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Calcul vectoriel dans l"espace

I. Définition et propriétés

Soit A et B deux points distincts de l"espace,

le vecteur Åu=ÄAB est caractérisé par : sa direction : celle de la droite (AB) son sens : de A vers B sa norme : la longueur AB notée ║ ║Åu

Remarques : le vecteur nul, noté

Å0 n"a ni direction ni sens et

║ ║Å0=0 Deux vecteurs sont égaux lorsqu"ils ont même direction, même sens et même norme. pas la même direction pas le même sens pas la même norme

Propriété

: si les points A, B, C et D ne sont pas alignés : AB=ÄDC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Relation de Chasles

: soient A et B deux points de l"espace, pour tout point M,

ÄAB=ÄAM+ÄMB

Conséquence

: l"opposé du vecteur ÄAB est le vecteur ÄBA :

ÄAB=ÄBA

Le vecteur -Åu a la même direction et la même norme que celles du vecteur Åu mais un sens opposé à celui du vecteur Åu

Définition

: Soit k un nombre réel non nul, le vecteur k Åu est caractérisé par: la même direction que celle du vecteur Åu le même sens que celui de Åu si k>0, le sens opposé si k<0 une norme égale à | |k× ║ ║Åu

Remarque : pour tout vecteur

Åu, 0Åu=Å0

II. Vecteurs colinéaires

Définition

: Deux vecteurs Åu et Åv de l"espace sont colinéaires si et seulement s"il existe un nombre réel k tel que Åu=kÅv

Remarque : le vecteur

Å0 est colinéaire à tout vecteur de l"espace.

Deux vecteurs non nuls

Åu et Åv sont colinéaires si et seulement s"ils ont la même direction.

Application

: soient A, B et C trois points de l"espace. AB et ÄAC sont colinéaires si et seulement si A, B, et C sont alignés

Propriété de transitivité

: soit Åu, Åv et Åw trois vecteurs de l"espace. Si Åu et Åv sont colinéaires et si Åv et Åw sont colinéaires alors Åu et Åw sont colinéaires.

III. Vecteurs coplanaires

Définition

: trois vecteurs Åu, Åv et Åw de l"espace sont coplanaires si et seulement s"il existe deux nombres réels a et b tel que Åw=aÅu+bÅv Remarque : le vecteur Åw est alors une combinaison linéaire des vecteurs

Åu et Åv.

Propriété : soient A, B, C et D quatre points de l"espace les vecteurs ÄAB, ÄAC et ÄAD sont coplanaires si et seulement si les points A, B, C et D sont coplanaires

IV. Barycentre dans l"espace

Définitions et propriétés des barycentres sont analogues dans le plan et l"espace.

Construire ci-contre le point I tel que :

I=Bar{(A;4),(C;1),(F;2),(H;3)}

A B

CDE FG

H

V. Repérage dans l"espace

Définition

: un repère de l"espace est constitué d"un point O, origine du repère, et

d"un triplet de vecteurs (Åi;Åj;Åk) non coplanaires. Le repère est noté (O;Åi;Åj;Åk).

repère quelconque repère orthogonal repère orthonormal

Coordonnées de points

pour tout point A de l"espace il existe un unique triplet de nombres réels (x;y;z) tel que ÄOA=xÅi + yÅj + zÅk

Ce triplet est appelé coordonnées du

point A et est noté : A(x;yz) ij kO

M(1;2;3)

x=1 y=2 z=3 i j kO

M(1;2;3

x=1 y=2 z=3

Coordonnées de vecteurs :

pour tout vecteur

Åv de l"espace il existe un

unique triplet de nombres réels (x;y;z) tel que v=xÅi + yÅj + zÅk Ce triplet est appelé coordonnées du vecteur Åv et est noté :

Åv (x;y;z)

ij kO A B 3i 6j 4k x y zo A B -9.2i 6.4j 2.6 k ijk Les calculs de coordonnées de points ou de vecteurs sont analogues à ceux du plan.

Points

AB ( )xB-x A;y B-y A;z B-z A

I milieu de [AB], I

))) xA+x B 2 ; yA+y B 2 ; zA+z B 2 si

1 1; ,..., ;

n n

G bar A A

a a alors,

1 1 1 1 1 1

1 1 1 n n n n n nn n n x x y y z z G a a a a a a a a a a a a()

Vecteurs

si

Åu(x;y;z) et Åv(x";y";z") alors

u+Åv(x+x";y+y";z+z") si Åu(x;y;z) et k☻Ë alors kÅu(kx;ky;kz)

Åu(x;y;z) et Åv(x";y";z")

sont colinéaires si x y z et seulement si x" y" z" est un tableau de proportionnalité.

Coordonnées des vecteurs coplanaires :

Soit trois vecteurs

Åu(x;yz), Åv(x";y";z") et Åw(x";y";z").

u, Åv et Åw sont coplanaires si et seulement si le système d"inconnues a et b ci-contre admet un couple de solution " "" "" "x ax bxy ay byz az bz

Exemple :

Åu(1;2;3), Åv(4;5;6) et Åw(7;8;9)

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