Racine carrée A- Définition La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal à x Ainsi, pour tout réel positif x, x 2=x et x≥0 Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif
2 Propriétés a) Produits de 2 racines carrées : ab a b a b= × = × En conséquence : 2 a a a a a a a2 = × = × = = Automatismes à acquérir : Il est essentiel de connaître sa table des carrés pour se simplifier les écritures mathématiques
Remarque: On évite de laisser une racine carrée au dénominateur pour un résultat final : 5 5 8 5 8 5 4 2 5 2 2 5 2 8 8 8 8 8 8 4 uu u 2 2 8 8 4 8 7 32 8 7 32 8 7 8 4 7 474 7 4 7 47 16 7 9 u u u u (a + b)(a –b) = a² b²
est : a² + b² = c² Exemple : a² + b² = c² 4² + 3² = c² 16 + 9 = 25 Pour obtenir la mesure de c (l’hypoténuse), il faut extraire la racine carrée de 25 : 25=5 Donc c égale 5 Par contre, si l’on connaît la longueur de l’hypoténuse mais non la longueur d’un des
- Dans un triangle : a² + b² = c² Racine de 2 = 1,414 o Dans le cas d’un triangle isocèle où a = b, la formule devient : C² = 2a²
Chercher si une valeur telle que -1 ou +1, ou autre annule le polynôme La racine trouvée a permet de mettre en facteur (x-a) ex : x2-6x-7 = (x-1)(x-7) Identitées Remarquables Pour tous nombres a et b : (a+b)² = a²+2ab+b² (a- b)² = a²-2ab+b² (a+b)(a-b) = a²-b² Règle des signes : Puissances, radicaux
Soit x un nombre reel positif,la racine carree de x est le nombre positif dont le carre est egal à x a −b3 =(a−b)(a²+ab+b²) 6 7 Puissances de 10
•On fait apparaître un carré sous la racine carrée (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 etc voir ci-dessous) •On utilise la propriété de multiplication •Puis, on simplifie l’écriture •Ecrire B = − +2 24 150 54 sous la formea 6 2 4 6 25 6 9 6 2 4 6 25 6 9 6 2 2 6 5 6 3 6 (4 5 3) 6 2 6 B B B
4 a² ∆ 2a b ax² bx c a x 2 avec ∆=b² −4ac Racine de f(x) = 0 Factorisation Signe de f(x) ∆0 a deux racines distinctes 2a
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Racine carrée - Free
B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaire Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux Démonstration Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b² On a alors a² – b² = 0, soit (a + b)(a – b) = 0 D'où les deux possibilités : – soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b Taille du fichier : 35KB
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racine carrée - edu
a+b≠a+b et € a2+b2≠a+b III Ecriture de la racine de a sous la forme d’une puissance 1 Définition de € a 1 2 On définit € a 1 2 en supposant que cette puissance de € a suit les mêmes règles de calcul que les puissances entières de € an Alors € a 1 2 2 =a 1 ×2 =a1=a On voit que € a
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Racines carrées
b) Notation c) Exemples 2 Propriétés a) Produits de 2 racines carrées b) Quotient de 2 racines carrées c) Lien avec les puissances d) Modification d’écritures avec des radicaux au dénominateur 3 Exercices de bases corrigés 4 Exercices non corrigés 5 Approfondissement 1 Généralités : a) Définition : soit aun nombre positif ou nul On appelle racine carrée de a
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Racines carrées (cours de troisième)
La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b On a donc d2 = b et on note d = b Par définition, on a donc avec b ≥ 0, b ≥ 0 et ( b) 2 = b Ex : 9 = 3 (car 3 2 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 4 9 = 2 3 Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée A partir de la définition, nous allons obtenir les trois Taille du fichier : 208KB
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La racine carr´ee d’un nombre
(a) Pour tout nombres positifs a et b, √ a+ b ≤ √ a+ √ b (b) Pour tout nombres positifs a et b ou` b ≤ a, √ a−b ≥ √ a− √ b Preuve (facultatif): (a) Pour la propri´et´e (a), il suffit de voir que √ a+b 2 = a+b = √ a2 + √ b 2 ≤ √ a2 + 2 √ a √ b+ √ b 2 = (√ a+ √ b)2 (Voir le fichier intitul´e Alg´ebre: d´eveloppement d’expressions alg´ebriques) Donc √ a+b2 ≤ (√ a+ √ b)2 Il en d´ecoule queTaille du fichier : 52KB
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Racine carr e - Exercices corrig s
On donne les nombres : a = 2 5 - 3 et b = 2 5 + 3 Calculer a + b , a - b , a² + b² , ab et ( a + b )² Correction : Calcul de a + b : Remplaçons a et b par les valeurs données ci-dessus Attention, toute valeur doit être considérée comme une valeur entre parenthèses ( Il est vrai que si
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Chapitre VII Polynômes à une indéterminée
En particulier, on a pour que est racine de 2 Racines et factorisation de polynômes i) Cas d’une racine unique Proposition ]: Soient [ et Alors divise si et seulement si ( ) i e est une racine de 5 Cours de M RUMIN réécrit par J KULCSAR Démonstration : On divise par
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Fiche de synthèse : LES RACINES CARR É ES
√ × = √ a×√ ba b Fiche de synthèse : LES RACINES CARR É ES Les racines carrées représentent un nouveau type de nombres, qui ne sont pas toujours décimaux Par définition, si « a » est un nombre positif, la racine carrée de « a », notée a, est le nombre dont le carré est égal à « a », avec a ≥ 0 L’utilisation de la racine carrée permet de résoudre des équations
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BÉRÉNICE
RACINE - 4 - Préface Titus, reginam Berenicen, cum etiam nuptias pollicitus ferebatur, statim ab Urbe dimisit invitus invitam C'est-à-dire que "Titus, qui aimait passionnément Bérénice, et qui même, à ce qu'on croyait, lui avait promis de l'épouser, la renvoya de Rome, malgré lui et malgré elle, dès les premiers jours de son empire" Cette action est très fameuse dans l'histoire
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PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
A = 45 x 47 B = " C = 73 x (72)6 D = 67 x 97 A = 45 x 47 B = " C = 73 x (72)6 = 45+7 = 54–6 = 73 x 72x6 = 412 = 5-2 = 73 x 712 = 73+12 = 715 D = 67 x 97 = (6 x 9)7 = 547 II Calculs sur les racines carrées 1) Définition Exemples : 32 = 9 donc √9 = 3 2,62 = 6,76 donc √6,76 = 2,6 La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a Remarque : √−5 = ? La
La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal On a : ab 2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et
racine
La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté a dont le carré est a Quel que soit a positif ou nul, ( a ) ² = a Remarque : La racine carrée d'un nombre
cours eme chap a racines carrees
Simplifions les différentes racines de cette expression Au lieu de simplifier séparément les différentes racines, Sachant que ² 2() = 2 , que )²5( = 5 et que 5
Racine carree Exercices corriges
Calculs sur les racines carrées 1) Définition Exemples : 32 = 9 donc √9 = 3 2, 62 = 6,76 donc √6,76 = 2,6 La racine carrée de a est le nombre (toujours
RacPuissM
L'intérêt de modifier ainsi l'écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des expressions numériques contenant des racines et des sommes 50 + 6 2
Racines C
x ² = x × x se lit " x au carré " ou " x puissance 2 " x 1 = x x 0 = 1 x – 1 II Les racines carrées Définition des racines carrées : Considérons un nombre x positif
puissance et racine
b = √a √b – Pour tout nombre réel positif a, (√a) 2 = a De plus √a2 = a
racinecarree
b) Quotient de 2 racines carrées c) Lien avec les puissances d) Modification d' écritures avec des radicaux au dénominateur 3 Exercices de bases corrigés 4
racine
L'utilisation de la racine carrée permet de résoudre des équations du type x² = a donc x = a La racine carrée de a notée est le nombre tel que ( )² = a
Racine carrée a et b sont des nombres strictement positifs I Définition a est le nombre positif dont le carré est égal à a Autrement dit : a ( )2 = a ou encore :
math chap
1- Propriété préliminaire. Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux. Démonstration. Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b².
Par définition ce nombre est appelé racine carrée de 52 et on le note : 52 . Par conséquent : AB = 52 cm (c'est la valeur exacte !) En calculant une valeur
http://weislingermathias.free.fr/SECONDE%20E_fichiers/cours/ordre_partie2.pdf
Simplifions les différentes racines de cette expression. Nous avons : Calculer a + b a - b
=a2. 2ab b2 ). Ces deux calculs montrent que : A² < B². On en conclut donc que : A < B. COMPARER LES PUISSANCES DE NOMBRES.
Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. (Par rapport aux formules
a est une racine primitive modulo n alors les (n) entiers 1
si a < b alors a² < b² ; si a < b
Soit P ? C[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X ? a)2 en fonction ...
RACINES CARREES 1 CONNAITRE ET UTILISER LA DEFINITION DE a ET LA 1ERE PROPRIETE Soit a un nombre positif : a est un nombre positif et
La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal à x Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b²
Simplifions les différentes racines de cette expression Nous avons : Calculer a + b a - b a² + b² ab et ( a + b )² Correction :
La racine carrée d'un nombre positif x est le nombre positif dont le carré est égal à x (x + 4)(x – 4) (identité remarquable : a2 – b2 = (a+b)(a-b) )
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)(a – b) = a² – b² La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui élevé au carré donne a
Nous dirons que c est la racine carrée de d Voyons quelles sont les propriétés vérifiées par la racine carrée Proposition 2 ?b)2 = ab Or
Méthode générale : On isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 On obtient une deuxiéme équation du second degré que l'on résoud
I) Racine carrée d'un nombre réel : 1°) Pré-requis : comparer des nombres et leurs carrés a) Démontrer que quels que soient les nombres a et b a² - b²
Nombres et calculs : les racines carrées Module a et b étant des nombres positifs : ?a×?b=?a×b ?a2 ×b=a?b b) (2?7??11)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c a = 2 b = -1 et c = -6 donc A = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 x 2 x (-6) = 49
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Racine carrée