fichier : 25KB
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Vecteurs, droites et plans dans l’espace
Le vecteur nul −→ 0 est un vecteur de norme nulle L’opposé d’un vecteur~u ou −→ AB est le vecteur noté −~u ou − −→ AB = −→ BA •Le produit par un scalaire: soit un réel λ et le vecteur~v =λ~u ~v a la même direction que le vecteur~u ~v a le même sens que~usi λ >0 et
CALCUL VECTORIEL 3 Calcul vectoriel
Le vecteur qui a une longueur de 0 est appelé vecteur nul et est noté ⃗0 Le vecteur nul n'a évidemment pas de direction, donc pas de sens Didier Müller, 2021 Géométrie 21
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Vecteurs et barycentres - Lycée Jean- Rostand
Remarque : Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur Propriété 2 : • Dire que trois points distincts A, B et C sont alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre k tel que −−→ AB =k −−→ AC • Dire que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire qu’il existe un nombre k tel que −−→ AB =k −−→ CD
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Seconde Vecteurs - Free
• Le vecteur nul → 0 : pour tout point M, → MM = → 0 • Le vecteur opposé à → AB est le vecteur qui a la même direction, la même longueur que → ABmais un sens opposé C’est donc le vecteur → BA On note : → BA = - → AB Propriété : Dire que quatre points A, B, C et D sont tels que → AB = → DC équivaut à dire que
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Vecteurs du plan - LMRL
Le vecteur nul, noté 0, est un vecteur dont la longueur est 0 Sa direction et son sens ne sont pas définis On le représente par un point Par exemple, AA =0 et plus généralement, MM =0 pour tout point M Définition La longueur d’un vecteur u est encore appelée norme On note u la norme du vecteur u Définition Deux vecteurs u et vTaille du fichier : 737KB
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Vecteurs et droites - Free
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs 2 Caractérisation analytique de la colinéarité de deux vecteurs Dans un repère ( ; , )O i j du plan, soient x u y et ' ' x v y deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
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1 sur 17 TRANSLATION ET VECTEURS
3 Vecteur nul Définition : Un vecteur AB est nul lorsque les points A et B sont confondus On note : AB = 0 Remarque : Pour tout point M, on a : MM = 0 4 Vecteurs opposés Il ne faut pas confondre sens et direction Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB)
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Valeurs propres, vecteurs propres - Exo7
En se souvenant qu’un vecteur propre n’est pas le vecteur nul, alors l’équation (1) implique en plus r = 0 Bilan : on vient de prouver que la famille fX1,X2, ,Xrgest une famille libre • Conclusion Par le principe de récurrence, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants Mini-exercices Taille du fichier : 150KB
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul,
vecteurs
Une famille `a un vecteur (X) est libre si, et seulement si, X est non nul 2 Une famille qui contient le vecteur nul O = (0,0, ,0) est
vecteursLindiapos
1) Norme d'un vecteur Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente
ProduitScal
b/ Si le point d'application se déplace sur la droite, le vecteur est dit vecteur glissant 2 1 3 Repère Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition
CH
Le vecteur nul est ainsi colinéaire et orthogonal à tout vecteur puisquiil peut prendre toutes les directions 2 Addition vectorielle Pour '**/:/544+8 deux vecteurs u
Vecteurs
(ii) il existe un vecteur appelé vecteur nul ou neutre de la somme et noté −→ D'abord, le vecteur nul est combinaison linéaire de toute famille : −→ 0 = ∑
fetch.php?media=pmi: algebre lineaire
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs Exemples : a) ( 2 ; – 3 )
re S colinearite de vecteurs
Remarque • On dit que ⃗ AB=⃗ CD=⃗u • Le vecteur nul, noté ⃗0 , est associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C, Ainsi ⃗0=⃗ AA=⃗
Ch Vecteurs
Une famille qui contient le vecteur nul O = (00
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur même direction et Pour tout point A
réel. Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle. 0 ··· 0.
Le vecteur qui a une longueur nulle est appelé vecteur nul et on le note 0 . Ce vecteur n'a ni direction ni sens. Pour tout point A du plan
1) Norme d'un vecteur 0 si l'un des deux vecteurs u ! et v ! est nul ... Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.
Puisque le vecteur nul n'a pas de direction on utilise comme convention que le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs. Si l'angle entre deux
Ce sous-espace vectoriel de E est constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à la valeur propre ?. 4. L'ensemble des valeurs propres de
(. ) La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0. Page 11. Preuve: Si sont linéairement
1 ??? 2014 Le singleton contenant seulement le vecteur nul est un espace vectoriel particulier. Ce n'est pas le plus intéressant.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Réciproquement si xy' – yx' = 0. Le vecteur v ! étant non nul
Remarque II 12 Si k est non nul et !u et !v v eri ent !u = k!v alors !v = 1 k!u D e nition II 13 Si !u et !v sont deux vecteurs on dit qu’il sont colin eaires s’il existe un r eel k tel que !v = k!u ou !u = k!v Remarque II 14 Le vecteur nul est colin eaire a tout autre vecteur (et c’est le seul vecteur satisfaisant cette propri
Cette translation est appelée translation de vecteur AB II VECTEURS DU PLAN Un vecteur est un trajet que l’on représente à l’aide d’une flèche a Egalité de deux vecteurs On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont : - la même direction - le même sens - la même longueur Exemple :
Le vecteur ?BA est appelé vecteur opposé du vecteur ?AB et noté ??AB Les vecteurs ?AB et??AB ont même direction même norme mais sont de sens contraires Définitions : ?u et ?v désignent deux vecteurs • L’opposé du vecteur ?u est le vecteur noté ??u tel que ?u+(??u)=?0
I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Définition Soit A et B deux points distincts du plan La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur Si le point D est l’image du point C par la translation de vecteur alors ABDC est un parallélogramme Interprétation
Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 2 : Vecteurs et Droites Les coordonnées de M sont alors les a et b cherchés : il suffit de tracer les parallèles passant par M à (OI) et à (OJ) pour les trouver et elles sont uniques comme toutes coordonnées de point 3) Exemple
Comment définir un vecteur ?
1. Notion de vecteur Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur . Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.
Est-ce que le vecteur nul n'a pas de direction?
Remarque : le vecteur nul n'a pas de direction, n'a pas de sens et sa norme est égale à 0. 4 /16 Vecteurs-cours Seconde IV. Somme de vecteurs 1. Somme de deux vecteurs Définition : Soit?u et ?vdeux vecteurs du plan.
Qu'est-ce que le vecteur nul ?
Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs. On appelle norme du vecteur overrightarrow {AB} AB et on note ||overrightarrow {AB}|| ??AB?? la longueur du segment left [ABright] [AB] .
Comment calculer les vecteurs égaux?
Vecteurs égaux Définition : Dire que deux vecteurs?ABet?CDsont égaux signifie que le point D est l’image du point C par la translationde vecteur?AB. Exercice 2 Dans le carré ABCD de centre O ci-contre, compléter les égalités suivantes : ?AB= ?CB= ?OC= ?DO= Propriétés : A, B, C et D désignent quatre points du plan.
Vecteurs et applications linéaires