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Maths PCSI R´esum´e de coursFonctions convexesTable des mati`eres1 Propri´et´es des fonctions convexes2

1.1 D´efinition des fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 In´egalit´es de pentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 R´egularit´e des fonctions convexes (±HP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Extrema des fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Fonctions strictement convexes (±HP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Cas des fonctions d´erivables4

2.1 Caract´erisation des fonctions convexes d´erivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 De nouvelles in´egalit´es de pentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 In´egalit´es de convexit´e5

3.1 ln, exp et sin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Autour de l"in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1

Dans tout ce chapitre, on s"int´eresse `a des fonctions d´efinies sur un intervalleIdeR, `a valeurs

dansR.Exercice 1Repr´esenter sur un axe horizontal les r´eels suivants :

1024; 1515; 0,5?1024 + 0,5?1515; 0,01?1024 + 0,99?1515;

0,99?1024 + 0,01?1515;-0,01?1024 + 1,01?1515;1,01?1024-0,01?1515.Exercice 2SoitDla droite passant par les pointsA(a,y1)etB(b,y2). Soitλ?]0,1[. Donner

en fonction deλ,y1ety2l"ordonn´ee du point deDd"abscisseλa+ (1-λ)b.1 Propri´et´es des fonctions convexes1.1 D´efinition des fonctions convexes

D ´efinition 1Une fonctionf:I→Rest dite convexe lorsque : fsera dite concave si-fest convexe.

L"interpr´etation graphique de l"in´egalit´e (1) est ais´ee (cf exercices 1 et 2!) : la courbe est situ´ee

dessous ses cordes.λf(x)+(1-λ)f(y) f?λx+(1-λ)y? x

yλx+(1-λ)yRemarque 1On verra plus tard qu"en dehors de [a,b], le graphe est situ´e DESSUS la s´ecante.

On montre par r´ecurrence surn≥2 que la d´efinition1se g´en´eralise de la fa¸con suivante :Proposition 1f:I→Rest convexe si et seulement si pour tout entiern≥2, toute famille

f ?n?i=1λixi? En somme, l"image d"un barycentre (`a coefficients positifs) est plus petite que le barycentre des

images.1.2 In´egalit´es de pentesLes propri´et´es principales des fonctions convexes (tant sur le plan pratique que th´eorique) r´esident

dans des in´egalit´es entre des pentes. Notation :Six0?I,px0d´esigne la fonction d´efinie surI\ {x0}par : ?x?I\ {x0}, px0(x) =f(x)-f(x0) x-x0· ("fonction pente issue dex0"). Le r´esultat qui suit est `a connaˆıtre absolument, avec le dessin qui l"accompagne. 2

Proposition 2Il y a ´equivalence entre :

1.fest convexe surI.

2. Pour tout(a,b,c)?I3tel quea < b < c, on a :

f(b)-f(a) c-b·(2)

3. Pour toutx0?I,px0est croissante sur son ensemble de d´efinition.a c

b

Pentes en jeu dans (2)Preuve :L"´equivalence entre les deux derniers points est ais´ee. Pour le reste, le ressort

essentiel est l"´equivalence entre l"inclusionb?]a,c[ et l"existence deλ?]0,1[ tel quebs"´ecrive

λa+ (1-λ)c...Corollaire 1SiAetBsont deux points du graphe def, alors la droite(AB)priv´ee du

segment[AB]est situ´e SOUS le graphe def(dessin...).Preuve :Soienta,b,caveca < b < c: le point de (AB) d"abscisseca pour ordonn´ee

f(a) + (c-a)pa(b) qui est inf´erieure `af(a) + (c-a)pa(c) qui est justementf(c). Mˆeme chose si

c < a.1.3 R´egularit´e des fonctions convexes (±HP) Proposition 3Sifest convexe surIetx0est `a l"int´erieur deI, alorsfest d´erivable `a droite et `a gauche enx0, avec de plusf?

d(x0).Preuve :"Pour regarder ce qui se passe `a droite dex0, on fixe un pivot `a gauche dex0" : cette

id´ee est tr`es souvent utile, quand on travaille avec des fonctions convexes. Il faut cependant avoir

de la marge `a gauche, doncx0ne doit pas ˆetre l"extr´emit´e gauche deI...

Se souvenir ´egalement du th´eor`eme de la limite monotone, qu"on appliquera `apx0.Corollaire 2Sifest convexe surI, alorsfest continue `a l"int´erieur.Exercice 3Trouver une fonction convexe sur[0,1]discontinue en 0 et 1.Exercice 4Soitfconvexe surI. Montrer que les fonctionsf?

detf?

gsont croissantes.1.4 Extrema des fonctions convexesPour des fonctions convexes, il y a ´equivalence entre minimum local et minimum global. La

proposition suivante pr´ecise ceci.Proposition 4Soitfconvexe surI.

1. Sifadmet un minimum localy0, alors c"est un minimum global.

2. Si un minimum local (donc global) est atteint en deux pointsx1< x2, alorsfest constante

sur[x1,x2].Preuve :Dessin, puis in´egalit´es de pentes... 3

Le comportement vis-`a-vis des maxima est totalement diff´erent.Proposition 5Sifconvexe et continue sur un segmentI, alors :

1.fadmet un maximum global pris `a une extr´emit´e du segment;

2. si ce maximum global est ´egalement pris `a l"int´erieur du segment, alorsfest constante.Preuve :L"existence d"un maximum global est assur´ee par le fait qu"on a une fonctioncontinue

sur un segment. Si ce maximum n"est pris ni enani enb(avecI= [a,b]) mais enc?]a,b[, alors le pointC?c,f(c)?du graphe defest situ´e strictement sous la corde passant parA?a,f(a)?et

B?b,f(b)?, contredisant la convexit´e def.Remarque 2fpeut ne pas ˆetre continue aux bords, comme on l"a vu dans le paragraphe

pr´ec´edent. Cela dit, une ´etude un peu plus fine nous assure que les r´esultats pr´ec´edents sont

maintenus (le point cl´e ´etant que sifest monotone, ce n"est pas trop compliqu´e, et sinon, elle est

n´ecessairement d´ecroisante puis croissante, et ce n"est plus trop compliqu´e non plus).1.5 Fonctions strictement convexes (±HP)

D ´efinition 2Une fonctionf:I→Rest dite strictement convexe si : ?(x,y)?I?λ?]0,1[, f?λx+ (1-λ)y?< λf(x) + (1-λ)f(y).(1) fsera dite strictement concave lorsque-fest strictement convexe.

La stricte convexit´e permet d"obtenir des in´egalit´es strictes.Proposition 6Soitf:I→R. Il y a ´equivalence entre :

1.fest strictement convexe surI.

2. Pour tout(a,b,c)?I3tel quea < b < c, on a :

f(b)-f(a) b-a3. Pour toutx0?I,px0est strictement croissante sur son ensemble de d´efinition.2 Cas des fonctions d´erivables2.1 Caract´erisation des fonctions convexes d´erivablesEn pratique, pour montrer qu"une fonction est convexe, il est rare qu"on ´etablisse l"in´egalit´e (1).

On utilise plutˆot les caract´erisations qui suivent. On comparera ces r´esultats aux r´esultats donn´es

dans le paragraphe1.3.Th ´eor`eme 1Sifest d´erivable, alorsfest convexe si et seulement sif?est croissante. Dans

le cas o`ufest deux fois d´erivable, alorsfest convexe si et seulement sif??≥0.Preuve :Interdit d"utiliser l"exercice4...

Bien entendu, on en d´eduit une caract´erisation des fonctions concaves dans le mˆeme cadre.

De mˆeme, une fonction d´erivable sera strictement convexe si et seulement sif?est strictement croissante (ce qui ne signifie pas forc´ementf??>0, BIEN ENTENDU : cfx?→x4...). 4

2.2 De nouvelles in´egalit´es de pentesLes in´egalit´es suivantes s"obtiennent lors de la d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edent :Th

´eor`eme 2Sifest d´erivable convexe etx0,y0?Iavecx0< y0, alors :

Dans la d´emonstration, on voit qu"il suffit quefadmette une d´eriv´ee `a droite (resp. gauche) enx0(resp.y0).3 In´egalit´es de convexit´e3.1ln,expetsin1. La fonction ln est strictement concave surR?

toutu?]-1,+∞[.

2. De mˆeme, eu≥1 +upour toutu?R.

3. La fonction sin est concave sur [0,π/2], donc :

?t?[0,π/2],2 1

π/2y= sinxy=x

y=2

πx3.2 Autour de l"in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique1. Soientx1,...,xndes r´eels>0 etλ1,...,λndes r´eels positifs de somme ´egale `a 1; alorsn?i=1λixi≥n?i=1xλii(concavit´e du logarithme ou convexit´e de l"exponentielle).

Pourn= 2 etλ1=λ2= 1/2, on retrouve l"in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique.

2. Soientp,q >0 tels que1

p+1 pup+1 qvq(x1=up,λ1= 1/p,...) On en d´eduit de fa¸con classique les deux r´esultats suivants : ?n?i=1ap i?1/p?n?i=1bq i?1/q. (prendreu=ai/α,v=bi/βo`uα=?ap ietβ=?bq i, et sommer les in´egalit´es obtenues avec le r´esultat pr´ec´edent) Pourp=q= 2, on retrouve l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

4.In´egalit´e de Minkowsky: sip >1 etxi,yi>0, alors :

?n?i=1xp i?1/p+ ?n?i=1yp i?1/p.

On posep?=1

1-1/p(de sorte que 1/p+1/p?= 1), et on ajoute les deux in´egalit´es obtenues

en appliquant H¨older `a ?xi(xi+yi)p-1et ?yi(xi+yi)p-1. 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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