Chapitre1 : Fonctions convexes
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre1 : Fonctions convexes. I Préliminaires. A) Notations. P désigne le plan muni d'un repère (O?i
Fonctions convexes
Maths PCSI. Résumé de cours. Fonctions convexes. Table des mati`eres. 1 Propriétés des fonctions convexes. 2. 1.1 Définition des fonctions convexes .
Cours 15 : 18/11/2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou
18 nov. 2013 Cours 15 : 18/11/2013. Chapitre 21 : Fonctions convexes ou concaves de deux variables. 1. Définitions pour les fonctions de classe C1.
Fonctions convexes 1 Dimension 1
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (
Notes de cours - Préparation `a lagrégation Convexité et applications
3.4 Régularité des fonctions convexes . Ce cours rédigé pour des étudiants préparant l'agrégation de mathématiques
CONVEXITÉ
I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E. Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Fonctions convexes
Definition. Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite convexe si {(xf (x)) ? R2/x ? I} est une partie convexe. f est dite.
Mathématiques Intégration sur un intervalle Convexité fonctions
27 sept. 2021 Intégrales convergentes d'une fonction continue par morceaux (sur les différents ... Fonctions convexes sur un intervalle de R : définition.
Synthèse de cours PanaMaths ? Fonctions dérivables convexes
? Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalle donné c'est déterminer si la fonction considérée est convexe ou concave sur l'intervalle considéré.
FONCTIONS CONVEXES - Université de Sherbrooke
Les fonctions a?nes de IRn sont bien sûr convexes (elles sont aussi concaves) Comme on le véri?era plus loin les fonctions quadratiques convexes de IRn sont celles qui sont associées à une matrice semi-dé?nie positive Dans IR des exemples courants de fonctions convexes sont : f(x) = x2 f(x) = ex f(x) = ?logx sur x > 0 f(x
Fonctions convexes : Définition et premières propriétés
II FONCTIONS CONVEXES CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Géométriquement cela signifie que l’image des barycentres de deux points par une fonction a?ine est le barycentre des images de ces deux points affectés des mêmes coe?icients a a1 = g(a) Ò x=a+t(b´a) x1 = g(x) b b1 = g(b) Courbe représentative de g Sur cet exemple : On a x
Cours de mathématiques - prepa-carnotfr
— étudier les fonctions convexes d’une variable réelle Le cours gagne à être illustré par de nombreuses ?gures La notion de barycentre est introduite exclusivement en vue de l’étude de la convexité CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES a) Parties convexes d’un espace vectoriel réel
CONVEXITÉ - maths et tiques
I Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - univ-toulousefr
Exercice 2 (Fonctions convexes et fonctions af?nes) Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions af?nes dé?nies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: I!R est convexe si et seulement si pour tout x2I on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen
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Les propri´et´es principales des fonctions convexes (tant sur le plan pratique que th´eorique) r´esident dans des in´egalit´es entre des pentes Notation : Si x0 ?I px0 d´esigne la fonction d´e?nie sur I{x0}par : ?x?I{x0} px 0 (x) = f(x) ?f(x0) x? 0 · (“fonction pente issue de x0”)
Quels sont les propriétés des fonctions convexes ?
Nous allons étudier maintenant quelques propriétés des fonctions convexes. Une application est convexe sur si et seulement si pour tous points et de sa courbe représentative, l’arc est en-dessous de la corde . Il n’y a pas vraiment de démonstration à faire ici.
Quels sont les avantages des fonctions convexes?
Les fonctions convexes possèdent d'intéressantes propriétés de continuité et de dérivabilité. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité, et d'apporter des facilités pour la recherche d' extrema.
Comment définir une fonction convexe ?
Soient f une fonction convexe, (x1, … , xn) un n -uplet de réels appartenant à l'intervalle de définition de f et (?1, … , ?n) un n -uplet de réels positifs tels que
Qu'est-ce que les fonctions convexes ?
FONCTIONS CONVEXES 3.1 Notations et dé?nitions préliminaires L’étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l’intérieur de leur domaine de dé?nition et qu’elles sont presque partout di?érentiables.
Synthèse de cours PanaMaths
Fonctions dérivables convexes
PanaMaths [1-7] Juillet 2012
Définitions et exemples fondamentaux
Définitions
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et dérivable sur un intervalle I non réduit
à un point.
Soit C sa courbe représentative dans un repère tel que l'axe des ordonnées est orienté du bas
vers le haut. La fonction f est dite " convexe sur l'intervalle I » (respectivement " concave sur l'intervalle I ») si pour tout point M de C, la courbe représentative C de la fonction f est située au-dessus (respectivement en dessous) de la tangente passant par M.Cas d'une fonction convexe :
www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [2-7] Juillet 2012
Cas d'une fonction concave
Remarques :
Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalle donné c'est déterminer si la fonctionconsidérée est convexe ou concave sur l'intervalle considéré. Dans la mesure où elle peut
n'être ni convexe, ni concave, on pourra être amené à préciser des sous-intervalles de
l'intervalle considéré sur lesquels la fonction est convexe ou concave. Par exemple, en étudiant la convexité de la fonction 3 xx sur , on conclut que celle-ci est : concave sur convexe sur Les seules fonctions à la fois convexes et concaves sur un intervalle donné sont les fonctions affines. www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [3-7] Juillet 2012
Quelques exemples fondamentaux
Fonctions convexes
Toute fonction de la forme
n xx où n est un entier naturel non nul est convexe sur l'intervalle (et même sur lorsque n est pair).La fonction inverse est convexe sur l'intervalle
. Plus généralement, toute fonction de la forme 1 n x x où n est un entier naturel non nul est convexe sur l'intervalleLa fonction exponentielle est convexe sur .
Fonctions concaves
La fonction racine carrée est concave sur l'intervalleLa fonction inverse est concave sur l'intervalle
La fonction logarithme népérien est concave sur l'intervalleRemarque : ce qui précède n'est pas à apprendre par coeur ! La connaissance des fonctions de
référence, en particulier la forme de leurs courbes représentatives doit permettre de retrouver
rapidement leur convexité sur tel ou tel intervalle.Deux cas particuliers
Avec la fonction exponentielle
L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au
point d'abscisse 0 est :1yx. La fonction exponentielle étant convexe sur , on en déduit
l'inégalité fondamentale : ,1 x xex . Mais comme 1xx, on a : x xexAvec la fonction logarithme népérien
L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien
au point d'abscisse 1 est :1yx. La fonction logarithme népérien étant concave sur
on en déduit l'inégalité fondamentale : ,ln 1xxx ,lnxxx www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [4-7] Juillet 2012
Interprétation graphique
Dans un repère dont l'axe des ordonnées est orienté vers le haut, la courbe représentative de la
fonction exponentielle est située au-dessus de la courbe représentative de la fonction identité (
xx), elle-même située au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien : Caractérisations à l'aide de la dérivéeThéorème
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et dérivable sur un intervalle I non réduit
à un point.
La fonction f est convexe (respectivement concave) sur l'intervalle I si, et seulement si, la fonction 'f est croissante (respectivement décroissante) sur I. www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [5-7] Juillet 2012
Cas où la fonction est deux fois dérivable
Définition
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et dérivable sur un intervalle I non réduit
à un point.
On dit que " la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle I » si la fonction dérivée 'f
est dérivable sur I. Lorsqu'elle existe, la fonction dérivée de la fonction 'f est notée " ''f » ou " 2 f ».Théorème
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur un intervalle I
non réduit à un point. La fonction f est convexe (respectivement concave) sur l'intervalle I si, et seulement si, la fonction ''f est positive (respectivement négative) sur I.Point d'inflexion
Définition
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et dérivable sur un intervalle I non réduit
à un point.
Soit C sa courbe représentative dans un repère. On dit que " la fonction f admet un point d'inflexion en un point M de C » si la courbe C traverse sa tangente en M. Remarque : la convexité de la fonction s'inverse au " passage par ce point » (cf. la courbe ci-après). www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [6-7] Juillet 2012
Sur cet exemple, la fonction f est concave à gauche de M et convexe à droite.Exemple fondamental
La fonction
3 xx admet un point d'inflexion à l'origine.Elle est concave sur
et convexe sur Caractérisations à l'aide de la dérivéeThéorème
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et dérivable sur un intervalle I non réduit
à un point.
La fonction f admet un point d'inflexion en
M;afa si, et seulement si, la fonction
dérivée 'f de la fonction f admet un extremum pour xa. www.panamaths.netFonctions dérivables convexes
PanaMaths [7-7] Juillet 2012
Cas d'une fonction deux fois dérivable
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur un intervalle I
non réduit à un point.La fonction f admet un point d'inflexion en
M;afa si, et seulement si, la fonction
dérivée seconde ''f de la fonction f s'annule en changeant de signe pour xa.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] dérivabilité d'une fonction exercices corrigés
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