[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

Dérivabilité

Plus généralement la fonction f est dérivable en tout x0 ? R et f?(x0)=2x0. Pour montrer que f?1 est dérivable sur tout un intervalle J = f(I)

Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction

La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit que f est dérivable en a si f(x) ? f(a).

TD5 dAnalyse (DUMI2E) Dérivabilité

dérivable en f(x0) montrer que g ? f est bien dérivable en x0. [Cours] Soient I un intervalle ouvert et f une fonction dérivable et strictement.

Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction

DÉRIVATION (Partie 2)

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.

Continuité et dérivabilité dune fonction

7 Kas 2014 Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est ... Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet qu'une solution sur R. On donnera ...

DÉRIVATION

L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a.

Feuille 10. Dérivabilité

f(x) = ( x + exp(1/x2) si x > 0 sin x

Analyse

Donc f n'est pas dérivable en 0. (Faire un dessin pour la tangente). Exercice 9. Montrer par la définition que la fonction sin est dérivable sur R et donner 

FONCTION DERIVÉE

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.

Exo7 - Exercices de mathématiques

1 (a)Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f0(x) pour x >0: (b)En étudiant le signe de f0(x)sur R+;montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera 2 (a)En déduire l’inégalité suivante: (1+x)n 62n 1(1+xn); 8x 2R+: (b)Montrer que si x 2R+ et y2R+ alors on a (x+y)n 62n 1(xn +yn): Correction H Vidéo [000739] 1

Dérivation - maths-francefr

Dé?nition 8 10 – Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x 2I Alors la fonction f 0: I! R x 7! f 0(x) avec 8a 2I lim x!a f 0(a) ? f (x)¡ a x¡a est appelée la fonction dérivée de la fonction f Exemple 8 11 – † La fonction carrée est dérivable sur R

Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité

La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue sur ]?8;+?[donc elle est dérivable sur ]?8;+?[ Attention : vous remarquerez la différence entre l’exemple de la continuité et celui-ci : l’intervalle d’étude est totalement ouvert ! En un point Là encore il n’y a qu’une

???????????? ????et ????dérivable sur ?

2) ????est une fonction dérivable sur ? donc continue sur ? L’image de l’intervalle ? par ???? c’est-à-dire ???? ?/ est donc aussi un intervalle Reste à montrer que ????est soit un singleton ^????‘ c’est-à-dire un intervalle de la forme [????;????] soit ? tout entier

Fonctions dérivables - CNRS

1 La fonction f est croissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f0>0 alors f est strictementcroissante 2 La fonction f est décroissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f00 telque]x 0 ;x 0 + [ˆI

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Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f ?(3) Exercice n° 2 Soit f la fonction définie sur ? par : () 2 1 si 0 1 si 0 x x f x x x ? < = ? ? La fonction f est-elle dérivable sur ?? Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0

Quelle est la dérivabilité d’une fonction?

1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0

Comment montrer que f est dérivable en a ?

On dit que f est dérivable en a lorsque au (h) tend vers un nombre réel quand h prend des valeurs proches de 0. Ce réel est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f^ {prime} (a). On écrit alors : f^ {prime} (a) = mathop {lim}limits_ {h rightarrow 0} { dfrac {f (a+h)-f (a)} {h}}. Quand h est proche de 0, on dit que « h tend vers 0 ».

Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.

Comment reconnaître la dérivabilité ?

Par contre, la notion de dérivabilité retrouve un sens quand f est prolongée en continuité en x0. Attention : la réciproque n’est pas vraie : il est possible (mais ce n’est pas un cas courant) de construire des fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée, la fonction étant très « instable » en tous lieux et à toutes les échelles.