Exercices congruences.pdf
Compléter la table de congruence suivante modulo 4. N. 0. 1. 2. 3. N² - 2N + 3. Exercice 3. 1) Montrer que pour tout n entier naturel est divisible par 6.
Cours darithmétique
3.5 Congruences modulo p . 5.3 Exercices de « Congruences » . ... Un élément d'un syst`eme complet de résidu modulo N est parfois appelé un résidu.
Sans titre
Divisibilité nombres premiers
Exercices darithmétique
— Donner la congruence modulo 18 de 1823242 puis celle de 2222321 modulo. 20. Exercice 20. — Montrer que n7 ? n mod 42. Page 3. 3.
Devoir n°2 - 2016 corrigé
Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas n désigne un entier naturel résoudre l'équation n2 - n ? 0 (modulo 6).
Chapitre 6 Arithmétique
Utiliser une congruence modulo 6. Exercice n?4. On écrit : x ? 7 mod 10. ??. (?k ?
Divisions dans Z en Terminale Générale option Maths Expertes
Exercice associé : déterminer les diviseurs de 28 et 36 dans N et dans Z Pour n'importe quel entier naturel n ? 2 la congruence modulo n est une ...
UNIVERSITÉ dORLÉANS SCL1 MA02 Département de
Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Modulo 6 on a : ... (On n'a pas besoin de calculer explicitement la puissance). Exercice 2 ...
RELATION BINAIRE
Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo. [ ]. Est une relation d'équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne
Exercices de mathématiques - Exo7
10. f n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ;. 11. f atteint toutes les valeurs de N; Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5.
51. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruencesrésumés de cours
exercices1Divisibilité, nombres
premiers, division euclidienne et congruencesDIVISIBILITÉ DANS Z
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a) lorsqu'il existe un entier k tel que bka= (a divise b se note alors a/b).Exemples
15 divise 45 puisque :
45 3 15=×.
48 est un multiple de 12 puisque :
48 4 12=×.
Propriétés
1. a/b a/b a/ b a/ b .2. Tout diviseur positif a de b (avec
b0) vérifie : 1ab.3. Tout entier positif (non nul) a un nombre fini de diviseurs.
Exemple
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 sont les diviseurs positifs de 60 (il en
possède douze).Propriétés
Si a/b et b/c alors a/c.
Si a/b et a/c alors a/ bu cv+ pour tous entiers u et v (et en parti- culier : a/b c+ et a/b c).Exemples
15 divise 30 et 30 divise 120 donc 15 divise 120.
12 divise 24 et 12 divise 60 donc 12 divise 228 (puisque
228 2 24 3 60=×+×
NOMBRES PREMIERS
Définition
Soit p un entier strictement positif. On dit que p est premier lorsqu'il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même (c'est-à-dire p).Exemples
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29 sont tous des nombres premiers (2 est le seul
nombre premier pair). Attention : l'entier 1 n'est pas un nombre premier !61. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
Définition
Un nombre strictement positif, différent de 1, qui n'est pas premier est dit composé.Théorème fondamental de l'Arithmétique
Tout nombre entier supérieur strictement à 1 admet au moins un diviseur premier.Propriétés
1. Tout nombre composé n admet un diviseur premier inférieur ou égal à
n.2. Si aucun des entiers compris entre 2 et
n ne divise n, alors n est premier.L'algorithme qui teste si un nombre est premier
L'algorithme ci-dessous permet de tester si un entier est premier. Il utilise la propriété précédente (propriété 2.).Propriété
Il y a une infinité de nombres premiers (Euclide (325-265 av. J.-C.)). Théorème de décomposition en facteurs premiers Tout entier n strictement supérieur à 2 se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers, c'est-à-dire que pour tout contrôlescorrigés71. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
résumés de cours exercices résumés de cours exercices n, il existe des nombres premiers 1 p, 2 p, ... r p et des entiers non nuls 1 k, 2 k, ... r k tels que12 rkk k12 r
n p p ...p=.Exemples
1. On a :
32360 2 3 5=××.
2. On a :
45 2952560 2 3 5 7=×××.
Remarques
1. Pour trouver la décomposition en facteurs premiers d'un entier, on
divise autant de fois qu'il est possible par 2, puis par 3, 5, 7, etc.2. L'instruction ifactor() (sous Xcas) permet d'obtenir la décomposition
en facteurs premiers d'un entier.Propriété
a divise b si et seulement si les facteurs premiers intervenant dans la décomposition de a interviennent dans la décomposition de b avec un exposant inférieur. Ainsi tous les diviseurs de l'entier12 rkk k12 r
n p p ...p= sont de la forme 12 r 12 r n p p ...p avec 11 0k , 220k , rr 0k .
Exemples
1. 260 2 3 5=×× divise
3239000 2 3 5=××.
2. 22252 2 3 7=×× divise
45 2952560 2 3 5 7=×××.
Propriété
Le nombre de diviseurs positifs de l'entier
12 rkk k12 r
n p p ...p= est égal au produit ()()()12 r k 1 k 1 ... k 1++ +.Exemple
260 2 3 5=×× possède
()()()211111 32212+++=××= diviseurs stric- tement positifs (c'est vrai, on l'a déjà vu, il s'agit de : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30, 60).
DIVISION EUCLIDIENNE
Définition (dans N)
Soient a et b deux entiers positifs
()b0. Il existe un unique entier q (quotient) positif et un unique entier r (reste) positif vérifiant abqr=+et0rb<. Effectuer la division euclidienne de a par b consiste à trouver
ces nombres q et r. q s'appelle le quotient et r le reste dans la division euclidienne de a par b.Exemple
La division euclidienne de :
a57= par b15= donne : 57 15 3 12=×+ (q3= et r12=).81. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
a 349= par b25= donne : 349 25 13 24=×+ (q13= et r24=).Remarque
L'instruction iquorem() (sous Xcas) permet d'avoir le quotient q et le reste r d'une division euclidienne.Propriété
Dans la division euclidienne
abqr=+, on a : aqEb= où E désigne la partie entière (" floor » sous Algobox) et rabq=.Algorithme de la division euclidienne
Voici l'algorithme de division euclidienne (dans N) de a par b :Définition (dans Z)
Soient a et b deux entiers relatifs
()b0. Il existe un unique entier q relatif et un unique entier r positif vérifiant : abqr=+et 0rb<.Exemples
La division euclidienne de :
a49= par b4= donne : 49 4 13 3=×+ (q13= et r3=). a28= par b3= donne : ()28 3 10 2=×+ (q10= et r2=). a34= par b5= donne : ()34 5 6 4=×+ (q6= et r4=).Propriété
b/a r 0= (dans la division euclidienne abqr=+). contrôlescorrigés91. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
résumés de cours exercices résumés de cours exercicesPropriétés
Parmi k entiers consécutifs, l'un est multiple de k. Plus précisément,1. L'un des 2 entiers (consécutifs) n ou
n1+ est divisible par 2.2. L'un des 3 entiers (consécutifs) n,
n1+, n2+ est divisible par 3.3. L'un des 4 entiers (consécutifs) n,
n1+, n2+, n3+ est divisible par4. Etc.
Propriétés
1. Tout entier n est nécessairement de la forme
2k ou 2k 1+, avec k
entier.2. Tout entier n est nécessairement de la forme
3k ou 3k 1+ ou 3k 2+,
avec k entier3. Tout entier n est nécessairement de la forme
4k ou 4k 1+ ou 4k 2+,
ou4k 3+, avec k entier. Etc.
CONGRUENCES
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier strictement positif. On dit que a est congru à b modulo n lorsque ab est un multiple de n (ou lorsque n divise ab).Notation
Lorsque a est congru à b modulo n, on écrit : abn.Exemples
512 car 51 est un multiple de 2.
16 1 3 car 16 1 est un multiple de 3.
De même
17 1 4,
60 0 4,
81 1 4,
15 0 5,
17 2 5,
25 1 6,
35 5 6,
27 6 7,
49 0 7 ,
73 3 7,
155 11 12,
etc.Propriété
Modulo n, a est toujours congru à son reste r dans la division euclidienne de a par n.Exemples
1.17 5 3 2=×+ donc :
17 2 5.
2.255 7 36 3=×+ donc :
255 3 7.
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