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Notes de cours - Preparation a l'agregation

Convexite et applications

ENS RennesRozenn Texier-Picard

Contents

1 Introduction3

2 Parties convexes d'un espace vectoriel 4

2.1 Denitions et le theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.2 Theoreme fondamental de la geometrie ane * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.2 Le theoreme de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.3 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Jauge d'un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.1 Denition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4 Projection sur un convexe ferme, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.1 Dimension nie, norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.2 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4.3 Le cas de la dimension innie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.4 Application 1 : optimisation sous contrainte convexe . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.5 Application 2 : de Brouwer a Schauder * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.6 Application 3 : le theoreme de Stampacchia * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5 Hyperplans d'appui et theoremes de separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5.1 Hyperplan d'appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.2 Theoremes de separation : le cas de la dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5.3 Theoreme de separation : cas des evn* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5.4 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.5.5 Applications * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.6 Points extr^emaux et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6.1 Points extr^emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6.2 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
ENS Rennes, av. Robert Schuman, F-35170 Bruz, France ; rozenn.texier@ens-rennes.fr 1

3 Fonctions convexes36

3.1 Denitions et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.1 Dierentes notions de convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.2 Critere de l'epigraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.4 Critere des pentes croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1.5 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2 Caracterisations dans le cas dierentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.1 Caracterisation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.2 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.3 Nouveaux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3 Inegalites de convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.1 Inegalites discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.2 Inegalite de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.4 Regularite des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.4.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.4.3 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.4.4 Dierentiabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
2

1 Introduction

Ce cours, redige pour des etudiants preparant l'agregation de mathematiques, a pour objet d'aborder de

facon transversale les resultats fondamentaux lies a la notion de convexite en mathematiques. Il reste le

plus souvent a un niveau elementaire, et tente de faire le lien entre des resultats de nature geometrique et

d'autres de nature analytique m^eme si, par commodite, il est presente en deux parties separees. De plus,

les notions sont autant que possible illustrees par des exemples et des applications, de diculte variable.

De m^eme, des exercices de type vrai ou faux ? permettent de se poser beaucoup de petites questions qui

souvent ne gurent pas dans les livres. Si l'intuition geometrique permet souvent d'y repondre, celle-ci

trouve vite ses limites en dimension innie... De nombreux ouvrages de geometrie enoncent la plupart des resultats presentes ici, en se limitant

le plus souvent a la dimension nie (voir la bibliographie). Lorsque c'est abordable et interessant, nous

nous poserons la question de la generalisation a la dimension innie, qui a souvent des applications remarquables en analyse fonctionnelle.

Les resultats enonces dans ce cours pourront ^etre presentes a l'oral de l'agregation, soit dans des lecons

speciquement concernees par la convexite, soit dans beaucoup d'autres lecons d'algebre et geometrie

(formes lineaires et hyperplans, applications anes, angles et distances...) ou d'analyse (applications

dierentiables, problemes d'extr^emums, continuite et dierentiabilite, suites et series de fonctions...)

Dans cette optique, la plupart des resultats interessants sont accompagnes de references bibliographiques

permettant de retrouver les preuves. Rappelons que la notion de convexite est tres souvent un cadre ideal pour les problemes de minimi-

sation ; elle a donc une grande importance dans de nombreuses applications, de la physique a l'economie,

en passant par a peu pres toutes les sciences. Les paragraphes les plus diciles sont signales par une asterisque. Ils peuvent ^etre omis lors d'une premiere lecture.

Pour signaler une erreur, proposer un autre resultat ou une reference, ou pour toute question, on peut

contacter l'auteur a l'adresse :rozenn.texier@ens-rennes.fr 3

2 Parties convexes d'un espace vectoriel

Dans toute cette partie,Esera un espace vectoriel reel, de dimension nie ou innie. On pourra, lorsque

c'est necessaire, munirEd'une topologie (on se limitera essentiellement a des topologies metriques)

compatible avec la structure d'espace vectoriel, c'est-a-dire rendant la translation et les homotheties

continues.

2.1 Denitions et le theoreme fondamental

2.1.1 DenitionDenition 2.1.1. Partie convexe

SoitCE. AlorsCest convexe si

8x;y2C;8t2]0;1[;tx+ (1t)y2C:

Remarque : la denition s'etend de facon evidente au cas ou l'espaceEest ane. Pour simplier les

notations, et parce que la plupart des applications concerneront des espaces vectoriels, on se restreint a

ce cadre.

Exemples faciles :

un sous-espace ane est convexe, le simplexe deRk: k=n x2(R+)k;Pk i=1xi= 1o les intervalles deRsont convexes ; reciproquement, on verie aisement que tout convexe deRest un intervalle.Proposition 2.1.2. Premieres proprietes Les proprietes ci-dessous se verient a partir de la denition. Une intersection quelconque de convexes est convexe. Le produit cartesien de deux convexesAEetBFest un convexe de l'espace produit EF. La somme de Minkowski de deux convexes est convexe.Denition 2.1.3. Somme de Minkowski SoientAetBdeux parties deE. On denit leur somme de Minkowski, noteeA+B, par la relation

A+B=fa+b;a2A;b2Bg:

Cette notation sera souvent reprise dans la suite du cours. Elle ne doit bien s^ur pas ^etre confondue avec

la reunion deAetB. 4

Exemple 2.1.4Somme de Minkowski

siB=fbgest un singleton, alorsA+Bn'est autre que l'image deApar la translation de vecteurb. siB=B(0;r)est une boule ouverte, alorsA+Bcorrespond au convexeA\epaissi" avec une epaisseur r.

2.1.2 Theoreme fondamental de la geometrie ane *Theoreme 2.1.5. Theoreme fondamental de la geometrie ane

SoitEun espace ane de dimension nieN2ou de dimension innie. Alors on a les resultats suivants : i toute bijection de EdansEqui envoie un convexe sur un convexe est une bijection ane ; ii toute bijection d eEdansEqui envoie trois points alignes sur trois points alignes est une bijection ane.Remarque 2.1.6

Ce resultat est clairement faux en dimension 1 puisque toute application continue envoie un convexe sur un

convexe, d'apres le theoreme des valeurs intermediaires. La preuve de ce theoreme est trop longue pour constituer un developpement. Pour des references, voir

Berger T.1 p. 77, ou Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, exercice 6 p. 183 et Algebre, exercice 7

p. 201. On se contente ici de montrer que la deuxieme armation implique la premiere. En eet, soitfune bijection veriant les hypotheses du point 1, et soitg=f1. On va montrer quegenvoie trois points alignes sur trois points alignes. Pour cela, il sut de montrer que

8x;y;z2E;z2[x;y])g(z)2[g(x);g(y)]:

D'apres notre hypothese, puisque le segment [g(x);g(y)] est convexe, son image parfl'est. Or cette image contientx=f(g(x)) ety=f(g(y)) donc elle doit contenir le segment [x;y]. En particulier, elle contient le pointz. De plus,z=f(g(z)) etfest bijective. Il en decoule queg(z)2[g(x);g(y)]. En admettant la propriete ii, on en deduit quegest ane, et doncfegalement. 5

2.2 Enveloppe convexe

2.2.1 DenitionsDenition 2.2.1. Enveloppe convexe

SoitSE, on appelle enveloppe convexe deS, et on noteco(S), l'intersection de tous les convexes contenantS. SiEest muni d'une topologie metrique, on appelle enveloppe convexe fermee deS, noteeco(S), l'intersection de tous les convexes fermes contenantS. Une intersection de convexes etant convexe, il appara^t queco(S) est egalement le plus petit convexe contenantS.Proposition 2.2.2. Enveloppe convexe fermee On a la relation :co(S) = co(S), i.e. l'enveloppe convexe fermee est la fermeture de l'enveloppe

convexe.Preuve : exercice. Il faut demontrer au prealable que la fermeture d'un convexe est encore convexe.

Denition 2.2.3. Combinaison convexe

Soitk2Net soientx1;::;xkdes points deE. On appellecombinaison convexedex1;:::;xktout barycentre a coecients positifs des pointsx1;:::;xk, i.e. tout pointxtel que

9(t1;:::;tk)2k; x=kX

i=1t ixi:

Remarquons qu'une combinaison convexe est toujours une combinaisonniede points deE.Proposition 2.2.4. Enveloppe convexe

SoitSE. Alors l'enveloppe convexe deSest l'ensemble descombinaisons convexesde points deS, i.e. co(S) =( x2E;9k2N;92k;9(x1;;xk)2Sk;x=kX i=1 ixi) :Preuve : on note, pourk2N, C k=( x2E;92k;9(x1;;xk)2Sk;x=kX i=1 ixi) et on poseC=[k2NCk. On montre alors les points suivants :

Cest convexe (a partir de la denition),

6

S=C1C,

SoitKun convexe contenantS. AlorsKcontientC1. Par recurrence surk, on montre queK contient tous lesCk;k1. Ainsi,KcontientC. Le theoreme de Caratheodory montre qu'en dimension nieN, on peut se limiter a des combinaisons convexes aN+ 1 points deSpour denir son enveloppe convexe. Citons au prealable un exemple classique, dont la preuve se trouve par exemple dans [11].

Exemple 2.2.5Theoreme de Gauss-Lucas

SoitPun polyn^ome non constant a coecients complexes. Alors les racines deP0sont dans l'enveloppe convexe des racines deP.

Preuve : On noteP(X) =Qd

i=1(Xi)mi:On a alors P

0(X)P(X)=dX

i=1m iXi:(1) Soitzune racine deP0. On veut montrer qu'elle est dans l'enveloppe convexe desi. SiP(z) = 0, c'est clair. Supposons donc le contraire et ecrivons l'egalite (1) au pointz. On obtient : 0 = dX i=1m izi soit nalement 0 =dX i=1m i(zi)jzij2:(2)

Notons

t i=mijzij2>0; T=X it i; i=tiT Par passage au conjugue dans l'egalite (2) il vient 0 = X it i(zi) soit encore : z=dX i=1 ii; ce qui termine la preuve.

2.2.2 Le theoreme de Caratheodory

C'est un theoreme classique sur la convexite, a conna^tre et a mediter ! La preuve se trouve par exemple

dans [3, 7, 11]. 7

Theoreme 2.2.6. Caratheodory

SoitSRN, alors tout point deco(S)est combinaison convexe deN+ 1points deS, i.e. co(S) =( x2E;92N+1;9(x1;;xN+1)2SN+1;x=N+1X i=1 ixi) =CN+1:Preuve : il sut de montrer l'inclusionco(S)CN+1. Soit doncx2co(S) et soitk1,2k, tels quex=Pk i=1ixi. SikN+ 1, alors on a bienx2CN+1. Supposons maintenantk > N+ 1, et

1;:::;k>0.

Puisquex1;:::;xksont dans un espace ane de dimensionN, etk > N+ 1, alors les points sont anement dependants, i.e. les vecteursx2x1;:::;xkx1sont lineairement dependants. Ainsi, il existe

2;:::;knon tous nuls tels que

kX i=2 i(xix1) = 0:

En posant1=Pk

i=1i, on a kX i=1 ixi= 0;kX i=1 i= 0: De cette propriete, on deduit quexpeut se reecrire comme combinaison desxisous la forme x=kX i=1(iti)xi;aveckX i=1(iti) = 1;8t2R: L'idee est maintenant de jouer sur le nombretpour que lesitisoient tous positifs ou nuls, et que l'un d'eux soit nul. Ainsi, on se sera ramene a une combinaison convexe ak1elements. Necessairement l'un desiau moins est strictement positif. Notons alors t= mini i;i= 1;:::;k;i>0 et0i=iti. Alors par construction, (01;:::;0k)2k, et l'un des coecients0iest nul (celui qui realise le minimum) denissantt. On verie alors quexest combinaison convexe dek1 elements de

S. En eet, on a

x=kX i=1 0ixi: On peut reiterer ce procede tant que la famille (x1;:::;xk) est anement dependante, donc tant que

k > N+ 1. On se ramene donc nalement a une combinaison convexe deN+ 1 points deS.Corollaire 2.2.7. Enveloppe convexe d'un compact

SoitSun compact deRN. Alors son enveloppe convexe est compacte.Preuve : il sut de verier que l'application, denie sur le compact N+1SN+1par

N+1SN+1!co(S)(1;:::;N+1;x1;:::;xN+1)7!P

iixi est surjective et continue. 8

Remarque 2.2.8

Attention, en dimension innie, l'enveloppe convexe d'un compact n'est pas necessairement fermee, donc a

fortiori pas compacte ! Prenons par exemple un espace de HilbertHmuni d'une base hilbertienne(en;n2N).

On pose pour toutn0; fn=enn+1. SoitKle compact deni par

K=ffn;n2Ng [ f0g:

(C'est bien un compact puisqu'il est forme des termes d'une suite(fn)convergente et de sa limite 0.) On

denit maintenant une suite(vn)n1dansco(K)en posant v 1=f12 ; v2=f12 +f24 ; v3=f12 +f24 +f38 et plus generalement, v n=nX i=1f i2 i:

Alors la suite(vn)converge dansHvers la limite

v=1X i=1f i2 i: Orvn'est pas combinaison convexe de points deK, sinon il serait combinaison d'un nombrenidefk, ce

qui contredit l'unicite de la decomposition sur la base hilbertienne(ek;k2N). On a donc montre queco(K)

n'est pas fermee. On peut montrer en revanche que l'enveloppe convexe fermee d'un compact est compacte, voir [9].

2.2.3 Vrai ou faux ?

Voici a titre d'exercices une liste de questions plus ou moins naturelles, qui peuvent aider a prendre du

recul par rapport aux notions abordees jusqu'a present. i VRAI OU F AUX? CEest convexe si et seulement si la demi-somme de deux points deCest toujours dansC. ii VRAI OU F AUX? Si Cest un convexe deEmetrique, alors l'interieur et l'adherence deCsont convexes egalement. iii VRAI OU F AUX? Soit SRN. Alors tout point deco(S) est combinaison convexe de deux elements deS. iv VRAI OU F AUX? L'en veloppecon vexed'un ferm ede RNest fermee. v

VRAI OU F AUX? S oitSRN. Alors co(S) =co(S).

vi VRAI OU F AUX? Soit CRNun convexe d'interieur vide. AlorsCest inclus dans un hyperplan ane deRN. vii VRAI OU F AUX? T outcon vexeferm eb ornede RNest homeomorphe a la boule unite deRN. 9

Et voici les reponses.

i F AUX.P arexemple Qn'est pas convexe dansR. Par contre, le resultat est vrai si on impose de plus queCest ferme. La preuve utilise la densite des rationnels diadiques dans [0;1]. ii VRAI. S'appuy ersur des dessins p ourles d emonstrations,qui son t elementaires. iii F AUX,sauf p ourN= 1 (c'est alors exactement le theoreme de Caratheodory). Par exemple si N2, et siSest forme de trois points non alignes, les combinaisons convexes de deux elements donnent seulement les bords du triangle. iv F AUX.Con tre-exempledans R2:S=f(0;0)g [(R1),co(S) =f(0;0)g [(R]0;1]). Par contre, le resultat est vrai si on ajoute l'hypotheseSborne, d'apres le corollaire 2.2.7. v F AUX,le m ^emecon tre-exempleque ci-dessus con vient.P arcon tre,c'est vrai en dimension nie si on rajoute l'hypothese :Sborne. En eet,Sest alors compact et on peut utiliser le corollaire

2.2.7. Remarquons que m^eme siSest compact c'est faux en dimension innie, cf remarque 2.2.8.

vi VRAI. Il sut de mon trerla con traposee, asa voir: p ourtous p ointsx1;:::;xN+1anement independants deRN,co(x1;:::;xN+1) est d'interieur non vide. Cela se montre par recurrence sur N1. C'est clair pourN= 1. Supposons la propriete demontree pourNpoints deRN1, et consideronsN+ 1 points anement independants deRN. Les pointsx1;:::;xNengendrent un sous-espace ane de dimensionN1 donc leur enveloppe convexe contient une boule ouverte de dimensionN1. Ainsico(x1;:::;xN+1) contient le c^one de sommetxN+1et de base cette boule.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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