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Relations d"équivalence

Baptiste Calmès

16 janvier 2022

Table des matières

1 Définition2

2 Classes d"équivalence3

3 Ensemble quotient4

4 Théorème de Lagrange4

5 Application quotient4

6 Passage d"une loi au quotient 5

6.1 Cas des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6.2 Cas des anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

A Groupes7

B Anneaux, corps9

1

1 Définition

1.1 Définition.Unerelationsur un ensembleEest un sous-ensemble deEE. SiRest une relation,

on écrit alors souventxRyau lieu de(x;y)2R.

C"est une manière de formaliser qu"il y a une relation entre certains éléments deE. On dit quex

est en relation avecysixRy(i.e. si(x;y)2R).

1.2 Définition.Une relationRsur un ensembleEest appelée unerelation d"équivalencesi elle satis-

fait aux propriétés suivantes : 1. (réflexivité) 8x,xRx; 2. (symétrie) 8x;y2E,xRyimpliqueyRx; 3. (transitivité) 8x;y;z2E,xRyetyRzimpliquexRz. SiRest une relation d"équivalence, on écrit alors souventxRyau lieu dexRy, voire mêmexy si la relation est claire par le contexte.

1.3 Exemple.Voici quelques exemples de relations d"équivalence (le vérifier).

1.Eest l"ensemble des droites du plan et la relation est le parallèlisme.

2.Eest l"ensemble des triangles du plan et la relation est le fait d"être semblables.

3.Eest l"ensemble des fonctions continues par morceauxR!Ret la relation est l"égalité des

valeurs sauf en un nombre fini de points.

1.4 Exemple.Voici également quelques exemples de relations qui ne sont pas d"équivalence.

1.E=Ret la relation est le fait d"être inférieur ou égal.

2.E=Ret la relation est le fait d"être à distance au plus1.

1.5 Exemple.Larelation trivialeest celle oùR=f(x;x);8x2Eg, autrement ditxRyssix=y, et

la relation la plus grossière est celle oùR=EE, autrement ditxRypour tousx;y. Ce sont bien entendu des relations d"équivalence.

L"exemple qui suit esttrès important. L"idée est qu"on veut considérer deux éléments d"un groupeG

comme équivalents si l"on peut passer de l"un à l"autre par multiplicationà droitepar un élément d"un

sous-groupeH(donné).

1.6 Exemple.SoitGun groupe, etHun sous-groupe deG. PosonsxRysix1y2H. Montrer que

c"est équivalent à demander qu"il existeh2Htel quexh=y. On dit quexestcongruàymoduloHà droite. Cela définit une relation d"équivalence surG.

1.7 Remarque.SiH=f1gou siH=G, on retrouve respectivement les relations triviale et grossière

précédentes.

1.8 Exercice.Bien entendu, la notion existe aussi en remplaçant la droite par la gauche. La définir.

1.9 Remarque.Quand le groupe est abélien, ces deux relations, définies par multiplication à droite ou

à gauche, sont les mêmes.

1.10 Exercice.SiG=Z, et queH=nZpour unn6= 0, montrer qu"avec la relation précédente, on a

xysi et seulement sindivisexy. En fait, c"est vrai même avecn= 0, mais à quoi ressemble la relation d"équivalence dans ce cas?

La relation précédente surZest particulièrement importante pour l"arithmétique, on utilise donc

une terminologie spécifique.

1.11 Définition.QuandxRy, on dit quexestcongruàymodulonet on note

xymodnou encorexy[n] 2

2 Classes d"équivalence

2.1 Définition.Étant donné une relation d"équivalenceRsurE, etx2E, on appelleclassedexle

sous-ensemble deEconstitué des élémentsytels quexRy. On le notex

R. On a doncx

R=fy2E; xRyg:

Lorsque la relation est claire, on note justex.

2.2 Remarque.Bien entendu, on ax

R=y

Rsi et seulement sixRy.

2.3 Exemple.Reprenons l"exemple 1.6. Sig2G, alorsg=gH=fgh;h2Hg:

Pour cette raison, on écrira souventgH=g0H(resp.Hg=Hg0) pour dire quegetg0sont congrus moduloHà droite (resp. à gauche).

Remarquons également que1

G=H, aussi bien pour la relation à gauche que pour la relation à droite.

En fait, se donner une relation d"équivalence surEest la même chose que se donner une partition

deE, i.e. qu"écrireEcomme une union de sous-ensembles disjoints. Ces sous-ensembles sont justement

les classes d"équivalences. Plus précisément :

2.4 Définition.SoitU P(E)un ensemble de parties d"un ensembleE. On dit queUest unepartition

deEsi

1.C6=;pour toutC2 U;

2.S

C2UC=E;

3.C\C0=;pour tousC;C02 UavecC6=C0.

Pour tout élémentx2E, on a alors un uniqueC2 Utel quex2C, qu"on note alorsCx. On associe à une telle partitionUla relationRUsurEdéfinie par xRUysiCx=Cy: À l"inverse, siRest une relation d"équivalence surE, on peut considérer U R=fx

R; x2Eg P(E):

2.5 Proposition.Étant donné un ensembleE

1.

P ourtout partition UdeE, la relationRUest une relation d"équivalence, dont les classes d"équiva-

lence sont lesC2 U. 2. P ourtoute relation d"équivalence RsurE, le sous-ensemble des partiesURest une partition deE.

3.U 7!RUetR7! URsont des bijections inverses l"une de l"autre entre les partitions deEet les

relations d"équivalence surE. Autrement dit, se donner une relation d"équivalence surEest "la même chose" que se donner une partition deE. Même si cette seconde description peut sembler plus simple, dans les exemples pratiques, on a souvent la donnée de quandxy. 3

3 Ensemble quotient

3.1 Définition(ensemble quotient).L"ensemble des classes d"équivalences d"un ensembleEpar une

relation d"équivalenceRs"appelle l"ensemble quotientdeEparRet se noteE=Rou bienE=.

3.2 Notation.Dans l"exemple 1.6 d"une relation d"équivalence surGdéfinie à l"aide d"un sous-groupe

H, on noteG=Hl"ensemble quotient pour la relation moduloHà droite, et symétriquementHnG l"ensemble quotient pour la relation moduloHà gauche.

La notation suivante est fondamentale.

3.3 Notation.Le quotient deZpar son sous-groupenZest donc notéZ=nZ.

3.4 Lemme.Soitmun élément deZet soitrle reste de la division euclidienne demparn(avecn6= 0).

Alorsmrmodn, autrement ditm=rdansZ=nZ.

3.5 Proposition.Soitn2N. On a

Z=nZ=f0;1;:::;n1g

et toutes ces classes sont différentes. En particulier#(Z=nZ) =n.

3.6 Remarque.Sin= 0, alorsZ=0Zest en bijection avecZ.

4 Théorème de Lagrange

4.1 Lemme.SiEest un ensemble fini muni d"une relation d"équivalenceR, on a

#E=X

C2E=R#C(4.1)

et en particulier, si toutes les classes d"équivalences ont le même nombre d"élémentN, on a

#E= #(E=R)N:(4.2)

4.2 Théorème(Lagrange).SoitGun groupe fini etHun sous-groupe deG. Alors le cardinal deH

divise celui deG, et plus précisément #G= #(G=H)#H

5 Application quotient

SoitEun ensemble muni d"une relation d"équivalenceR.

5.1 Définition.L"application canonique

R:E!E=R

x7!x est appeléeprojection sur le quotient.

5.2 Remarque.Soientx;y2E, on ax=ysi et seulement siR(x) =R(y), par définition.

Considérons maintenant une application quelconquef:E!F. On peut lui associer une relation d"équivalence surEde la manière suivante.

5.3 Définition.On posexfysif(x) =f(y). Cela définit une relation d"équivalenceRfsurE.

4

On a ainsix=f1(f(x)).

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