VECTEURS DE LESPACE
Soit d la droite passant par B de vecteur directeur k ! . Comme k ! n'est pas colinéaire avec i ! et j !
Vecteurs et repérage dans lespace
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles les vecteurs AB et CD sont colinéaires. 2) Vecteurs coplanaires. Définition : Trois vecteurs de l'espace u
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
La droite d passant par et de vecteur directeur T? est l'ensemble des points tels que les vecteurs TTTTTT? et T? sont colinéaires. Propriété :
Géométrie de lespace
Soient u v deux vecteurs de l'espace non colinéaires. Soit n ? R3. 1. n ? (u et v) ssi n est orthogonal à tout vecteur de Vect(u
Géométrie dans lespace
On prend comme mod`ele de l'espace R3. b) Somme de deux vecteurs produit d'un scalaire par un vecteur. Définition. ... a) Vecteurs colinéaires.
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Avant de passer à la dimension 3 signalons que le déterminant permet de caractériser par une équation les paires de vecteurs colinéaires. Proposition 1.5. Avec
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Tout vecteur colinéaire à {? est solution. XI. Projection orthogonale. 1) Projection orthogonale d'un point sur une droite. Définition : Soit
Vecteurs droites et plans de lespace
2 Droites de l'espace. 2.1 Colinéarité alignement
Vecteur dans l espace
Deux vecteurs non nuls Åu et Åv sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Application : soient A B et C trois points de l'espace. Ä. AB et
[PDF] VECTEURS DE LESPACE - maths et tiques
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires
[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE - maths et tiques
Propriété : Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d'un plan Propriété : Soit un plan passant par un point et dirigé par deux
[PDF] 1 ) vecteurs de lespace - Pierre Lux
Les règles de calcul sur les vecteurs de l'espace sont analogues aux règles de calcul Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur
[PDF] Vecteurs de lespace - AlloSchool
Applications : – Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ??? AB et ??? CD sont colinéaires – Les points A B et C
[PDF] vecteurs-de-l-espace-cours-et-exercices-corrigespdf - AlloSchool
de tels vecteurs sont colinéaires AB MN = ssi ABNM est un parallélogramme II) LES OPERATIONS DANS 3 V 1) L'addition Définition : u et v deux vecteurs
[PDF] Première S - Colinéarité de deux vecteurs - Parfenoff org
Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10
géométrie dans lespace - repère - vecteur colinéaire - Jaicompris
Vecteur de l'espace · colinéaires · Vecteurs coplanaires · Points coplanaires · Repère de l'espace · coordonnées d'un point · coordonnées du milieu · coordonnées du
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Deux vecteurs non nuls Åu et Åv sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction Application : soient A B et C trois points de l'espace Ä AB et
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Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ??? AB et ??? CD sont colinéaires PROPRIÉTÉ admise 3) vecteurs coplanaires
[PDF] Géométrie vectorielle dans le plan et dans lespace
Définition: vecteurs colinéaires Deux vecteurs sont dits colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel Remarque : le vecteur est colinéaire à tous
Comment représenter un vecteur dans l'espace ?
Un vecteur dans l'espace à trois dimensions peut être écrit sous forme de composantes, ( , , ) , ou en fonction des vecteurs unitaires, ? + ? + ? .Comment montrer que 2 vecteurs ne sont pas colinéaires dans l'espace ?
On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.- Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles.
I) Vecteurs de l'espace
1) Extension de la notion de vecteur
· L'égalité ABCD=uuuruuur signifie que ABDC est un parallélogramme. · Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C de l'espace, ACABBC=+uuuruuuruuur. · la longueur ou norme du vecteur ABuuur se note ABuuur et est égale à la distance AB.2) Opérations sur les vecteurs
L'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un réel se définissent comme pour les vecteurs du plan.
Ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane.II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
1) Vecteurs colinéaires
Définition : Deux vecteurs de l'espace ur et vr sont colinéaires s'il existe deux nombres réels a et b tels que (a ;b) ' (0 ;0) et 0uva+b=rrr.
Remarque : Si ur et vr sont colinéaires, alors on peut écrire l'un en fonction de l'autre sous la forme ukv=rr où k est un
nombre réel.Théorème : · Les points A, B et C sont alignés , les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires. · Les droites (AB) et (CD) sont parallèles , les vecteurs ABuuur et CDuuur sont colinéaires.
2) Vecteurs coplanaires
Définition : Trois vecteurs de l'espace ur, vr et wr sont coplanaires s'il existe trois nombres réels a, b et c tels que (a ; b ; c) ' (0 ; 0 ; 0) et 0uvwa+b+g=rrrr.
Remarque : Si ur, vr et wr sont coplanaires alors on peut écrire l'un des trois en fonction des deux autres sous la forme
u k v kw¢=+rrr où k et k' sont des nombres réels.Théorème : · Les points A, B, C et D sont coplanaires , les vecteurs ABuuur, ACuuur et ADuuur sont coplanaires. · La droite (ED) est parallèle au plan (ABC) , les vecteurs ABuuur, ACuuur et EDuuur sont coplanaires.
III) Repères et coordonnées dans l'espace
1) Repères de l'espace
Définition : Soit O un point de l'espace. On dit que (,,,)Oijkrrr est un repère de l'espace, lorsque les vecteurs ir, jr et
kr ne sont pas coplanaires.Vecteurs et repérage dans l'espace 2/3
Définition : Soit (,,,)Oijkrrr un repère de l'espace. · Pour tout point M, il existe trois nombres réels x, y et z tels que : OMxyzijk=++uuuurrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère (,,,)Oijkrrr. x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M dans ce repère. · Tout vecteur ur de l'espace peut s'écrire : xyzuijk=++rrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de ur.
O m'(x ; 0 ; 0)M''(x ; y ; 0)m''(0 ; y ; 0)M'(x ; 0 ; z)m'''(0 ; 0 ; z)M(x ; y ; z)M'''(0 ; y ; z)
iry jr jr x ir krz kr kjirrrzyx++2) Propriétés : On considère un repère orthonormé (,,,)Oijkrrr de l'espace.
Propriétés : Soit ur (x ; y ; z) et vr (x' ; y' ; z'). · 0xyz0u=Û===rr ; · xx' y y' z z'uv=ì rr; · ur + vr a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ; z + z') ; · k ur a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).
Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB). · ABuuur a pour coordonnées (x B - xA ; yB - yA ; zB - zA). · Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ABABABxxyyzz;;IV) Equations d'objets de l'espace
1) Plans parallèles aux plans de base
Théorème : · Tout plan parallèle au plan (O,ir,jr) d'équation z = 0 a une équation du type z = z
0. · Tout plan parallèle au plan (O,jr,kr) d'équation x = 0 a une équation du type x = x
0. · Tout plan parallèle au plan (O,ir,kr) d'équation y = 0 a une équation du type y = y
0.2) Sphère centrée sur l'origine O
Théorème : la sphère de centre O et de rayon R a pour équation 2222xyzR++=. Vecteurs et repérage dans l'espace 3/3 3) CylindresThéorème : Le cylindre de révolution d'axe (O,kr), compris entre les plans d'équations z = a et z = b et dont les bases
sont des cercles de rayon R est défini analytiquement par le système 222azb xyR££Remarques :
On peut aussi s'intéresser au cylindre illimité dont l'équation est 222xyR+=. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cylindre analogues : · cylindre d'axe (O,ir) : 222yzR+= · cylindre d'axe (O,jr) : 222xzR+=.4) Cônes
Théorème : Le cône de révolution, de sommet O, d'axe (O,kr), de hauteur h et dont le cercle de base a pour rayon R est
défini par le système 2 2 220zhRxyzH
Remarques :
On peut s'intéresser à la surface illimitée d'équation 2 2 h donnant la tangente du demi-angle au sommet. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cône analogues :· cône d'axe (O,ir) : 2
222Ryzxh
222Rxzyh
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