[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES





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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.



Droites et plans dans lespace

Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan 



Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1.2 Intersection de deux droites . 2 Représentation paramétrique d'un plan de l'Espace ... 1 Représentations paramétriques d'une droite de l'Espace.



1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Méthode 18 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans. Démontrer que les plans (P) et (P') sont sécants suivant 



Droites et plans de lespace

1.1.1 Équation cartésienne (Rappels). 1. Soient et deux réels non tous les deux nuls. ? Toute droite de vecteur normal #»(; ) a pour équation.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.



VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d. 1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Un 



Fiche 8 : Droites et plans dans lespace

sont aussi des représentations paramétriques de la droite (D). III - Intersection de deux plans système de deux équations linéaires. On considère un plan (P) d 



DROITES ET PLANS DE LESPACE

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une 



Droites et plans dans lespace

Le système est appelé représentation paramétrique de la droite 3. Démonstration. L'intersection de deux plans non parallèles est une droite.



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

I Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !" ; ?(?)*?+ Soit une droite d passant par un point - ! /! 0! 1 et de vecteur directeur 2*?3 4 5 6 7 On a : 83 / 0 7?: Il existe un réel < tel que = =!+4< /=!+5< 0=0!+6< Remarque : Ce système s'appelle une représentation paramétrique



Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc

Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans 2 Intersection d’un plan (P) et d’une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P 1) (P 2) (P) (d) x A (P 1) = (P 2) (P 1) (P 2) (d) (P) (d)



F033 Intersection de droites et de plans

On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires



F033 Intersection de droites et de plans - ac-dijonfr

On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.

Comment déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection ?

Pour déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection, nous devons définir une variable en fonction du paramètre, substituer cette expression dans les équations des plans, puis réarranger les équations résultantes pour trouver les expressions des deux autres variables en fonction du paramètre.

Quels sont les paramètres d’une droite ?

et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires

Quelle est la différence entre un plan et un intersection ?

Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.)

1

REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗

On a :

∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .

Démonstration :

∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel que

Exemple :

La droite passant par le point

1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite

Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo

Soit les points

2 3 -1 et 1 -3 2

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère

2

Correction

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repère

Donc -1+3=0 soit =

Et donc :

=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0

Le point a donc pour coordonnées Q

5 3 1 0 R.

Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan

Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,

Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.

Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points

tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o

- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-

- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).

On note E l'ensemble des points

vérifiant l'équation +++=0

Alors le point Q

0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.

Soit un vecteur ⃗

. Pour tout point , on a : .⃗=V+

W+

-0 -0

E est donc l'ensemble des points

tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.

Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗

1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le

point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1

Correction

Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal

à un vecteur normal de l'autre.

4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.

Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.

Correction

Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est

orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0

Les vecteurs ⃗ et ′

sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.

Partie 3 : Applications

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.

Soit

1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.

Correction

a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.

On a :

-2 0 3

Comme :

.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas

parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5

Le point

, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+3

2-+3-2=0

On a donc : 2

1-2

-2+3 -3+3 -2=0

5-11=0 soit =

D'où :

=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().

Correction

On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().

On a :

-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-

Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du

système paramétrique de ().

On a ainsi :

1-2

2

2-

et donc

1-2

2-1

2-+2

1-2

2-1

4-

Or,

et sont othogonaux, donc : =0

1-2

-2

2-1

×2+

4-

-1 =0 -2+4+4-2-4+=0

9-8=0

6 8 9

Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :

1-2×

8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -

Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.

1) Démontrer que les plans ′ sont sécants.

2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection .

Correction

1) et′ sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Un vecteur normal de est ⃗ -1 2 1 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -1 3 Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) Le point

de , intersection de et de ′, vérifie donc le système suivant : i -+2+-5=0

2-+3-1=0

On choisit par exemple comme paramètre et on pose =. On a alors : -+2+-5=0

2-+3-1=0

=-2++5 -+3=1-2 =-2++5 -+3 -2++5 =1-2 =-2++5 --6+3+15=1-2 =-2++5 -7=-14-5 =2+ 5 7 =-2 V 2+ 5 7 W ++5 =2+ 5 7 =1- 3 7 Ce dernier système est une représentation paramétrique de , avec ∈ℝ. 7 RÉSUMÉ : Pour démontrer des positions relatives droite de vecteur directeur ⃗. plan de vecteur normal ⃗. et sont... parallèles ⃗.⃗=0 sécants orthogonaux ⃗ et ⃗ colinéaires plan de vecteur normal plan de vecteur normal et sont... parallèles ⃗ et ⃗ colinéaires sécants ⃗ et ⃗ non colinéaires perpendiculaires ⃗=0quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
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