Géométrie du plan et de lespace RELATIONS DEQUIVALENCE ET
Graphe(R) = {(x y) ? X × X : xRy}. La classe d'équivalence de x ? X est le sous-ensemble de X suivant : [x] = {y ? X : yRx}. L'ensemble quotient
1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre
même classe d'équivalence. Théorème. Une relation d'équivalence R sur un ensemble E définit une partition de E dont les éléments sont les
Table des mati`eres
Exercice 1.3.7 - Une classe de congruence modulo n. On se donne x ? Z et n ? N?. 1) Déterminer la classe d'équivalence de x pour la relation de congruence
Relations binaires. Relations déquivalence et dordre
Aug 20 2017 2.2 Classe d'équivalence. Ensemble quotient . ... Une relation d'équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont.
Relations déquivalence
Jan 16 2022 3.1 Définition (ensemble quotient). L'ensemble des classes d'équivalences d'un ensemble E par une relation d'équivalence R s'appelle l'ensemble ...
CHAPITRE 3 : Relations déquivalence et ensemble quotient
Mar 7 2018 1.0.4 Une relation d'équivalence ~:AxA definit une partition de A en classes ... d'équivalence ~
1 Définition et premi`eres propriétés des congruences
Feb 11 2014 Définition 1.2 (Relation d'équivalence) Une relation R réflexive
Des Lp aux Lp 1 Relations déquivalence classes déquivalence
On va voir ici comment utiliser les relations d'équivalences pour construire un espace vectoriel sur lequel Np soit bel et bien une norme. Plus précisément
RELATIONS BINAIRES
Ensemble quotient : L'ensemble des classes d'équivalences de E pour ? est appelé l'ensemble quotient de E par. ? et souvent noté E ?. E. Une classe d'
Chapitre 5. Relations déquivalences congruence
revanche c'est une relation d'ordre . Définitions: Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R. i) Pour tout x = € E? on appelle classe
1 Relations binaires - unicefr
Une relation d'équialencev Rsur un ensemble E dé nit une partition de E dont les éléments sont les classes d'équivalence de R Réciproquement toute partition de E dé nit sur E une relation d'équivalence dont les classes coïncident avec les éléments de la partition
Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
Une relation d’équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété Exemples : • La relation ? [n]sur Z est une relation d’équivalence On véri?e facilement qu’elle est ré?exive symétrique et transitive • Soit ? ? R Une autre relation ? [?]sur R est une relation
Relations d’équivalence - CNRS
Dans l’exemple 1 6 d’une relation d’équivalence sur Gdé?nie à l’aide d’un sous-groupe H on note G=H l’ensemble quotient pour la relation modulo H à droite et symétriquement HnG l’ensemble quotient pour la relation modulo Hà gauche
1 Exemples simples de relations d’équivalence - univ-amufr
Relationsd’équivalence SoitEunensemble;unerelation?surEestditerelation d’équivalence sielleest: ré?exive: 8x2E;x?x symétrique: 8x2E;8y2E;six?yalorsy?x transitive: 8x2E;8y2E;8z2E;six?yety?zalorsx?z 1 Exemples simples de relations d’équivalence
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relation avec (ab) La classe d’équivalence de (ab)est donc ˆ xxb a x ? R? ? Exercice 4: (a) Prouver que la relation sur R aRb ? a =b est une relation d’équivalence Solution: — Ré?exivité : Soit x ? R Prouvons que xRx On a x =x donc xRx — Symétrie : Soit xy ? R On suppose xRy On veut prouver que yRx
Comment calculer la classe d’équivalence ?
La classe d’équivalence de (a,b)est donc ˆ x,xb a x ?R? Exercice 4: (a) Prouver que la relation surR aRb ? |a| =|b| est une relation d’équivalence. Solution: — Ré?exivité : Soit x ?R. Prouvons que xRx.
Comment définir une relation d’équivalence sur un ensemble ?
Une relation R sur un ensemble E est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété : De plus, elle est bien transitive : Si |x|=|y| et |y| = |z| alors |x|=|y|=|z|. Donc, on a bien Pour les relations d’équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit.
Quelle est la relation d’équivalence ?
La relation d’équivalence est alors signifiée par trois verbes différents : « est », « implicant » ou « continet ». La possibilité est, impliqueou contientla non contradiction. Le terme d’implication doit nous alarmer sur un point.
Comment calculer les relations d’ordre et d’équivalence ?
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation surZ aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0.
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
RELATIONS BINAIRES
Dans tout ce chapitre,Eest un ensemble quelconque.1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE
Les relations sont partout et dans le monde mathématique, et dans la vraie vie. Nous passons notre temps à comparer
des objets, à les mettre en rapport les uns avec les autres selon tel ou tel aspect. Les phrases suivantes, pourtant diverses, sont
toutes l"affirmation d"un lien entre deux objets : " Minou et Matou ont la même couleur de poils », " 3?5 », " Truc
est amoureux de Bidule », " 4 divise 12 », " 1+i et 1-i ont le même module », etc.De quelle manière pourrions-nous définir proprement la notion de relation en mathématiques? QuelOBJETla relation
(x,y)??1,3?2pour lesquelsx Définition(Relation binaire sur un ensemble)On appellerelation binaire sur Etoute partie deE×E. Si?est une telle relation, la proposition(x,y)? ?sera notée de préférencex?ypour tousx,y?E, et lue "xest ?Attention !Parce que le couple(x,y)n"est pas le couple(y,x), la relationx?ypeut être vraie sans que la relation la relation d"égalité=surE, les relations?et pour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?, définie pour tousx,y??par : La relation d"égalité=surEest réflexive, transitive, symétrique et antisymétrique. Les relations?sur?et??sontréflexives, transitives et antisymétriques. Elles nesontpas symétriques carparexemple La relation La relation | de divisibilité sur?est réflexive et transitive, mais elle n"est pas antisymétrique car par exemple-2|2 Définition(Relation d"équivalence)On appellerelation d"équivalence sur Etoute relation binaire surEà la fois ExempleLa relation d"égalité=surEet la relation " avoir le même signe » sur??sont des relations d"équivalence. ExemplePour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?est une relation d"équivalence. De manière analogue, pour toutn??, la relation≡[n]de congruence modulonsur?est une relation d"équivalence. Transitivité :Soienta,b,c??. Sia≡b[α]etb≡c[α]:a=b+kαetb=c+lαpour certains Théorème(Classes d"équivalence d"une relation d"équivalence, ensemble quotient)Soit≂une relation d"équi- Classes d"équivalence :Pour toutx?E, l"ensembley?E|x≂yest appelé laclasse d"équivalence de x Ensemble quotient :L"ensemble des classes d"équivalences deEpour≂est appelé l"ensemble quotient de E par Ce que ce théorème raconte, c"est que la relation d"équivalence≂peut être représentée l"intérieur deEdont les éléments sont caractérisés par une nationalité. LemondeEse trouve On peut dire les choses autrement. Toute relation d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme " Avoir le même (...) » : " avoir le même signe », " avoir le même reste de division euclidienne parn», etc. Pour toutx?E:x≂xpar réflexivité, doncx?cl(x), donc cl(x)est non vide. Rappelons à cette Soientx,y?E. Pour montrer que cl(x)et cl(y)sont égales ou disjointes, supposons-lesNONdisjointes et montrons qu"elles sont égales. Par hypothèse, nous pouvonsnous donner un élémentzcommun à cl(x)et ExempleLa relation " avoir le même signe » sur??possède deux classes d"équivalence, la classe??+et la classe??-. ExempleSoitα >0. Les classes d"équivalences de?pour la relation de congruence moduloαsont exactement les en- semblesα?+x,xdécrivant[0,α[, sans répétition. L"ensemble quotient associé est donc l"ensemble DémonstrationLe théorème d"existence et d"unicité de la partie entière peut être formulé ainsi : et finalement, après multiplication parα:?x??,?!??[0,α[,x≡?[α]. Cette proposition signifie que tout réel appartient à la classe d"équivalence pour≡[α]d"un et un seul élément de[0,α[. ExempleSoitn???. Nous établirons au prochain chapitre " Arithmétique des entiers relatifs » lethéorème de la division euclidiennesuivant :?a??,?!r??0,n-1?,a≡r[n], selon lequel tout entier relatif appartient à la classe d"équivalence pour≡[n]d"un et un seul élément de?0,n-1?, donc que les classes d"équivalence de?pour cette relation Relation d"ordre :On appelle (relation d")ordre sur Etoute relation binaire surEà la fois réflexive, transitive Quand?est une relation d"ordre, la relationx?yest généralement lue "xest plus petit quey», mais rien ne s"oppose à ce qu"on la lise "xest plus grand quey», c"est pure affaire de convention et il convient seulementd"être cohérent. Être Une relation d"ordre hiérarchise les éléments qu"elle compare, mais qu"attendons-nous intuitivement des notions de clas- Essentiellement la transitivité, c"est ce qui compte le plus. SiAest plus grand queBetBplus grand queC, alorsAest La réflexivité est imposée dans la définition des relations d"ordre mais aurait pu ne pas l"être. L"exiger revient simple- ment à privilégier les relations " inférieurOU ÉGAL» aux relations d"infériorité stricte. L"antisymétrie est un autre choix conventionnel. La relation " être plus âgé (ou du même âge) que » est transitive et réflexive sur l"ensemble des êtres humains, mais pas antisymétrique car deux individus peuvent être nés au même instant. Bien que non antisymétrique, cette relation a pournous la saveur d"une relation hiérarchique. En résumé, les relations d"ordre sont des exemples importants de hiérarchies, mais ne formalisent pas toutes les hiérar- La relation?est une relation d"ordre totale sur?. En particulier, les réels sont tous comparables à 0 positifs ou négatifs et c"est pour cela qu"on a pu définir la valeur absolue|x|d"un réelxen distinguant les casx?0 etx<0. La relation?est une relation partielle d"ordre sur??. Les fonctions cosinus et sinus, par exemple, ne sont pas La relation d"inclusion?est une relation d"ordre sur?(E), partielle dès queEcontient au moins deux éléments. En ExempleLa relation de divisibilité | n"est pas une relation d"ordresur?, mais c"en est une sur?, partielle car 2 et 3 ne DémonstrationNous avons déjà vu que la relation | sur?n"est pas antisymétrique. Travaillons donc sur?. Transitivité :Soientn,n?,n????des entiers pour lesquelsn|n?etn?|n??. Aussitôtn?=knetn??=k?n? Remarque importante. Les relations d"ordre excluent les boucles. Une boucle de la formex1?x2?x3?...?xn?x1 entre des éléments distinctsavecn?2estinconcevable carla transitivité et l"antisymétrie forcent l"égalitéx1=x2=...=xn. Sans boucles, les relations d"ordre ont comme une orientation naturelle. De même que les fleuves et les rivières coulent en direction de la mer sans jamais boucler, on va toujours de l"avant quand on parcourt une relation d"ordre, on ne tourne jamais en rond et c"est ça qui nous fait dire que certains éléments sont plus petits/grands que d"autres. Ona représenté ci-dessous àgauchela relation?sur l"ensemble des parties de1,2,3et àdroite la relation dedivisibilité | sur?1,20?. Le fait que ces relations ne sont pas totales se visualise bien, il ne suffit pas d"UNEfibre pour représenter ces Définition(Relation stricte associée à une relation d"ordre)Soit?une relation d"ordre surE. La relation?sur par transitivité de?. L"égalitéx=zest-elle possible? Le cas échéantx?yety?x, doncx=ypar Partie bornée :On dit queAestbornée(pour?) si elle est à la fois majorée et minorée. L"ensemble8,10,12est minoré par 2 et majoré par 120 pour la relation de divisibilité | sur?. Définition(Plus grand/petit élément, maximum/minimum)Soient?une relation d"ordre surEetAune partie S"IL EN EXISTE UN, un tel plus grand élément est unique et donc appeléLEplus grand élément deA, noté maxA. DémonstrationPour l"unicité, même preuve qu"au chapitre " Compléments sur les réels ». ExempleOn travaille avec la relation d"inclusion?sur?(E)et on suppose queEcontient au moins deux éléments. (i) L"ensemble2,3,6possède un plus grand élément c"est 6 mais pas de plus petitélément. (ii) L"entier 0 est élément de?et plus grand que tout le monde car tout le monde le divise, donc c"est le plus grand élément de?. L"entier 1 est élement de?et plus petit que tout le monde car il divise tout le monde, (iii) Par l"absurde, faisons l"hypothèse que?\0,1possède un plus petit élémentm. En particulierm|2 et m|3, donc par différencem|1. Or le seul diviseur de 1 dans?étant 1 lui-même :m=1, et ceci est Par l"absurde, faisons l"hypothèse que?\0,1possède un plus grand élémentM. En particulier 2M|M Définition(Borne supérieure/inférieure)Soient?une relation d"ordre etAune partie deE.S"IL EXISTE, le plus La différence essentielle entre les plus grands éléments etles bornes supérieures d"une partieA, c"est que les bornes Théorème(Max/min implique sup/inf)Soient?une relation d"ordre etAune partie deE. SiApossède un plus grand (resp. petit) élément pour?,Apossède une borne supérieure (resp. inférieure) pour?et : supA=maxA ExempleToute partieAde?(E)possède une borne supérieure et une borne inférieure pour larelation d"inclusion?, en tous les éléments deApar définition, i.e. majoreAau sens de l"inclusion. Ensuite, siM? ?(E)est un majorant ExemplePour la relation de divisibilité | sur?,6,8,10admet 2 pour borne inférieure et 120 pour borne supérieure. Pour la borne supérieure de6,8,10, tâchez juste de vous convaincre intuitivement du résultat, nous1<3 et 2<3. Formellement, nous pourrions définir la relation
Exemple
1?2 mais 2?1, et de même(x?-→1)?(x?-→2)mais(x?-→2)?(x?-→1).
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2 RELATIONS D"ÉQUIVALENCE
Démonstration
Réflexivité :Pour touta??:a=a+0×αet 0??, donca≡a[α]. Une classe
d"équivalence Une classe
d"équivalence Une classe d"équivalence
La notion d"ensemble quotient est hors programme mais il n"est pas inutile de l"avoir quelque part en tête. Vous noterez bien que le quotientE≂est unENSEMBLE D"ENSEMBLES, en l"occurrence un ensemble de parties deE. Clairement :E=?
x?Ecl(x)carx?cl(x)pour toutx?E. α?+x|x?[0,α[
α=k+?,
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 RELATIONS D"ORDRE
Définition(Relation d"ordre, relation d"ordre totale) Dans le cas contraire, on dit que?estpartielle.
Exemple
Sin=0 :n?=kn=0, doncn=n?.
Sin?=0 :kk?=1, orketk?sont desENTIERS NATURELS,donck=k?=1, doncn=k?n?=n?. 3 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 57111317 194
691014158
1218 2016
Démonstration
Transitivité :Soientx,y,z?E. On supposex?yety?z. En particulierx?yety?z, doncx?z Exemple
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Démonstration
X?AXet infA=?
X?AX. DémonstrationContentons-nous du cas de la borne supérieure. Pour commencer, la réunion? X?AXcontient
X?AX?M, ce qui fait bien de?
X?AXle plus petit majorant deA.
Démonstration
Soitmun minorant de6,8,10. Alorsm|6 etm|8, donc par différencem|2. Les minorants de6,8,10 sont ainsi seulement 1 et 2, donc en effet 2 en est le plus grandminorant.
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