REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.
Droites et plans dans lespace
Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan
Représentation paramétrique de droites de plans Applications
1.2 Intersection de deux droites . 2 Représentation paramétrique d'un plan de l'Espace ... 1 Représentations paramétriques d'une droite de l'Espace.
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
Méthode 18 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans. Démontrer que les plans (P) et (P') sont sécants suivant
Droites et plans de lespace
1.1.1 Équation cartésienne (Rappels). 1. Soient et deux réels non tous les deux nuls. ? Toute droite de vecteur normal #»(; ) a pour équation.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d. 1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Un
Fiche 8 : Droites et plans dans lespace
sont aussi des représentations paramétriques de la droite (D). III - Intersection de deux plans système de deux équations linéaires. On considère un plan (P) d
DROITES ET PLANS DE LESPACE
On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une
Droites et plans dans lespace
Le système est appelé représentation paramétrique de la droite 3. Démonstration. L'intersection de deux plans non parallèles est une droite.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
I Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !" ; ?(?)*?+ Soit une droite d passant par un point - ! /! 0! 1 et de vecteur directeur 2*?3 4 5 6 7 On a : 83 / 0 7?: Il existe un réel < tel que = =!+4< /=!+5< 0=0!+6< Remarque : Ce système s'appelle une représentation paramétrique
Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc
Donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de ces deux plans 2 Intersection d’un plan (P) et d’une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P 1) (P 2) (P) (d) x A (P 1) = (P 2) (P 1) (P 2) (d) (P) (d)
F033 Intersection de droites et de plans
On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires
F033 Intersection de droites et de plans - ac-dijonfr
On appelle représentation paramétrique de d le système x = x A + ta y = y A + tb z = z A + tc t ? R D une droite passant par A(x Ay Az A) de vecteur directeur ? u (abc) et d une droite passant par B(x By Bz B) de vecteur directeur ? v (def) ? D et d sont parallèles si et seulement si ? u et ? v sont colinéaires
Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?
Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.
Comment déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection ?
Pour déterminer l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection, nous devons définir une variable en fonction du paramètre, substituer cette expression dans les équations des plans, puis réarranger les équations résultantes pour trouver les expressions des deux autres variables en fonction du paramètre.
Quels sont les paramètres d’une droite ?
et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires
Quelle est la différence entre un plan et un intersection ?
Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.)
Droites et plans dans l'espace Terminale S I - Représentations paramétriques d'une droite dans l'espace L'espace est muni d'un repère orthonormé
O;i ,j ,k. 1. Représentations paramétriques d'une droite La droite (D) passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur
u est l'ensemble des points M( x ; y ; z) tels que : S x=!t+x A y="t+y A z=#t+z A t(!.Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (D) dans le repère
O;i ,j ,ket on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l'espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs
u et u sont orthogonaux u .u '=0Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires (donc ont un point commun). Exercice 2 : Considérons les droites : (d)
x=t+1 y=2t!3 z=!t+2 t&! et (d') x=3t'+2 y=!t'!1 z=t'+1 t'&!. Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d'), si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace, une droite (d) de vecteur directeur
u et un plan (P) de vecteur normal n peuvent être : • Strictement parallèles ( u .n =0 et aucun point en commun) • La droite (d) est incluse dans le plan (P) ( u .n =0 et un point en commun) • Sécantes u .n !0Cas particulier : Propriété : Une droite (d) est orthogonale à un plan (P) si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan (P) ; donc si et seulement si son vecteur directeur
uet orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (P). Exercice 3 : Déterminer l'intersection de la droite (d) : 1
232 xt yt zt et du plan (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0
(P) 2. Représentations paramétriques d'un segment, d'une demi-droite A et B sont deux points distincts de l'espace et on note
AB =u. L'appartenance d'un point M au segment [AB] ou bien à la demi-droite [AB) s'obtient en adaptant l'énoncé de la conclusion ci-dessus : 1. pour le segment, il suffit de remplacer dans le système (S) : "
t!! ». 2. pour la demi-droite [AB), il suffit de remplacer dans le systè me (S) : " t!!» par " t0;∈+∞⎡⎡
» II - Intersections de droites et de plans 1. Intersection de deux plans (P1) et (P2) a) Le point de vue géométrique (P1) et (P2) confondus (P1) et (P2) strictement parallèles (P1) et (P2) sécants b) Le point de vue algébrique Deux plans d'équations ax + by +cz + d = 0 et a'x + b'y +c'z + d' = 0 sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire lorsque les triplets (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') sont proportionnels. Une droite pourra être définie par intersection de deux plans, c'est-à-dire par un système de deux équations cartésiennes : ()
axbyczd0 S a'xb'y c'zd'0avec (a ; b ; c) et (a ' ; b' ; c') non proportionnels. Exercice 4 : Considérons les plans d'équations : ()()
P:2 xyz20etP' :x3 y7z 110 +--=++ -=
. Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan (P) et d'une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P1) (P2) (P) (d) x A (P1) = (P2) (P1) (P2) (d) (P) (d)
Propriété :Le plan (P) d'équation ax + by + cz +d = 0 et la droite (d) passant par un point A et de vecteur directeur
u!;";#sont sécant si le vecteur normal du plan (P) n'est pas orthogonal au vecteur directeur de (d) donc si
u• n!0 c'est à dire si !a+"b+#c$0Exercice 5 : Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,kle plan (P) a pour équation : 5x + y - z + 3 = 0 et la droite (d) pour représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x = ty = 1 - 6tz = 3 - t t ∈
. Étudier position de la droite (d) et du plan (P). III - Intersection de trois plans 1. Le point de vue géométrique (P), (Q) et (R) sont trois plans de l'espace. Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles, 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.) 2. Le point de vue algébrique Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,k, les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour équations cartésiennes ax+by+cz+d=0,a'x+b'y+c'z+d'=0eta"x+b"y+c"z+d"=0
, où a, b, c puis a', b', c' puis a'', b'', c'' ne sont pas tous les trois nuls. Pour étudier l'intersection des trois plans, on peut résoudre le système : ax+by+cz+d=0
a'x+b'y+c'z+d'=0 a"x+b"y+c"z+d"=0. Ce système, d'après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions. Exercice 6 : Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,k , le plan (P) a pour équation : 2x!y+z!7=0 , le plan (Q) a pour équation : x+2y!z!6=0 , le plan (R) a pour équation : !x+y+2z!11=0 . Étudier l'intersection de ces trois plans. (R) (Q) (d) (P) (P) (Q) (d) (R) Aquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] bowlby attachement et perte pdf
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