[PDF] Droites et plans de lespace 1.1.1 Équation carté

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Droites et plans de l"espace

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1 Représentations analytiques d"une droite

1.1 Dans le plan

Le plan est muni d"un repère orthonormal

1.1.1 Équation cartésienne (Rappels)

1.Soient?et?deux réels non tous les deux nuls.

∙Toute droite?de vecteur normal#»?(?;?)a pour équation??+??+?= 0, où?est un réel. Cette équation est appelée uneéquation cartésiennede la droite?.

∙Réciproquement, l"ensemble des points?(?;?)vérifiant??+??+?= 0, où?est un réel, est une droite

de vecteur normal#»?(?;?).

∙Le vecteur#»?(-?;?)est un vecteur directeur de la droite?d"équation cartésienne??+??+?= 0.

2.Une équation cartésienne d"une droite?non parallèle à l"axe des ordonnées peut s"écrire sous la forme

?=??+?, où?et?sont deux réels. Cette équation s"appelle l"équation réduitede la droite?.

Le vecteur#»?(1;?)est un vecteur directeur de la droite?et le vecteur#»?(?;-1)est un vecteur normal à la

droite?

1.1.2 Représentation paramétriquePropriété

La droite?passant par?(??;??)et dirigée par le vecteur#»?(?;?) est l"ensemble des points?(?;?)tels que : ?=??+??, ?∈R Le système(?)est appeléreprésentation paramétriquede la droite?;?est le paramètre.?

Démonstration

?(?;?)∈?⇐⇒# »??et#»?sont colinéaires ⇐⇒Il existe un réel?tel que# »??=?#»? ⇐⇒Il existe un réel?tel queß?-??=?? ?-??=??(en passant aux coordonnées) ⇐⇒Il existe un réel?tel queß?=??+??

Terminale SDroites et plans de l"espace

2.2 Dans l"espace

L"espace est muni d"un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?).

2.2.1 Système d"équations cartésiennes

Soient?,?,?trois réels non tous les trois nuls et?′,?′,?′trois réels non tous les trois nuls.

∙Δétant une droite de l"espace, on considère deux plansPetP′sécants suivantΔet de vecteurs normaux respectifs#»?(?;?;?)et#»?′(?′;?′;?′). #»?et#»?′ne sont pas colinéaires puisquePetP′ne sont pas parallèles. PetP′admettent respectivement pour équations cartésiennes ??+??+??+?= 0et?′?+?′?+?′?+?′= 0, où?et?′sont des réels. La droiteΔest l"ensemble des points?(?;?;?)tels que :

ß??+??+??+?= 0

′?+?′?+?′?+?′= 0

Le système(?)ß??+??+??+?= 0

′?+?′?+?′?+?′= 0est appelésystème d"équa- tions cartésiennesde la droite?. ∙Réciproquement, un système(?)ß??+??+??+?= 0 ′?+?′?+?′?+?′= 0tel que les vecteurs #»?(?;?;?)et#»?′(?′;?′;?′)ne soient pas colinéaires représente une droiteΔ, intersection des plansPetP′d"équations cartésiennes respec- tives??+??+??+?= 0et?′?+?′?+?′?+?′= 0.PP

2.2.2 Représentation paramétrique

Propriété

La droite?passant par?(??;??;??)et dirigée par le vecteur#»?(?;?;?)est l"ensemble des points ?(?;?;?)tels que : ?=??+??, ?∈R Le système(?)est appeléreprésentation paramétriquede la droite?;?est le paramètre.?

Démonstration

La démonstration est analogue à celle réalisée pour une droite du plan

Remarques

∙Si(?)⎧ ?=??+??, ?∈Rest une représentation paramétrique d"une droite?, on peut affirmer que la droite?passe par?(??;??;??)et qu"elle est dirigée par le vecteur#»?(?;?;?).

En effet, si on écrit la représentation paramétrique de la droite?dirigée par#»?et qui passe par?, on

trouve(?). ∙Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.

Par exemple, les systèmes(?)⎧

⎩?=-1 + 2? ?= 2-? ?= 3 +?, ?∈Ret(?′)⎧ ⎩?= 1-4? ?= 1 + 2? ?= 4-2?, ?∈R 2

Terminale SDroites et plans de l"espace

représentent la même droite.

Pour le prouver, notons?la droite représentée par(?)et?′la droite représentée par(?′).

#»?et#»?′sont colinéaires donc?et?′sont parallèles.

Pour prouver qu"elles sont confondues, il reste à déterminer un point commun à ces deux droites.

Le point?(-1;2;3)appartient à?et il appartient également à?′(pour la valeur du paramètre?= 0,5)

Les systèmes(?)et(?′)représentent donc la même droite. ∙Représentation paramétrique d"un segment, d"une demi-droite Soient?(??;??;??)et?(??;??;??)deux points distincts de l"espace.

On note

#»?=# »??,?le point tel que# »??=-#»?. La droite(??)a pour représentation paramétrique ?=??+??, ?∈R où?,?et?sont les coordonnées du vecteur#»?d A B C~u Pour obtenir une représentation paramétrique :

∙du segment[??], il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈[0;1]».

∙de la demi-droite[??), il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈[0;+∞[».

∙de la demi-droite[??), il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈]-∞;0]».

3

Terminale SDroites et plans de l"espace

3 Intersections de droites et de plans

On considère deux plansPetP′de vecteurs normaux respectifs#»?et#»?′, et deux droites?et?′de vecteurs

directeurs respectifs#»?et#»?′.

3.1 Intersection de deux droites

∙Point de vue géométrique

1.Les droites?et?′peuvent êtrecoplanaires

Sécantes?

Intersection : un point

Parallèles

Strictement parallèles?

Intersection vide

Confondues

Intersection : la droite?

2.Les droites?et?′peuvent êtrenon coplanaires?

d

Intersection vide

∙Point de vue algébrique

1.Si#»?et#»?′sont colinéaires, alors les droites?et?′sont parallèles.

On choisit un point?de la droite?.

a) Si?∈?′, alors?et?′sont confondues. b) Si? /∈?′alors?et?′sont strictement parallèles.

2.Si#»?et#»?′ne sont pas colinéaires, alors les droites?et?′sont sécantes ou non coplanaires.

Il reste alors à déterminer si ces deux droites ont un point commun. 4

Terminale SDroites et plans de l"espaceExercice

L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?). On considère les droites?et?′de représentations paramétriques respectives : ⎩?=-2 + 5? ?=-1-? ?= 3 + 4?, ?∈R?′⎧⎨ ⎩?= 1-? ?= 4 + 3? ?= 5-?, ?∈R Déterminer l"intersection éventuelle des droites?et?′.

3.2 Intersection d"une droite et d"un plan

∙Point de vue géométrique

1.La droite?peut êtreparallèleàP

?est strictement parallèle àP?est incluse dansPP? P

Intersection videIntersection : la droite?

2.La droite?peut êtresécanteàP?

P

Intersection : un point

5 ∙Point de vue algébrique

1.Si#»?⋅#»?= 0, alors la droite?est parallèle àP.

On choisit un point?de la droite?.

a) Si?∈P, alors?est incluse dansP b) Si? /∈Palors?etPsont strictement parallèles.

2.Si#»?⋅#»?∕= 0, alors la droite?et le planPsont sécants suivant un point.

Exercice

L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?). Soient le planPd"équation2?-?+ 3?-2 = 0et la droite?de représentation paramétrique : ⎩?=-2 +? ?= 1 +? ?= 2?, ?∈R Déterminer l"intersection éventuelle de la droite?et du planP.

Terminale SDroites et plans de l"espaceRemarque

Pour montrer qu"une droite?est incluse dans un planP, il est souvent plus simple de montrer que tout point

de la droite?appartient au planP.

3.3 Intersection de deux plans

∙Point de vue géométrique

1.Les plansPetP′peuvent êtreparallèles

Strictement parallèlesConfondus

P P ′P P

Intersection videIntersection : le planP

6

2.Les plansPetP′peuvent êtresécantsPP

Intersection : une droite?

∙Point de vue algébrique

1.Si#»?et#»?′sont colinéaires, alors les plansPetP′sont parallèles.

On choisit un point?du planP.

a) Si?∈P′, alorsPetP′sont confondus. b) Si? /∈P′alorsPetP′sont strictement parallèles.

2.Si#»?et#»?′ne sont pas colinéaires, alors les plansPetP′sont sécants suivant une droite?.

Exercice

L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?).

Démontrer que les plansP1d"équation?+ 2?-?+ 1 = 0etP2d"équation2?+ 3?-?+ 2 = 0sont sécants

puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d"intersection?.

Terminale SDroites et plans de l"espace

4 Intersection de trois plans

On considère trois plansP1,P2etP3de vecteurs normaux respectifs# »?1,# »?2et# »?3. ∙Point de vue géométrique

1.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtrevide.

P 1P 2 P 3 P 1P 2P

3Deux plans sont sécants suivant une droite?et le

troisième plan est strictement parallèle à?

Deux plans sont strictement parallèles et le

troisième les coupe suivant deux droites parallèlesP 1P 2P 3 Deux plans sont strictement parallèles, le troisième est parallèle aux précédents

2.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreun point.?

?P 1P 2 P 3 Deux plans sont sécants suivant une droite?et le troisième coupe?en un point?. 7

Terminale SDroites et plans de l"espace

3.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreune droite.?

P2 P 1P 3 Les trois plans sont sécants suivant une droite?

4.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreun plan.P

1P 2P3

Les trois plans sont confondus

∙Point de vue algébrique

1.Si# »?1et# »?2sont colinéaires alorsP1etP2sont parallèles

a) Ou bienP1etP2sont strictement parallèles et dans ce cas l"intersection des trois plans est vide.

b) Ou bienP1etP2sont confondus et dans ce cas on est ramené à l"intersection de deux plans.

2.Sinon, l"intersection deP1etP2est une droite que l"on peut noter?.

On est alors ramené à l"intersection d"une droite (la droite?) et d"un plan (le planP3). a) Si?est incluse dansP3, alors l"intersection des trois plans est la droite?. b) Si?etP3sont sécants suivant un point?, alors l"intersection des trois plans est le point?. c) Si?etP3sont strictement parallèles, alors l"intersection des trois plans est vide. En fait dans ce cas de figure, deux options sont possibles :

∙Déterminer une représentation paramétrique de la droite?puis déterminer l"intersection éventuelle de

la droite?et du planP3

∙Résoudre un système de3équations à3inconnues : le système formé par les3équations cartésiennes

des plans (cf. TD sur la méthode de Gauss). 8quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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