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Vecteurs, droites et plans de l"espace

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Vecteurs de l"espace3

1.1 Extension de la notion de vecteur à l"espace

3

1.2 Calcul vectoriel dans l"Espace

3

2 Droites de l"espace5

2.1 Colinéarité, alignement, parallélisme

5

2.2 Vecteur directeur d"une droite

5

2.3 Positions relatives de deux droites

5

3 Plans de l"Espace6

3.1 Caractérisation d"un plan de l"Espace

6

3.2 Vecteurs coplanaires

7

3.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan

8

3.4 Positions relatives de deux plans

8

3.5 Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme

8 ?

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX

Table des figures

1 Une translation

3

2Vecteurs égaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3 Relation de Chasles

4

4Multiplication d"un vecteur par un réel - Cas 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

5Multiplication d"un vecteur par un réel - Cas 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

6 Droite : un point et un vecteur directeur

5

7 Plan : un point et deux vecteurs directeurs

6

8 Caractérisation vectorielle d"un plan

7

9 Intersection avec deux plans parallèles

9

10 Théorème du toit

9

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

6

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

8

3 Positions relatives de deux plans

8 2

1 VECTEURS DE L"ESPACE

1 Vecteurs de l"espace

Activité :Activité 2 page 2781[Magnard]

1.1 Extension de la notion de vecteur à l"espaceDéfinition :SoientAetBdeux points de l"espace.

À tout pointMde l"espace on associe par latranslation qui transforme AenB, l"unique pointM?tel queABM?Msoit unp arallélogramme(v oirfigure 1 ).

Cette translation est appelée

translation de v ecteur--→AB.Figure1 - Une translation

Remarques :

1.

Il s"agit de la même définition que celle des v ecteursdu plan. On retrouv edonc la même caractérisation

des vecteurs :

Un vecteur--→ABest défini par :

sa direction (celle de la droite (AB)); son sens (de AversB); sa norme (la longueur AB). 2. la norme du v ecteur

--→ABest notée???--→AB???. On a donc???--→AB???=AB.Égalité de vecteurs :(voir figure2 )

1. Lorsque la translation qui transforme AenBest la même que celle qui transformeCenD, on dit que les vecteurs--→ABet--→CDsontégaux .

2.--→AB=--→CDsi et seulement siABDCest unparallélogramme .Figure2 -Vecteurs égaux

1.2 Calcul vectoriel dans l"Espace

L"addition de deux vecteurs et la multiplication d"un vecteur par un réel sont définies comme dans le plan et

ont les mêmes propriétés.1. Utiliser les combinaisons linéaires de vecteurs. 3

1.2 Calcul vectoriel dans l"Espace 1 VECTEURS DE L"ESPACE

Propriété :Relation de Chasles

Pour tous pointsA,BetCde l"Espace :-→AC=--→AB+--→BC(voir figure3 ).Figure3 - Relation de ChaslesDéfinition :AetBdésignent deux points distincts etkun nombre réel non nul.

Si-→AC=k--→AB, alorsCest le point de la droite(AB)tel que : Si k >0,AC=k×ABet les pointsBetCsont du même côté deA(figure4 ).

Si k <0,AC= (-k)×ABet les pointsBetCsont de part et d"autre deA(figure5 ).Figure4 -Multiplication d"un vecteur par un réel - Cas 1Figure5 -Multiplication d"un vecteur par un réel - Cas 2

Remarque :Autrement dit :

Si k >0,--→ABet-→ACont même direction, même sens etAC=k×AB. Si k <0,--→ABet-→ACont même direction, sens opposés etAC= (-k)×AB

Remarque :Les règles de calculs sur les sommes de vecteurs et sur les multiplications de vecteurs par un

réel sont les mêmes que sur les nombres.Définition :Soient?u,?vet?wtrois vecteurs de l"espace.

On dit que?west unecom binaisonlinéaire de ?uet?vs"il existe deux nombres réelsaetbtels que : ?w=a?u+b?vExercices :1, 2 page 281et 36, 37 page 2922- 9, 10, 11 page 285 et 49 page 2923[Magnard] Module :TP 1 page 3044et TP 2 page 3055[Magnard]2. Représenter des combinaisons linéaires.

3. Exprimer un vecteur comme une combinaison linéaire.

4. Barycentre d"un système de points pondérés.

5. Utilisations du barycentre d"un système de points pondérés.

4

2 DROITES DE L"ESPACE

2 Droites de l"espace

2.1 Colinéarité, alignement, parallélismeDéfinition :Deux vecteurs-→uet-→vsontcoliné airessi et seulemen tsi l"un est le pro duitde l"autre par

un réelk(c"est-à-dire-→u=k-→vou-→v=k-→u).Propriété :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.-→uet-→vsontcolinéaires si et seulemen tsi l esv ecteurs-→uet-→vontmê medirection .Applications :-Les droites (AB)et(CD)sontparallèles si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet--→CDsont

colinéaires

Les p ointsA,BetCsontalignés si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet-→ACsontcolinéaires .

Exercice :32 page 2916- 46, 47, 48 page 292 et 86 page 2957[Magnard]

2.2 Vecteur directeur d"une droiteDéfinition :Unedroite de l"es paceest définie :

soit par la donnée de deux p ointsdi stincts soit par la donnée d"un p ointun d"un v ecteur non n ul. Ce v ecteurest alors app elé v ecteurdirecteur de la droite (voir figure 6 ).Figure6 - Droite : un point et un vecteur directeur

Remarque :Si?uest unv ecteurdirecteur de la dr oited, tout vecteurcolinéaire à ?uest aussi unv ecteur

directeur de d.Propriété :Caractérisation d"une droite La droite pass antpar le p ointAet de vecteur directeur?uest l"ensemble des pointsMde l"espace tels que--→AMet?usoient colinéaires.2.3 Positions relatives de deux droites SoientD1etD2deux droites de vecteurs directeurs respectifs-→u1et-→u2. Les positions relatives possibles deD1etD2sont résumées dans le tableau1 .6. Vrai-Faux.

7. Colinéarité, applications.

5

3 PLANS DE L"ESPACE

Positions relatives deD1etD2-→

u1et-→u2colinéaires-→ u1et-→u2non colinéairesD

1etD2coplanaireset

strictement parallèlesD

1etD2coplanaireset

confonduesD

1etD2coplanaireset

sécantesD

1etD2non coplanairespas de point communtous les points sont

communsun point commun uniqueil n"existe pas de plan contenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droites Remarques :1.On dit qu edeux droites son tc oplanairessi elles son tinclues dans un même plan . 2.

A ttention!

Dans l"espace, il existe des droites qui n eson tni p arallèles,n isécan tes. 3.

Deux droites son t

parallèles lorsqu"elles son t coplanaires et non sécan tes

Exercices :41 page 2928[Magnard]

3 Plans de l"Espace

3.1 Caractérisation d"un plan de l"EspaceDéfinition :Unplan de l"espac eest défini :

soit par la donnée de trois p ointsnon alignés soit par la donnée de deux droites s écantes: soit par la donnée d"un p ointun de deux v ecteursnon colinéaire s . Ces vecteurs sont alors appelés vecteurs directeurs du plan (v oirfigure 7 ).Figure7 - Plan : un point et deux vecteurs directeurs

Remarques :

1. Un plan défini par trois p ointsnon alignés A,BetCest noté(ABC). 2.

Un plan défini par un p ointAet deux vecteurs directeurs?uet?vnon colinéaires est noté(A;?u;?v).8. Positions relatives de deux droites.

6

3 PLANS DE L"ESPACE 3.2 Vecteurs coplanaires

Théorème :Caractérisation vectorielle d"un plan (admis) 1. Soien t?uet?vdeux vecteurs de l"espacenon colinéaires (v oirfigure 8 ). Un pointMest dans le plan(A;?u;?v)si et seulement si--→AMest unecom binaisonlinéaire de ?uet ?v, c"est-à-dire s"il existe deux réelsxetytels que :

AM=x-→u+y-→v

2. Soien tA,BetCtrois points de l"Espacenon alignés .

Un pointMest dans le plan(ABC)si et seulement si--→AMest unecom binaisonlinéaire de --→ABet-→AC, c"est-à-dire s"il existe deux réelsxetytels que :

AM=x--→AB+y-→ACFigure8 - Caractérisation vectorielle d"un plan Exercices :27 page 2919- 3, 4 page 281 et 39, 40 page 29210[Magnard]

3.2 Vecteurs coplanairesDéfinitions :1.On d itque quatr ep ointsA,B,CetDde l"espace sontcopl anairess"ils son tdans u n

même plan. 2. Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace.

Il existe quatre pointsA,B,CetDde l"espace tels que-→u=--→AB,-→v=-→ACet-→w=--→AD.

On dit que les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si et seulemen tsi les quatre p ointsA,B,Cet

Dle sont.Remarques :1.Deux v ecteurs(ou trois p oints)son ttoujour scoplanaire s. 2.

Si les v ecteurs

--→ABet--→CDsontcolinéaires , les droites(AB)et(CD)sont parallèles et, donc, les points

A,B,CetDsontcoplanaires . Par suite, si deux vecteurs-→uet-→vsontcolinéaire s, les vecteurs-→u,-→vet-→wsonttoujours c oplanaires.Théorème :1.Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace, tels que-→uet-→vne soientpas colinéaires .

Alors, les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si et s eulementsi -→west unecom binaisonlinéaire

de?uet?v, c"est-à-dire s"il existe deux réelsxetytels que : w=x-→u+y-→v 2. Soit A,B,CetDquatre points de l"espace, tels queA,BetCne soientpas alignés .

Alors, les pointsA,B,CetDsontcoplanair essi e tseulemen tsi --→ADest unecom binaisonl inéaire

de--→ABet-→AC, c"est-à-dire s"il existe deux réelsxetbtels que :

AD=x--→AB+y-→ACRemarque :si trois vecteurs-→u,-→vet-→wne sontpas cop lanaires, on dit qu"ils forment unebase de l" espace.9. Utiliser les bons symboles

10. Caractérisation vectorielle d"un plan.

7

3.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan 3 PLANS DE L"ESPACE

3.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan

SoientDune droite de vecteur directeur-→uetPun plan de vecteurs directeurs-→vet-→w.

Les positions relatives possibles deDetPsont résumées dans le tableau2 Positions relatives deDetP-→

u,-→vet-→wnon coplanaires-→

u,-→vet-→wnon coplanairesDetPsontsécan tsDeststrictemen tparallèle à PDestcon tenuedans P.DetPont un seul point

communDetPn"ont aucun point communD ? P Table2 - Positions relatives d"une droite et d"un plan

Exercices :5, 6 page 283 et 42 page 29211- 50 page 292; 51, 52 page 293; 82 page 295 et 120 page 30112

Magnard

3.4 Positions relatives de deux plans

SoientP1etP2deux plans.

Les positions relatives possibles de sont résumées dans le tableau 3 .Positions relatives des plansP1etP2P

1etP2sécantsP

1etP2parallèlesP

1etP2confondusP

1etP2strictement parallèlesleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est vide

Table3 - Positions relatives de deux plans

Remarque :Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminerdeux

points appartenant simultanément aux deux plans p ourd éterminerce ttedroite. Exercices :7 page 283; 26, 28 page 291et 43 page 29213[Magnard]

3.5 Deux résultats supplémentaires sur le parallélismeThéorème 1 : (admis)Si un planQcoupe deux plans parallèlesPetP?alors les droites d"intersection

sont parallèles (v oirfigure 9 ).11. Positions relatives de droites et de plans.

12. Utilisation de la coplanarité.

13. Intersections de droites et de plans.

8

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESFigure9 - Intersection avec deux plans parallèlesThéorème 2 : (admis)(aussi appelée " théorème du toit »)

SoitDetD?deux droites parallèles.Pest un plan contenantDetP?un plan contenantD?(voir figure 10

Si les plansPetP?sont sécants, leurdroite d"in tersectionΔestparallèle à Det àD?.Figure10 - Théorème du toit

Activité :Section d"un plan sur un cube (sur feuille polycopiée) Exercices :13 page 285; 44, 45 page 293 et 124 page 30214[Magnard]

Références

[Magnard]

Maths Tle Sp écialité,Magnard, 2020

3 4 5 6 7 8

9 14. Sections.

9quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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