Devoir n°2 - 2016 corrigé PDF Exercice 4 : une équation en

Exercices congruences.pdf

Compléter la table de congruence suivante modulo 4. N. 0. 1. 2. 3. N² - 2N + 3. Exercice 3. 1) Montrer que pour tout n entier naturel est divisible par 6.

Cours darithmétique

3.5 Congruences modulo p . 5.3 Exercices de « Congruences » . ... Un élément d'un syst`eme complet de résidu modulo N est parfois appelé un résidu.

Exercices darithmétique

— Donner la congruence modulo 18 de 1823242 puis celle de 2222321 modulo. 20. Exercice 20. — Montrer que n7 ? n mod 42. Page 3. 3.

Devoir n°2 - 2016 corrigé

Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas n désigne un entier naturel résoudre l'équation n2 - n ? 0 (modulo 6).

Chapitre 6 Arithmétique

Utiliser une congruence modulo 6. Exercice n?4. On écrit : x ? 7 mod 10. ??. (?k ?

Divisions dans Z en Terminale Générale option Maths Expertes

Exercice associé : déterminer les diviseurs de 28 et 36 dans N et dans Z Pour n'importe quel entier naturel n ? 2 la congruence modulo n est une ...

UNIVERSITÉ dORLÉANS SCL1 MA02 Département de

Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Modulo 6 on a : ... (On n'a pas besoin de calculer explicitement la puissance). Exercice 2 ...

RELATION BINAIRE

Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo. [ ]. Est une relation d'équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne

Exercices de mathématiques - Exo7

10. f n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ;. 11. f atteint toutes les valeurs de N; Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5.

Devoir de spécialité 2 - page 1

Corrigé du devoir n°2 du 11 octobre 2016

1. Recherche du reste de la division euclidienne de 2n n

21 2 (5) on cherche le plus petit entier m 1, tel que 2m 1 (5)

22 22 4 (5) on multiplie chaque congruence par 2 successivement

23 24 3 (5)

24 23 1 (5) on trouve donc m 4

par conséquent 24 k 1k (5) cela permet de passer aux puissances

24k 1 (5)

24k+1 22 2 (5) on multiplie chaque congruence par 2 successivement

24k+2 24 4 (5)

24k+3 23 3 (5)

si n 4k alors 2n 1 (5) si n 4k 1 alors 2n 21 2 (5) si n 4k 2 alors 2n 22 4 (5) si n 4k 3 alors 2n 24 3 (5)

2. En déduire le reste de la division de (2017)2017 par 5.

Il faut réduire 2017 modulo 5

Comme 2014 4035 2 alors 2017 2 (5)

On transforme, (2017)2017 22017 (modulo 5) (logique avec le 1.) or 2017 = 4504 1 4k 1 donc 22017 2 1. le reste dans la division par 5 de (2017)2017 est 2

22017 245041 (24)5042 15042 2 (modulo 5)

n désigne un entier relatif et A n5 n. Démontrer que A est divisible par 5.

On utilise une disjonction des cas :

Rappel du principe de la méthode

n 5k r avec 0 r 5 Ainsi pour tout entier naturel n, n r (modulo 5) avec r{0, 1, 2, 3, 4}

dans le tableau ci-dessous, pour les lignes 1 et 3, figurent les restes dans la division par 5 des nombres écrits dans la

première colonne : n 0 1 2 3 4 n5 n 0 0 30 240 1020 n5 n 0 0 0 0 0 Conclusion, il reste toujours 0 dans la division de n5 n par 5. donc pour tout nO, n5 n est divisible par 5

Il faut au moins la .

Devoir de spécialité 2 - page 2

Pour tout n O,

un 44n+2 3n+3 anap an+p et (an)p anp un 44 n42 3n33 il faut justifier les congruences un 256n16 273n 256 2311 3 donc 256 3 (modulo 11) donc un 3n5 53n (11) 16 111 5 donc 16 5 (modulo 11) soit un 0 (11) 27 211 5 donc 27 5 (modulo 11) donc un est divisible par 11 car le reste dans la division par 11 vaut 0 conclusion Pour tout entier naturel n, 44n+2 3n+3 est divisible par 11 n n2 n 0 (modulo 6). reste de la division de n par 6 0 1 2 3 4 5 n est congru modulo 6 à 0 1 2 3 4 5 n2 est congru modulo 6 à 0 1 4 9 16 25 n2 n est congru modulo 6 à 0 0 2 6 12 20 reste de n2 n divisé par 6 0 0 2 0 0 2

n2 n 0 (modulo 6) n 6k ou n 6k 1 ou n 6k 3 ou n 6k où k désigne un entier relatif

1. a.

3 3 (7) donc 32 9 2 (7) donc 33 6 (7) donc 34 18 4 (7)

donc 35 12 5 (7) donc 36 15 1 (7) (on multiplie chaque congruence par 3) Pour 1 n 6 , les restes de la division euclidienne de 3n par 7 sont : n 1 2 3 4 5 6 reste 3 2 6 4 5 1

On retient surtout que 36 1 (modulo 7)

b. nO, vn 3n6 3n 3n36 3n donc vn 3n1 3n 0 (modulo 7) pour tout nO, 3n6 3n est divisible par 7 .

3n6 3n 0 (7) 3n6 3n (7)

3n6 et 3n ont même reste dans la division par 7 ( définition des congruences)

La première question est inutile : 3n6 3n36 3n1 3n (modulo 7) directement. c. 1000 1666 4 donc 31000 31666 4 31666 34 36 16634
donc 31000 116634 (7) donc 31000 4 (7) le reste de la division euclidienne de 31000 par 7 est 4 La question b. ne sert à rien si on a compris " la chasse au 1 ». grand nombre possible de 6 à 1000, e division euclidienne.

Devoir de spécialité 2 - page 3

d. Pour calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque, il suffit de déterminer le reste dans la

division par 6 de n puis de lire la réponse dans le tableau du 1.a. (6 correspond au reste 0) e. :

36k 1 (7) n 6k n 0 (6) le reste de n dans la division par 6 est 0

36k+1 3 (7)

36k+2 9 2 (7)

36k+3 6 (7)

36k+4 18 4 (7)

36k+5 12 5 (7)

reste de n dans la division euclidienne par 7 0 1 2 3 4 5 reste de 3n dans la division euclidienne par 7 1 3 2 6 4 5 On sait que 3n et 7 sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.

Or les seuls diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7.

Or 7 divise 3n 3n 0 (modulo 7)

Conclusion : pour tout entier naturel n, 3n est premier avec 7 .

2. Soit un 1 3 32 ¸quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Devoir n°2 - 2016 corrigé Exercice 4 : une équation en