[PDF] TD5 dAnalyse (DUMI2E) Dérivabilité





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Dérivabilité

Plus généralement la fonction f est dérivable en tout x0 ? R et f?(x0)=2x0. Pour montrer que f?1 est dérivable sur tout un intervalle J = f(I)



Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction

La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit que f est dérivable en a si f(x) ? f(a).



TD5 dAnalyse (DUMI2E) Dérivabilité

dérivable en f(x0) montrer que g ? f est bien dérivable en x0. [Cours] Soient I un intervalle ouvert et f une fonction dérivable et strictement.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction



DÉRIVATION (Partie 2)

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.



Continuité et dérivabilité dune fonction

7 Kas 2014 Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est ... Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet qu'une solution sur R. On donnera ...



DÉRIVATION

L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a.



Feuille 10. Dérivabilité

f(x) = ( x + exp(1/x2) si x > 0 sin x



Analyse

Donc f n'est pas dérivable en 0. (Faire un dessin pour la tangente). Exercice 9. Montrer par la définition que la fonction sin est dérivable sur R et donner 



FONCTION DERIVÉE

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.



Exo7 - Exercices de mathématiques

1 (a)Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f0(x) pour x >0: (b)En étudiant le signe de f0(x)sur R+;montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera 2 (a)En déduire l’inégalité suivante: (1+x)n 62n 1(1+xn); 8x 2R+: (b)Montrer que si x 2R+ et y2R+ alors on a (x+y)n 62n 1(xn +yn): Correction H Vidéo [000739] 1



Dérivation - maths-francefr

Dé?nition 8 10 – Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x 2I Alors la fonction f 0: I! R x 7! f 0(x) avec 8a 2I lim x!a f 0(a) ? f (x)¡ a x¡a est appelée la fonction dérivée de la fonction f Exemple 8 11 – † La fonction carrée est dérivable sur R



Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité

La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue sur ]?8;+?[donc elle est dérivable sur ]?8;+?[ Attention : vous remarquerez la différence entre l’exemple de la continuité et celui-ci : l’intervalle d’étude est totalement ouvert ! En un point Là encore il n’y a qu’une



???????????? ????et ????dérivable sur ?

2) ????est une fonction dérivable sur ? donc continue sur ? L’image de l’intervalle ? par ???? c’est-à-dire ???? ?/ est donc aussi un intervalle Reste à montrer que ????est soit un singleton ^????‘ c’est-à-dire un intervalle de la forme [????;????] soit ? tout entier



Fonctions dérivables - CNRS

1 La fonction f est croissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f0>0 alors f est strictementcroissante 2 La fonction f est décroissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f00 telque]x 0 ;x 0 + [ˆI



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Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f ?(3) Exercice n° 2 Soit f la fonction définie sur ? par : () 2 1 si 0 1 si 0 x x f x x x ? < = ? ? La fonction f est-elle dérivable sur ?? Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0

Quelle est la dérivabilité d’une fonction?

1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0

Comment montrer que f est dérivable en a ?

On dit que f est dérivable en a lorsque au (h) tend vers un nombre réel quand h prend des valeurs proches de 0. Ce réel est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f^ {prime} (a). On écrit alors : f^ {prime} (a) = mathop {lim}limits_ {h rightarrow 0} { dfrac {f (a+h)-f (a)} {h}}. Quand h est proche de 0, on dit que « h tend vers 0 ».

Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.

Comment reconnaître la dérivabilité ?

Par contre, la notion de dérivabilité retrouve un sens quand f est prolongée en continuité en x0. Attention : la réciproque n’est pas vraie : il est possible (mais ce n’est pas un cas courant) de construire des fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée, la fonction étant très « instable » en tous lieux et à toutes les échelles.

TD5 d'Analyse (DUMI2E)

DerivabiliteLe symboles-signale les exercices que les etudiants doivent imperativement savoir traiter. Le

symbole,signale les exercices qu'il faut faire chez soi, ils sont relativement faciles .

Exercices type CoursExercice 1.[Cours]

-1. Montrer que toute fonction derivable enx0est continue enx0. ,2. Montrer que toute fonction derivable a droite enx0est continue a droite enx0. ,3. Montrer que toute fonction derivable a gauche enx0est continue a gauche enx0. ,4. Montrer que toute fonction derivable a gauche et a droite enx0telle quef0g(x0) =f0d(x0) est derivable enx0. ,5. Donner un exemple de fonction derivable a gauche et a droite enx0mais qui n'est pas derivable enx0. Exercice 2.[Cours] Soientfetgdeux fonctions derivables enx0. Montrer que leur somme et produit sont derivables enx0. Montrer que si de plusg(x0)6= 0, alors le quotientfg est derivable enx0. Enn, en supposant que la composeegfest bien denie et que de plusgest derivable enf(x0), montrer quegfest bien derivable enx0. Exercice 3.,[Cours] Montrer que la somme et le produit de fonctionsC1sont encoreC1. Exercice 4.[Cours] SoientIun intervalle ouvert etfune fonction derivable et strictement monotone surI. PosonsJ=f(I) et notonsg:J!Ila bijection reciproque de l'application bijectionI!Jdenie parf. Montrer que si l'on af0(x)6= 0 pour toutx2I, alorsgest derivable surJet donner son expression en fonction de la composeef0gpour toutx2J. Exercice 5.[Cours] Enoncer et demontrer les Theoremes de Rolle et de Darboux.

Application du CoursExercice 6.-

1. la fonctionx7! jxjest elle derivable surR? La fonctionx7!pxest elle derivable sur

R 1 2

2. la fonctionx7!xsin1x

six6= 0 et 07!0 est elle derivable en 0?

Exercice 7.Calculer la limite en +1de la fonction

x7!ln(x+ 1)13 ln(x)13 Exercice 8.-Etudier la derivabilite des fonctions suivantes : f

1(x) =x2cos1x

six6= 0; f1(0) = 0; f2(x) = sinxsin1x six6= 0; f2(0) = 0 f

3(x) =jxjpx

22x+ 1x1six6= 1; f3(1) = 1:

Exercice 9.-Determinera;b2Rde maniere a ce que la fonctionfdenie surR+par : f(x) =pxsi 0x1 etf(x) =ax2+bx+ 1 sinon soit derivable surR+.

Exercice 10.

1.-Que peut-on dire def0si on sait quefest paire ? impaire ? periodique ?

2.-Que peut-on dire defsi on sait quef0est paire ? impaire ? periodique ?

3. Montrer que sif0estT-periodique etf(T)6=f(0), alorsfn'a pas de periode (on

etudieraf(nT) pourn2N).

Exercice 11.

1. Soitf:R!Rderivable. Montrer quejfjadmet en tout point une derivee a droite et

une derivee a gauche.

2. Soitf:R!Rderivable telle que8x2R,f0(x)6= 0. Montrer quejfjest derivable.

Exercice 12.Soitf:R!Rderivable eta2Rtel quef0(a)6= 0.

1. Montrer qu'il existe un voisinageVdeatel que8x2Vn fag; f(x)6=f(a).

2. Sif0est continue au pointa, montrer qu'il existe un voisinageVdeatel quefjVsoit

injective.

Exercice 13.-Soitf:R!Rdenie parf(x) =x2sin1x

. Montrer quefest prolongeable par continuite en 0 ; on note encorefla fonction prolongee. Montrer quefest derivable sur

Rmais quef0n'est pas continue en 0.

3

Exercice 14.Montrer que le polyn^omePndeni par

P n(t) =1t2n(n) est un polyn^ome de degrendont les racines sont reelles, simples et appartiennent a [1;1]. Exercice 15.-Soitfune fonctionnfois derivable sur ]a;b[ s'annulant enn+ 1 points de ]a;b[. Montrer que sif(n)est continue alors il existe un pointx0de ]a;b[ tel quef(n)(x0) = 0: Exercice 16.Par application du theoreme des accroissements nis af(x) = lnxsur [n;n+1] montrer que S n=nX k=11k tend vers l'inni quandntend vers l'inni. Exercice 17.Soitf:R!Rcontinue en 0. Montrer quefest derivable en 0, etf0(0) =lsi et seulement si :

8" >0;9 >0 tq8h;k2]0;[;f(h)f(k)h+k`":

Exercice 18.Soitf: [a;b]!Rderivable telle quef(a) =f(b) = 0, etf0(a)>0,f0(b)>0. Montrer qu'il existec2]a;b[ tel quef(c) = 0, etf0(c)0. Exercice 19.-Soitfune fonction derivable sur l'intervalle [a;+1[ telle quef(a) = 0 et lim +1f= 0. Montrer qu'il existe un reelc > averiantf0(c) = 0. Exercice 20.Determiner en fonction du reelale nombre de solutions de l'equationex=ax. Exercice 21.Soitfune fonction de classeC1sur [a;b] aveca < b. On suppose quef(a) = 0 et quef(b)f0(b)<0. Montrer qu'il existec2]a;b[ tel quef0(c) = 0. Exercice 22.Soitfdeux fois derivable surR+, bornee et telle quef000. Montrer que f est decroissante surR+. Exercice 23.Soitf: [a;b]!Rderivable, telle quef(a) =f(b) = 0. Montrer que pour tout d2Rn[a;b], il existe une tangente au graphe defpassant par le point (d;0). Exercice 24.Soitf: [a;b]!Rderivable. On suppose que :8x2[a;b]; f0(x)6= 0. Montrer quef0est de signe constant. Exercice 25.Soitf: [a;b]!Rderivable telle quef(x)!f(a) quandx!+1. Montrer qu'il existex2]a;+1[ tel quef0(x) = 0. Exercice 26.Soitf:R!Rderivable et bornee telle quef0(x) tende verslquandx!+1.

Montrer quel= 0.

4

Exercice 27.

1. Soitf:R!Rderivable telle quef0(x) tende verslquandx!+1. Montrer que

f(x)x !lquandx!+1.

2. Chercher un contrexemple pour la reciproque.

Exercice 28.-[Regle de l'Hospital] Soientf;g: [a;b]!Rderivables avec8x2]a;b[, g

0(x)6= 0.

1. Montrer qu'il existec2]a;b[ tel que :

f(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g 0(c): (Appliquer le theoreme de Rolle afg, ouest un reel bien choisi).

2. En deduire que si

f 0(x)g

0(x)!l;quandx!a+;

alors (regle de l'Hospital) f(x)f(a)g(x)g(a)!l;quandx!a+:

3. Application : determiner

lim x!0+cosxex(x+ 1)ex1:

Exercice 29.A l'aide du TAF, determiner

lim x!=4ln(sinx)ln(cosx)sinxcosx: Exercice 30.Soitf: [a;b]!Rde classeC1. Demontrer que :

8" >0;9 >0 tel que8x;y2[a;b];si 0

Exercice 31.Soitf: [a;b]!Rde classeC2.

1. On suppose quef(a) =f(b) = 0. Soitc2]a;b[. Montrer qu'il existed2]a;b[ tel que :

f(c) =(ca)(bc)2 f00(d): (Considererg(t) =f(t) +(ta)(bt) ouest choisi de sorte queg(c) = 0) 5

2. Cas general : Soitc2]a;b[. Montrer qu'il existed2]a;b[ tel que :

f(c) =bcbaf(a) +cabaf(b)(ca)(bc)2 f00(d):

Exercice 32.[Derivees n-iemes]

1. Etablir une formule de recurrence pour les derivees successives de la fonctionx7!ex3.

2. Calculer la derivee n-ieme dex7!(x3+ 2x25)ex.

3. Calculer la derivee n-ieme dex7!sinx; x7!sin2xetx7!h(x) = sin3x+ cos3x:

Exercice 33.Etant donnefetgdeux fonctiosn derivables a l'ordrensur un intervalleI, montrer par recurrence que la derive d'ordrendu produitfgsur cet intervalle est (fg)(n)=nX k=0C knf(k)g(nk): En deduire les derives successives des fonctionsx7!x2ex; x7!x2(1 +x)n; x7!x2+1(x+1)2et x7!xn1ln(x). Exercice 34.Soientaetbdeux reels etf(x) = (xa)n(xb)n. Calculerf(n)et en deduirePn k=0(Ckn)2.

Exercice 35.Soitf(x) = exp(1x

2) six6= 0 etf(0) = 0. Montrer quefestC1et que pour

toutn2Non af(n)(0) = 0. Exercice 36.Soitn2 un entier xe etf:R+!Rla fonction denie par f(x) = (1 +xn)(1 +x)n

1.a. Montrer quefest derivable surR+et calculerf0(x) pour toutx0.

1.b. En etudiant le signe def0(x) surR+, montrer quefatteint un minimum surR+que

l'on determinera.

2.a. En deduire que

(1 +x)n2n1(1 +xn);8x2R+:

2.b. Montrer que six2R+ety2R+alors on a

(y+x)n2n1(yn+xn);8x2R+: 6

Exercice 37.Pour toutn2, on denit surRla fonction

f n:x7!xcosxn

1. Montrer que pour toutn2, il existe un unique reelxn2]0;1[ veriant

x n=cosxnn

2. Montrer que pour toutx2]0;1[ et toutn2, on a l'inegalite

f n(x)> fn+1(x):

En deduire que la suite (xn)n2est croissante.

3. Etudier la convergence de la suite (xn)n2.

Exercice 38.On considere la fonctionf:R!Rdenie parf(t) =e1t sit <0 et 0 sinon.

1. Montrer quefest derivable surRet en particulier en 0.

2. Etudier l'existence def00(0).

3. On cherche a montrer que pourt <0, la derivee n-ieme defs'ecrit

f (n)(t) =e1t t2nPn(t) ouPnest une fonction polynomiale.

3.a. TrouverP1etP2.

3.b. Trouver une relation de recurrence entrePn+1;PnetP0npour toutn2N?.

4. Montrer quefest de classeC1.

Exercice 39.Soit0. On considere la suite

s n() = 1 +12 +:::+1n

1. Montrer que l'on as2n(1)sn(1)12

. En deduire que la suite (sn(1))nest divergente.

2. En deduire que la suite (sn(1))ndiverge pour tout2[0;1].

3. Montrer que pour toutx >0

(x+ 1)(+1)x(x+ 1) x(+1): 7 Exercice 40.Soientaun nombre reel strictement positif etg:]a;a[!Rune fonction de classeC1telle queg(0) = 0. Soitf:]a;a[nf0g !Rla fonction denie parf(x) =g(x)x

1. Montrer quefse prolonge par continuite en 0.

2. Montrer quefest de classeC1sur ]a;a[nf0get exprimerf(n)(x) en fonction des

derivees deg.

3. Montrer que pour toutx2]a;a[, il existe2]0;1[ tel que l'an ait

g(x) +x1! g0(x)x22! g00(x) +:::+ (1)n+1xnn!g(n)(x) = (1)n+1xn+1(n+ 1)!g(n+1)(x)

4. En deduire que pour toutn2N, la limite limx!0f(n)(x) existe.

5. Montrer quefest de classeC1sur ]a;a[.

Exercice 41.Soitf:I= [1;1]!Rune fonction impair de classeC4. On suppose que la deriveef(5)existe surI. On pose=13 f0(1) +23 f0(0)f(1) et on considere la fonctiong denie surIcomme suit g(x) =f(x)x3 (f0(x) + 2f0(0)) +x5:

1. Montrer quegest de classeC3. Exprimerg;g00etg(3)en fonction des derivees def.

2. Calculerg(0);g0(0) etg00(0).

3. Montrer qu'il existe2Itel que l'on aitg(3)() = 0.

4. Montrer qu'il existe

2Itel que l'on ait

f(1) =13 f0(1) +23 f0(0)1180 f(5)( Exercice 42.Soitg:]1;0]!Rla fonction denie parg(x) =exxet soith: [0;+1[!R la fonction denie parh(x) =exx.

1. Montrer quegethsont des bijections de ]1;0] sur [1;+1[ et de [0;+1[ sur [1;+1[

respectivement. Tracer leurs graphes sur un m^eme dessin.

2. Pour toutx;yappartenant aR, on pose (x;y) =exeyxysi l'on ax6=yet (x;x) =ex.

Montrer qu'il existe une unique application:R!Rtelle que, pour toutx2R, on ait (x;(x)) = 1.

3. Montrer queest derivable surR?et exprimer0(x) en fonction dexet(x).

8

4. Montrer queest derivable en 0 et que l'on a0(0) =1.

Exercice 43.Trouver les fonctionsf:R!Rderivables en 0 telles que

92R+n f1g;8x2R; f(x) = f(x):

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