Dérivabilité
Plus généralement la fonction f est dérivable en tout x0 ? R et f?(x0)=2x0. Pour montrer que f?1 est dérivable sur tout un intervalle J = f(I)
Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction
La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit que f est dérivable en a si f(x) ? f(a).
TD5 dAnalyse (DUMI2E) Dérivabilité
dérivable en f(x0) montrer que g ? f est bien dérivable en x0. [Cours] Soient I un intervalle ouvert et f une fonction dérivable et strictement.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction
DÉRIVATION (Partie 2)
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 Kas 2014 Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est ... Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet qu'une solution sur R. On donnera ...
DÉRIVATION
L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a.
Feuille 10. Dérivabilité
f(x) = ( x + exp(1/x2) si x > 0 sin x
Analyse
Donc f n'est pas dérivable en 0. (Faire un dessin pour la tangente). Exercice 9. Montrer par la définition que la fonction sin est dérivable sur R et donner
FONCTION DERIVÉE
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 (a)Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f0(x) pour x >0: (b)En étudiant le signe de f0(x)sur R+;montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera 2 (a)En déduire l’inégalité suivante: (1+x)n 62n 1(1+xn); 8x 2R+: (b)Montrer que si x 2R+ et y2R+ alors on a (x+y)n 62n 1(xn +yn): Correction H Vidéo [000739] 1
Dérivation - maths-francefr
Dé?nition 8 10 – Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x 2I Alors la fonction f 0: I! R x 7! f 0(x) avec 8a 2I lim x!a f 0(a) ? f (x)¡ a x¡a est appelée la fonction dérivée de la fonction f Exemple 8 11 – † La fonction carrée est dérivable sur R
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue sur ]?8;+?[donc elle est dérivable sur ]?8;+?[ Attention : vous remarquerez la différence entre l’exemple de la continuité et celui-ci : l’intervalle d’étude est totalement ouvert ! En un point Là encore il n’y a qu’une
???????????? ????et ????dérivable sur ?
2) ????est une fonction dérivable sur ? donc continue sur ? L’image de l’intervalle ? par ???? c’est-à-dire ???? ?/ est donc aussi un intervalle Reste à montrer que ????est soit un singleton ^????‘ c’est-à-dire un intervalle de la forme [????;????] soit ? tout entier
Fonctions dérivables - CNRS
1 La fonction f est croissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f0>0 alors f est strictementcroissante 2 La fonction f est décroissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f00 telque]x 0 ;x 0 + [ˆI
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Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f ?(3) Exercice n° 2 Soit f la fonction définie sur ? par : () 2 1 si 0 1 si 0 x x f x x x ? < = ? ? La fonction f est-elle dérivable sur ?? Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0
Quelle est la dérivabilité d’une fonction?
1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0
Comment montrer que f est dérivable en a ?
On dit que f est dérivable en a lorsque au (h) tend vers un nombre réel quand h prend des valeurs proches de 0. Ce réel est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f^ {prime} (a). On écrit alors : f^ {prime} (a) = mathop {lim}limits_ {h rightarrow 0} { dfrac {f (a+h)-f (a)} {h}}. Quand h est proche de 0, on dit que « h tend vers 0 ».
Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.
Comment reconnaître la dérivabilité ?
Par contre, la notion de dérivabilité retrouve un sens quand f est prolongée en continuité en x0. Attention : la réciproque n’est pas vraie : il est possible (mais ce n’est pas un cas courant) de construire des fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée, la fonction étant très « instable » en tous lieux et à toutes les échelles.
L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche.1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|.3.h(x)=
1+cosx.
Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1Exercice3.
Pourchacune desexpressions y(t)ci-dessous,calculer dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t7)tsintlnt,8)
5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2 ,10) t 3 +1 t 2 "t"2 ,11) lnt t 3 ,12) (t+1) 3 t ,13) 1+t 1+ t 14) cost sint ,15) sint1+cost
Exercice4.
Pourchacunedes fonctionsfdéfiniesci-dessous,calculer lafonctiondérivée f 1)e 3x ,2)cos(5x),3)ln(2x),4)ln(|2x|),5)ln( "2x),6)(1 "x) 7/3 ,7)sin(cosx),8)sin(cos(3x)),9)ln(sin
2 x),10) 3 x 2 +x+1,11)e "x 2 ,12)2 lnx ,13) 5+4x 1+2 1+x 1L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
14)ln(|e
2ı!x
Exercice5.
Soitflafonctionréelle d'unevariableréelle définiepar: f(x)= x+exp("1/x 2 ),six>0 sinx,six#01.Montrerquefestdérivableen toutpointxdeR
encalculantsa dérivée.2.fest-elledérivable en0?
3.f estellecontinue en0?4.fest-elledeuxfois dérivableen0?
Exercice6.
Soitf n (x)lesfonctionsdéfinies par f n (x)= x n sin(1/x),six$=00,six=0
1.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?2.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?3.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?4.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?Exercice7.
1.Montrerquepourtousréels aetbavec0#a b"a 1+b 2 2.Endéduir eque:
4 3 251.Montrerquepourtousréels xety:|cosy"cosx|#|y"x|.
2.Montrerquepourtousréels xetytelsquex$=y:|cosy"cosx|<|y"x|.
2L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Exercice9.Montrerquepourtoutentier k%1:0Commentsecomp ortela suite(H
n )determegénéral H n =1+ 1 2 1 3 1 n quand ntendversl'infini ?Exercice10.
1.Utiliserl'exerciceprécédentpour montrerquepour"#1
lim n$% n k=1 1 k2.Onsuppose maintenant">1.Pourk%2,comparer
""1 k et 1 (k"1) ""1 1 k ""13.Toujourspour">1,montrer que
lim n$% n k=1 1 k =#,avec#< ""1Exercice11. Montrerque100+
1 200estuneappr oximationparexcès de
10001,etque
l'erreurd'approximationest inférieureà 14·10
6Exercice12.
Soitfde[0,1]versRunefonctiontr oisfoisdérivable.1.Onsupposeque f(0)=f
(0)= f (0)= 0etquef(1)=0 .Montrer quef s'annule quelquepartdans ]0,1[.2.Onsuppose iciquef(0)=f(1/3)=f(2/3)= f(1)=0 .Montrer lemêmerésultat.
3.Onsupposeici quef(0)=f
(0)= 0etquef(1)=f (1)= 0.Montrer lemême résultat.Exercice13.Soitf:R'Rdérivable.Calculer lim
x$a af(x)"xf(a) x"a ,pourun a(R.Exercice14.
Soita 3 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Existe-t-ilunefonction dérivablefde[a,b[versRtelleque l'onaitsimultanément le comportementasymptotiquelim x$b" f(x)=&etla majoration|f #1? Exercice15.
Soitfde[0,1]versRuneapplicationcontinue sur [0,1]telleque f(0)= 0 etf(1)=1 . Onsupposeque festdérivable en0et en1et quel'ona f (0)= f (1)=0 . 1.Montrerqu'ilexisteun"dans]0,1[telquef(")=".[Indication: étudierla fonc-
tiong(x):=f(x)"x.] 2.Onsupposede plusquefestdeuxfois dérivablesur[0,1].Montrer qu'ilexisteun
$dans]0,1[telque |f ($)|%4.[Indication :raisonnerparl'absurde etétudierles fonctionsx)'f(x)"2x 2 etx)'1"f(x)"2(1"x) 2 Exercice16.Soitflafonctiondéfinie parf(x)=xlnx"x. 1.Enappliquant àflethéorème desaccroissements finis,montrer quepourtout
n%1,ona : lnn#f(n+1)"f(n)#ln(n+1). 2.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
ln1+ln2+ ···+lnn#f(n+1)+1#ln2+ln3 +···+ln(n+1). 3.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
e n e n #n!#e n+1 e n+1 Exercice17.[ThéorèmedeSturm.] Onconsidèr eunefonction deuxfoisdérivable f: (x)|#f(x),*x([0,b].Le théorèmedeSturm affirme queb%!.Preuve parl'absurde:on supposeb1.Onposeg(x):=f (x)sinx"f(x)cosx.Montrer quegestcroissante, puisqueg estpositive. 2.Onposeh(x):=
f(x) sinx ,x>0.Dela questionprécédente,déduir eque hestcrois- sante. 3.Calculerh(b)etobtenirune contradiction.
4 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition. Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables, dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche. 1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|. 3.h(x)=
1+cosx.
Correction:
1.Lafonctioncosxestdérivable surRdoncf(x)estaussi dérivablesurRdedérivée
f (x)=s in(c osx)sin(x). 2.Lafonctiong(x)est!périodique.Comme sinxestpartoutdérivable, |x|estdéri-
vableendehors de0,et xestdérivablesur R ,ona queg(x)estdérivable sur ]0,![dedérivéef (x)= cosx 2sinx x#0 g(x) x =lim x#0 1 x n'estpasfinie (idemen 0 3.hest2!périodique.Endehors de!,hestdérivablede dérivéeh
(x)= %sinx 2 1+cosx
lim x#! 1+cosx
x%! =lim y#0 1%cosy
y =lim y#0 |y| 2y 1 2 .Cequi donnelavaleur de ladérivéeà droite. Parcontre en! onobtiendra" 1 2 ,cequi donnelavaleur de ladérivée àgauche. Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1 Correction:
Lafonctionest clairement continueendehors de0et1,continueà droiteen 0età gaucheen1.Commelim x#0 !e x "x=1=f(0),elleest aussicontinueà gaucheen0 etcommelim x#1 +1+ lnx x =1=f(1)elleestaussi continueàdr oiteen1.Elleest donc partoutcontinue. 1 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Pourx<0,festdérivablede dérivéef
(x)=e x "1. Pour0 (x)="2!cos(!x)sin(!x). Pourx>1,festdérivablede dérivéef
(x)= 1%lnx x 2 Onalim
x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 x 2 2x =0etlim x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 cos 2 (!x)%1 x lim x#0 %(!x) 2 (cos(!x)+1) 2x =0.Lafonction festdoncdérivable enOdedérivéef (0)= 0. Onalim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 cos 2 (!x)%1 x%1 =lim y#0 cos 2 (!y)%1 y =lim y#0 %(!y) 2 (cos(!y)+1) 2y 0etlim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 lnx x(x%1) =lim y#0 ln(y+1) y(y+1) =1.Doncfadmetunedérivée à droiteetunedérivéeà gaucheen1maisn'estpas dérivable. Exercice3.
Pourchacunedes expressionsy(t)ci-dessous,calculer
dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t 7)tsintlnt,8)
5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Existe-t-ilunefonction dérivablefde[a,b[versRtelleque l'onaitsimultanément le comportementasymptotiquelim x$b" f(x)=&etla majoration|f #1?Exercice15.
Soitfde[0,1]versRuneapplicationcontinue sur [0,1]telleque f(0)= 0 etf(1)=1 . Onsupposeque festdérivable en0et en1et quel'ona f (0)= f (1)=0 .1.Montrerqu'ilexisteun"dans]0,1[telquef(")=".[Indication: étudierla fonc-
tiong(x):=f(x)"x.]2.Onsupposede plusquefestdeuxfois dérivablesur[0,1].Montrer qu'ilexisteun
$dans]0,1[telque |f ($)|%4.[Indication :raisonnerparl'absurde etétudierles fonctionsx)'f(x)"2x 2 etx)'1"f(x)"2(1"x) 2 Exercice16.Soitflafonctiondéfinie parf(x)=xlnx"x.1.Enappliquant àflethéorème desaccroissements finis,montrer quepourtout
n%1,ona : lnn#f(n+1)"f(n)#ln(n+1).2.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
ln1+ln2+ ···+lnn#f(n+1)+1#ln2+ln3 +···+ln(n+1).3.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
e n e n #n!#e n+1 e n+1 Exercice17.[ThéorèmedeSturm.] Onconsidèr eunefonction deuxfoisdérivable f: (x)|#f(x),*x([0,b].Le théorèmedeSturm affirme queb%!.Preuve parl'absurde:on supposeb1.Onposeg(x):=f (x)sinx"f(x)cosx.Montrer quegestcroissante, puisqueg estpositive.2.Onposeh(x):=
f(x) sinx ,x>0.Dela questionprécédente,déduir eque hestcrois- sante.3.Calculerh(b)etobtenirune contradiction.
4L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche.1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|.3.h(x)=
1+cosx.
Correction:
1.Lafonctioncosxestdérivable surRdoncf(x)estaussi dérivablesurRdedérivée
f (x)=s in(c osx)sin(x).2.Lafonctiong(x)est!périodique.Comme sinxestpartoutdérivable, |x|estdéri-
vableendehors de0,et xestdérivablesur R ,ona queg(x)estdérivable sur ]0,![dedérivéef (x)= cosx 2sinx x#0 g(x) x =lim x#0 1 x n'estpasfinie (idemen 03.hest2!périodique.Endehors de!,hestdérivablede dérivéeh
(x)= %sinx 21+cosx
lim x#!1+cosx
x%! =lim y#01%cosy
y =lim y#0 |y| 2y 1 2 .Cequi donnelavaleur de ladérivéeà droite. Parcontre en! onobtiendra" 1 2 ,cequi donnelavaleur de ladérivée àgauche.Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1Correction:
Lafonctionest clairement continueendehors de0et1,continueà droiteen 0età gaucheen1.Commelim x#0 !e x "x=1=f(0),elleest aussicontinueà gaucheen0 etcommelim x#1 +1+ lnx x =1=f(1)elleestaussi continueàdr oiteen1.Elleest donc partoutcontinue. 1L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Pourx<0,festdérivablede dérivéef
(x)=e x "1.Pour0 (x)="2!cos(!x)sin(!x). Pourx>1,festdérivablede dérivéef
(x)= 1%lnx x 2 Onalim
x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 x 2 2x =0etlim x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 cos 2 (!x)%1 x lim x#0 %(!x) 2 (cos(!x)+1) 2x =0.Lafonction festdoncdérivable enOdedérivéef (0)= 0. Onalim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 cos 2 (!x)%1 x%1 =lim y#0 cos 2 (!y)%1 y =lim y#0 %(!y) 2 (cos(!y)+1) 2y 0etlim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 lnx x(x%1) =lim y#0 ln(y+1) y(y+1) =1.Doncfadmetunedérivée à droiteetunedérivéeà gaucheen1maisn'estpas dérivable. Exercice3.
Pourchacunedes expressionsy(t)ci-dessous,calculer
dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t 7)tsintlnt,8)
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Pourx>1,festdérivablede dérivéef
(x)= 1%lnx x 2Onalim
x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 x 2 2x =0etlim x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 cos 2 (!x)%1 x lim x#0 %(!x) 2 (cos(!x)+1) 2x =0.Lafonction festdoncdérivable enOdedérivéef (0)= 0.Onalim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 cos 2 (!x)%1 x%1 =lim y#0 cos 2 (!y)%1 y =lim y#0 %(!y) 2 (cos(!y)+1) 2y0etlim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 lnx x(x%1) =lim y#0 ln(y+1) y(y+1) =1.Doncfadmetunedérivée à droiteetunedérivéeà gaucheen1maisn'estpas dérivable.Exercice3.
Pourchacunedes expressionsy(t)ci-dessous,calculer
dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t7)tsintlnt,8)
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