Chapitre 6 Arithmétique PDF Utiliser une congruence modulo 6.

Exercices congruences.pdf

Compléter la table de congruence suivante modulo 4. N. 0. 1. 2. 3. N² - 2N + 3. Exercice 3. 1) Montrer que pour tout n entier naturel est divisible par 6.

Cours darithmétique

3.5 Congruences modulo p . 5.3 Exercices de « Congruences » . ... Un élément d'un syst`eme complet de résidu modulo N est parfois appelé un résidu.

Sans titre

Divisibilité nombres premiers

Exercices darithmétique

— Donner la congruence modulo 18 de 1823242 puis celle de 2222321 modulo. 20. Exercice 20. — Montrer que n7 ? n mod 42. Page 3. 3.

Devoir n°2 - 2016 corrigé

Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas n désigne un entier naturel résoudre l'équation n2 - n ? 0 (modulo 6).

Chapitre 6 Arithmétique

Utiliser une congruence modulo 6. Exercice n?4. On écrit : x ? 7 mod 10. ??. (?k ?

Divisions dans Z en Terminale Générale option Maths Expertes

Exercice associé : déterminer les diviseurs de 28 et 36 dans N et dans Z Pour n'importe quel entier naturel n ? 2 la congruence modulo n est une ...

UNIVERSITÉ dORLÉANS SCL1 MA02 Département de

Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Modulo 6 on a : ... (On n'a pas besoin de calculer explicitement la puissance). Exercice 2 ...

RELATION BINAIRE

Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo. [ ]. Est une relation d'équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne

Exercices de mathématiques - Exo7

10. f n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ;. 11. f atteint toutes les valeurs de N; Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5.

Chapitre6

Arithmetique

1.Divisibilite

1.1.Entiersnaturels

OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.

demonstrations. n'appartienneaB.Alors elementdeB. raisonnementparrecurrence. suiteinniestrictementdecroissante). pluspetitelement.

1.2.Entiersrelatifs

pourl'additionetlamultiplication.

Addition

(m+n)+p=m+(n+p): m+n=n+m:

0+m=m+0=m:

que m+n=n+m=0:

Divisibilite

Multiplication

(mn)p=m(np): mn=nm:

1m=m1=m:

m(n+p)=mn+mp(n+p)m=nm+pm: exemplesplusloin,aproposdescongruences. lacaracterise. a=bq+ravec0r7estleresteet18lequotient. entiersnaturels.

0appartientaAcar0 doncn+1appartientaA. (q;r)estdenidemaniereunique. {66{
ARITHMETIQUE
a=bq1+r1avec0r1Sir1=0,alorsa=b(q1)convient.Sinon,ona

a=b(q1)r1=b(1q1)+(br1) denidemaniereunique. parb. 1)(re exivite)Quelquesoitl'entiernaturela, aja: (ajbetbja)=)a=b: (ajbetbjc)=)ajc: pasunordretotal. unnombrenidediviseurs. c6=0). {67{

Congruences

2.Congruences

Exemple-122(mod5):

1)re exiviteQuelquesoitl'entierrelatifa, aa(modn): ab(modn)()ba(modn): (ab(modn)etbc(modn))=)ac(modn):

Lavericationdelare

C'estunerelationd'equivalencesurA.

aquiestmoinsprecise(carellenefait lignegureuneclassedecongruence.

0=f:::-15-10-5051015:::g

1=f:::-14-9-4161116:::g

2=f:::-13-8-3271217:::g

3=f:::-12-7-2381318:::g

4=f:::-11-6-1491419:::g

Surlatroisiemeligne,ona

uneillustrationdelapropositionsuivante.

0,1,:::,n1.

classesdecongruence aestegaleal'unedes classes

0,1,:::,n1.

decongruencemodulonestnoteZ=nZ. {68{

ARITHMETIQUE

2.2.Operationssurlescongruences

cd(modn).Alors ab(modn); a+cb+d(modn); acbd(modn): sontmodulo7):

4!35!3516!5!66;

d'ou

1!+2!+3!+4!+5!+6!1+2+6+3+1+65;

a=betc=d, alors a+b=c+d.Onpeutdoncposer a+c=a+c pose

3=8.Dressonslestablesd'addition

etdemultiplicationdansZ=5Z. 01234

001234

112340

223401

334012

440123

01234

000000

101234

202413

303142

404321

exemple ab=ab=ba=ba 0 ettouteclasse elementneutre commutatif. 4 multiplicationdesclassesdecongruence ab=aceta6=0n'entra^nentpastoujoursb=c:

Parexemple

91=95et96=0,mais16=5dansZ=12Z.

{69{

Ensemblesfinisoudenombrables

4 !Dem^eme,si Z=6Z: ensemblequin'estpasniestditinni. ledessinci-dessous: u0u2u5u9u 1u 3u 6 u 4u8u 7 decequiprecedequeZetQsontdenombrables. plusqueR

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

Exercicen2

Exercicen3

{70{

ARITHMETIQUE

Exercicen4

ResoudredansZlesystemesuivant

(x7mod10 x2mod15

Exercicen5

1)CalculerlescarresdeselementsdeZ=5Z.

2)Resoudre,dansZ=5Z,l'equationx2+2y2=0.

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen1

Exercicen2

n2mod3:Etudierchacundecescas.

Exercicen3

Utiliserunecongruencemodulo6.

Exercicen4

x2mod15()7+10k2mod15()10k5mod15 ()2k1mod3()2k2mod3 ()k1mod3enmultipliantpar 2. x17mod30:

Exercicen5

1)x22f0;1;4g

{71{quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Chapitre6

Arithmetique

1.Divisibilite

1.1.Entiersnaturels

OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.

1.2.Entiersrelatifs

Addition

0+m=m+0=m:

Divisibilite

Multiplication

1m=m1=m:

0appartientaAcar0 doncn+1appartientaA. (q;r)estdenidemaniereunique. {66{ ARITHMETIQUE a=bq1+r1avec0r1Sir1=0,alorsa=b(q1)convient.Sinon,ona

ARITHMETIQUE

Congruences

2.Congruences

Exemple-122(mod5):

Lavericationdelare

C'estunerelationd'equivalencesurA.

0=f:::-15-10-5051015:::g

1=f:::-14-9-4161116:::g

2=f:::-13-8-3271217:::g

3=f:::-12-7-2381318:::g

4=f:::-11-6-1491419:::g

Surlatroisiemeligne,ona

0,1,:::,n1.

0,1,:::,n1.

ARITHMETIQUE

2.2.Operationssurlescongruences

4!35!3516!5!66;

1!+2!+3!+4!+5!+6!1+2+6+3+1+65;

3=8.Dressonslestablesd'addition

001234

112340

223401

334012

440123

000000

101234

202413

303142

404321

Parexemple

91=95et96=0,mais16=5dansZ=12Z.

Ensemblesfinisoudenombrables

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

Exercicen2

Exercicen3

ARITHMETIQUE

Exercicen4

ResoudredansZlesystemesuivant

Exercicen5

1)CalculerlescarresdeselementsdeZ=5Z.

2)Resoudre,dansZ=5Z,l'equationx2+2y2=0.

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen1

Exercicen2

Exercicen3

Utiliserunecongruencemodulo6.

Exercicen4

Exercicen5

1)x22f0;1;4g

0appartientaAcar0 doncn+1appartientaA. (q;r)estdenidemaniereunique. {66{
ARITHMETIQUE
a=bq1+r1avec0r1Sir1=0,alorsa=b(q1)convient.Sinon,ona