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Geometrie du plan et de l'espace

RELATIONS D'EQUIVALENCE ET ACTIONS DE GROUPES

1. Rappels ensemblistes

Les ensembles seront souvent notesX;Y;:::

On notef:X!Yune application deXdansY. On dit queXest ledomaine defou ensemble de depart et queYest l'ensemble d'arrivee. Le sous-ensemble f(X)Yest l'imagedef. Le graphe defest le sous-ensemble deXY:

Graphe(f) =f(x;y)2XY:y=f(x)g

Denition.On dit qu'une applicationf:X!Yest

(i)surjectivesif(X) =Y; de maniere equivalente, l'equationf(x) =yadmet au moins une solution pour touty2Y; (ii)injectivesix6=x0)f(x)6=f(x0); de maniere equivalente, l'equation f(x) =yadmet au plus une solution poury2Y; (iii)bijectivesi elle est surjective et injective; de maniere equivalente, l'equation f(x) =yadmet exactement une solution pour touty2Y. Axiome du choixSoitf:X!Ysurjective. Alors il existeg:Y!Xtelle que pour touty2Y,fg(y) =y.

2. Relations d'equivalence

Denition.Une relation d'equivalenceRsur un ensembleXest une relation binaire (c'est-a-dire une relation sur un couple d'elements)xRy(on utilisera aussi la notationxy) qui est (i) re exive, c'est-a-dire8x2X;xRx; (ii) symetrique, c'est-a-direxRy)y Rx; (iii) transitive, c'est-a-direxRyety Rz)xRz; Le graphe de la relation d'equivalence est le sous-ensemble deXXsuivant :

Graphe(R) =f(x;y)2XX:xRyg

La classe d'equivalence dex2Xest le sous-ensemble deXsuivant : [x] =fy2X:y Rxg L'ensemble quotient, noteX=R, est l'ensemble des classes d'equivalence. Denition.Une partition d'un ensembleXest une famille(Xi)i2Ide sous- ensembles deXtelle que (i)8i6=j; Xi\Xj=; (ii)X=S i2IXi.

Proposition.

(i) Soit(Xi)i2Iune partition de l'ensembleX. Alors la relationxRysi et seulement si il existei2Itel quex;y2Xiest une relation d'equivalence dont les classes d'equivalence sont lesXi. (ii) Reciproquement, siRest une relation d'equivalence sur un ensembleX, ses classes d'equivalence forment une partition deX; (iii) On a donc une correspondence bijective entre relations d'equivalence surX et partitions deX. Denition.SoitRest une relation d'equivalence sur un ensembleX. On rappelle que l'ensemble quotient, noteX=R, est l'ensemble des classes d'equivalence. L'application:X!X=Rtelle que(x) = [x]est appelee application quotient.

Proposition.

(i) Soitf:X!Ysurjective. Alors la relationxRx0si et seulement f(x) =f(x0)est une relation d'equivalence dont les classes d'equivalence sont les images reciproquesf1(y)def(appelees aussi bres def). (ii) Reciproquement, soitRest une relation d'equivalence sur un ensembleX. Alors il existe un ensembleYet une applicationf:X!Ysurjective telle quexRx0si et seulement sif(x) =f(x0). On dit quefdenitR. (iii) . Sif1:X!Y1etf2:X!Y2sont des applications surjectives qui denissent la m^eme relation d'equivalenceR, alors il existe une bijection g:Y1!Y2telle quef2=gf1. Remarque.Soitf:X!Ysurjective ouXest un ensemble ni. Alors jXj=X y2Yjf1(y)j Proposition.SoitRune relation d'equivalence sur un ensembleXetZun ensemble. Les proprietes suivantes d'une applicationf:X!Zsont equivalentes : (i)xRy)f(x) =f(y); (ii) Il existe~f:X=R!Ztelle quef=~f, ou:X!X=Rest l'application quotient.

On dit alors quefest invariante parRou quefse factorise a traversX=Ret que~fest l'application induite parf.

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3. Groupes

Denition.Un groupe est un ensembleGmuni d'une operation GG!G (g;h)7!gh telle que (i) (associativite) Pour tousg;h;k2G, on a(gh)k=g(hk). (ii) (existence d'un element neutre) Il existee2Gtel que pour toutg2Gon aitge=eg=g. (iii) (existence d'un inverse) Pour toutg2G, il existeh2Gtel quegh=hg= e; alorshest unique et est noteg1. On dit que le groupe est commutatif (ou abelien) si pour tousg;h2G, on a gh=hg. Il est frequent de noter additivement l'operation d'un groupe commutatif : on ecritg+hau lieu degh. L'element neutre est alors note0au lieu dee; l'inverse degest noteget appele oppose deg.

Exemples de groupes commutatifs

(R;+), (C;+), (R;:)

Exemples de groupes non commutatifs

Le groupeS3des permutations def1;2;3g

Le groupeGL(2;R) des matrices dansM2(R) inversibles. Denition.SoitGun groupe (note multiplicativement). On dit queHGest un sous-groupe deGsi (i) l'element neutreedeGappartient aH; (ii) sihappartient aH, son inverseh1appartient aussi aH; (iii) sigethappartiennent aH, leur produitghappartient aussi aH.

Exemples de sous-groupes

ZRest un sous-groupe deR.

SL(2;R)def=fA2M2(R) : detA= 1g GL(2;R) est un sous-groupe de

GL(2;R).

Denition.SoitG1;G2deux groupes et une applicationf:G1!G2. On dit quefest un morphisme (de groupes) si pour tousx;y2G1,f(xy) =f(x)f(y). Proposition.Soitf:G1!G2un morphisme de groupes. Alors (i)f(G1)est un sous-groupe deG2; (ii)Ker(f)def=f1(e2), oue2est l'element neutre deG2, est un sous-groupe de G 1; 3 (iii) pour toutg2G1et touth2Ker(f),ghg12Ker(f). Denition.On dit qu'un sous-groupeNGestnormal(oudistingue) si pour toutg2Get toutn2N,gng12N.

Remarques

1) Le noyau Ker(f) d'un morphisme de groupesf:G1!G2est donc un sous-

groupe normal deG1.

2) SiGest un groupe commutatif, tous ses sous-groupes sont normaux.

4. Actions de groupes

Notation.Etant donne un ensembleX, on noteS(X) (ou Bij(X)) l'ensemble des applications bijectives:X!X. C'est un groupe pour la composition des applications. Denition 1.SoientGun groupe etXun ensemble. Une action du groupeG sur l'ensembleXest un morphisme de groupes :G! S(X) Denition 2.SoientGun groupe etXun ensemble. Une action a gauche du groupeGsur l'ensembleXest une application ':GX!X (g;x)7!gx telle que (i) Pour toutx2X, on aex=x. (ii) Pour tousg;h2Get toutx2X, on ag(hx) = (gh)x. On a une denition analogue pour une action a droite du groupeGsur l'ensemble X. Proposition.Les denitions 1 et 2 sont equivalentes. La relation entre :G! S(X) et':GX!Xest (g)(x) ='(g;x). Denition.Soit :G! S(X)une action d'un groupeGsur un ensembleX.

On dit que l'action est

(i)delesiest injective; (ii)libresigx=x)g=e; (iii) transitive si pour tousx;y2X, il existeg2Gtel quey=gx. Proposition.Soit':GX!Xune action d'un groupeGsur un ensemble

X. Alors la relation

xRy, 9g2G:y=gx 4 est une relation d'equivalence surX. Denition.Avec les notations de la proposition, on dit queRest la relation d'equivalence orbitale de l'action. On denit aussi (i) pourx2X, la classe dequivalence[x] =Gxdex, aussi appelee orbite de x; (ii)X=G(quelquefois noteGnXpour une action a gauche) comme l'ensemble quotientX=R, c'est-a-dire l'ensemble des orbites.

5. Espaces homogenes et groupes-quotient

SoitGun groupe. Etant donne un elementa2G, on denit (i) la translation a gauche L a:G!G x7!ax (ii) la translation a droite R a:G!G x7!xa

Proposition.SoitGun groupe eta;b2G. Alors

(i)LaetRbsont des bijections deGsurG; (ii)LaLb=Lab; RaRb=Rba; LaRb=RbLa.

Proposition.

(i) La translation a gaucheL:G! S(G)qui aa2Gassocie la translation a gaucheLaest une action deGsurG; (ii) Cette action est libre et transitive. Corollaire.Tout groupe est isomorphe a un sous-groupe du groupe des bijections d'un ensemble. On voit en outre que siGest un groupe d'ordrenni, alorsGest isomorphe a un sous-groupe du groupe symetriqueSn. On a vu que l'action deGsurGpar translation a gauche est transitive : il y a une seule orbite. Ce n'est plus le cas si on restreint cette action a un sous-groupe HdeG:

Denition.SoitHun sous-groupe d'un groupeG.

(i) On denit l'espace homogeneHnGcomme l'espace des orbites de l'action deHsurGpar translation a gauche; 5 (ii) On denit de m^eme l'espace homogeneG=Hcomme l'espace des orbites de l'action deHsurGpar translation a droite. Les elements deHnG, qui sont des orbites de l'action deHsurG, sont notesHx, oux2G. On aHx=Hysi et seulement si il existeh2Htel quey=hx. Ces elementsHxsont aussi appeles classes a gauche. Les classes a gauche forment une partition deG. Les elements deG=Hsont notesxH, oux2Get appeles classes a droite. Ils forment eux-aussi une partition deG. Proposition (formule de Lagrange).SoitHun sous-groupe d'un groupe ni

G. On a l'egalite

jG=Hj=jHnGj=jGjjHj oujXjest la cardinalite deX. La cardinalitejGjd'un groupe niGest appelee l'ordre du groupe. La cardinalite de l'espace homogeneG=H(ouHnG) est appelee l'indice du sous-groupeHet elle est notee [G:H]. Corollaire.L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe ni divise l'ordre du groupe. Theoreme.SoitNun sous-groupe normal d'un groupeG. Alors (i)G=N=NnG; (ii) il existe surG=Nune structure de groupe telle que pour toutx;y2G, (xN)(yN) = (xy)N.

6. Actions transitives

On rappelle qu'une action d'un groupeGsur un ensembleXest dite transitive si il y a une seule orbite. Proposition.SoitHun sous-groupe d'un groupeG. Alors (i)Gagit par translation a gauche surG=H; (ii) cette action est transitive. Proposition.Soit':GX!Xune action d'un groupeGsur un ensemble

X. On xex2X. Alors

(i) l'application'x:G!Xqui envoiegsurgxa pour image l'orbite[x] =Gx dex; (ii)G(x)def=fg2G:gx=xgest un sous-groupe deG; (iii) l'application'xinduit une bijection~'x:G=G(x)![x]. Denition.Avec les notations de la proposition ci-dessus, le sous-groupeG(x) s'appelle sous-groupe d'isotropie enxou stabilisateur dex. 6 Proposition.Soit':GX!Xune action transitive d'un groupeGsur un ensembleX. On xex2X. Alors (i) l'application'x:G!Xqui envoiegsurgxinduit une bijection ~'x:G=G(x)!X; (ii) Cette bijection est equivariante : pour tousg;h2G, on a ~'x(g(hG(x))) =g~'x(hG(x))

7. Groupes et combinatoire

On considere l'action d'un groupe niGsur un ensemble niX. Le nombre d'elements d'une orbite [x] est donne par j[x]j=jGjjG(x)j(formule de Lagrange) ouG(x) =fg2G:gx=xg.

Le nombre d'orbites est donne par

jX=Gj=1jGjX g2GjFix(g)j(formule de Burnside) ou Fix(g) =fx2X:gx=xg. 7quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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