Géométrie du plan et de lespace RELATIONS DEQUIVALENCE ET
Graphe(R) = {(x y) ? X × X : xRy}. La classe d'équivalence de x ? X est le sous-ensemble de X suivant : [x] = {y ? X : yRx}. L'ensemble quotient
1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre
même classe d'équivalence. Théorème. Une relation d'équivalence R sur un ensemble E définit une partition de E dont les éléments sont les
Table des mati`eres
Exercice 1.3.7 - Une classe de congruence modulo n. On se donne x ? Z et n ? N?. 1) Déterminer la classe d'équivalence de x pour la relation de congruence
Relations binaires. Relations déquivalence et dordre
Aug 20 2017 2.2 Classe d'équivalence. Ensemble quotient . ... Une relation d'équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont.
Relations déquivalence
Jan 16 2022 3.1 Définition (ensemble quotient). L'ensemble des classes d'équivalences d'un ensemble E par une relation d'équivalence R s'appelle l'ensemble ...
CHAPITRE 3 : Relations déquivalence et ensemble quotient
Mar 7 2018 1.0.4 Une relation d'équivalence ~:AxA definit une partition de A en classes ... d'équivalence ~
1 Définition et premi`eres propriétés des congruences
Feb 11 2014 Définition 1.2 (Relation d'équivalence) Une relation R réflexive
Des Lp aux Lp 1 Relations déquivalence classes déquivalence
On va voir ici comment utiliser les relations d'équivalences pour construire un espace vectoriel sur lequel Np soit bel et bien une norme. Plus précisément
RELATIONS BINAIRES
Ensemble quotient : L'ensemble des classes d'équivalences de E pour ? est appelé l'ensemble quotient de E par. ? et souvent noté E ?. E. Une classe d'
Chapitre 5. Relations déquivalences congruence
revanche c'est une relation d'ordre . Définitions: Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R. i) Pour tout x = € E? on appelle classe
1 Relations binaires - unicefr
Une relation d'équialencev Rsur un ensemble E dé nit une partition de E dont les éléments sont les classes d'équivalence de R Réciproquement toute partition de E dé nit sur E une relation d'équivalence dont les classes coïncident avec les éléments de la partition
Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
Une relation d’équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété Exemples : • La relation ? [n]sur Z est une relation d’équivalence On véri?e facilement qu’elle est ré?exive symétrique et transitive • Soit ? ? R Une autre relation ? [?]sur R est une relation
Relations d’équivalence - CNRS
Dans l’exemple 1 6 d’une relation d’équivalence sur Gdé?nie à l’aide d’un sous-groupe H on note G=H l’ensemble quotient pour la relation modulo H à droite et symétriquement HnG l’ensemble quotient pour la relation modulo Hà gauche
1 Exemples simples de relations d’équivalence - univ-amufr
Relationsd’équivalence SoitEunensemble;unerelation?surEestditerelation d’équivalence sielleest: ré?exive: 8x2E;x?x symétrique: 8x2E;8y2E;six?yalorsy?x transitive: 8x2E;8y2E;8z2E;six?yety?zalorsx?z 1 Exemples simples de relations d’équivalence
Searches related to relation d+équivalence et classe d+équivalence PDF
relation avec (ab) La classe d’équivalence de (ab)est donc ˆ xxb a x ? R? ? Exercice 4: (a) Prouver que la relation sur R aRb ? a =b est une relation d’équivalence Solution: — Ré?exivité : Soit x ? R Prouvons que xRx On a x =x donc xRx — Symétrie : Soit xy ? R On suppose xRy On veut prouver que yRx
Comment calculer la classe d’équivalence ?
La classe d’équivalence de (a,b)est donc ˆ x,xb a x ?R? Exercice 4: (a) Prouver que la relation surR aRb ? |a| =|b| est une relation d’équivalence. Solution: — Ré?exivité : Soit x ?R. Prouvons que xRx.
Comment définir une relation d’équivalence sur un ensemble ?
Une relation R sur un ensemble E est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété : De plus, elle est bien transitive : Si |x|=|y| et |y| = |z| alors |x|=|y|=|z|. Donc, on a bien Pour les relations d’équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit.
Quelle est la relation d’équivalence ?
La relation d’équivalence est alors signifiée par trois verbes différents : « est », « implicant » ou « continet ». La possibilité est, impliqueou contientla non contradiction. Le terme d’implication doit nous alarmer sur un point.
Comment calculer les relations d’ordre et d’équivalence ?
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation surZ aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0.
DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 15:44 Relations binaires. Relations
d"équivalence et d"ordreTable des matières
1 Généralités2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne. . . . . . . . . . . 2
1.3 Qualité d"une relation binaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Relation totale ou partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Relation d"équivalence4
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Relation d"ordre5
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre. . . . . . . . . . . . 6
4 Éléments fondamentaux d"un ensemble ordonné7
4.1 Majorant, minorant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Plus grand et plus petit élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Borne supérieure et borne inférieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1 Généralités
En mathématiques, on cherche souvent à comparer deux éléments d"un ensemble ou la propriété que deux éléments d"un ensemble sont susceptibles d"avoir.1.1 Définition
Définition 1 :Une relation binaireRdéfinie sur un ensembleEest au choix : une propriété qui relie ou non deux élémentsxetydeE. On notexRypour dire que l"élémentxest en relation avecyune partie deE×E. On notexRysi(x,y)?R
?Pour un couple(x,y)?= (y,x)donc on fera la différence entrexRyetyRx. Par exemple siRest la relation < surR: si l"on ax1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne
Définition 2 :SoientRune relation binaire surE. La relationRest compatible avec la loi de composition interne?surEsi : (aRbetcRd)?(a?c)R(b?d)Exemples :
La loi?surRest compatible avec l"addition mais pas avec la multiplication. La loi≡[n]surZest compatible avec l"addition et la multiplication.PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1.3 Qualité d"une relation binaire
Définition 3 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest réflexive si :?x?E,xRx
On dit queRest symétrique si :?x,y?E,xRy?yRx On dit queRest antisymétrique si :?x,y?E,(xRyetyRx)?x=y On dit queRest transitive si :?x,y,z?E,(xRyetyRz)?xRzExemples :
La relation d"égalité=surEest réflexive, symétrique, antisymétrique et tran- sitive. Les relations?et?surRsont réflexives, antisymétrique et transitives. Elles ne sont pas symétriques. Les relation1.4 Relation totale ou partielle
Définition 4 :SoitRune relation binaire surE.
On dit quexetydeEsont comparable parRsi :xRyouyRx. On dit que la relationRest totale si deux éléments quelconques deEsont comparable :?x,y?E,xRyouyRx On dit que la relationRest partielle dans le cas contraire.Exemple :
Les relations?et?surRsont totales maisPAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE
2. RELATION D"ÉQUIVALENCE
2 Relation d"équivalence
2.1 Définition
Définition 5 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest une relation d"équivalence surEsiRest réflexive, symétrique et transitive. Remarque :Une relation d"équivalence est notée parfois≂ Une relation d"équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété.Exemples :
La relation≡[n]surZest une relation d"équivalence. On vérifie facilement qu"elle est réflexive, symétrique et transitive. Soitα?R. Une autre relation≡[α]surRest une relation d"équivalence : x≡y[α]? ?k?Z,x=y+kα. - Réflexivité :a=a+0×αdonca≡a[α] - Symétrie :a≡b[α]?a=b+kα?b=a+ (-k)α?b≡a[α] - Transitivité : (a≡b[α]etb≡c[α])?(a=b+kαetb=c+k?α)? a=k?α+kα= (k?+k)α?a≡c[α]2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient
Théorème 1 :SoitRune loi d"équivalence surE. On appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeE, l"ensembleC(x)des élé- ments deEen relation avecxparR:C(x) ={y?E,yRx}
L"ensemble des classes d"équivalence pourRforment une partition deE: leur réunion formeEet sont deux à deux disjointes. L"ensemble des classes d"équivalence deEpourRest appelé l"ensemble quo- tient deEparRnotéE/R Remarque :Toute classe d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme "avoir le même [... ]». Par exemple "avoir le même reste dans la division parn» dansZ. Notation usuelle pour la classe d"équivalence dex: xouxPour la relation≡[3]
Troisclassesd"équivalence:?
0 ,1 ,2?
correspondant aux trois restes dans la division par 3Son ensemble quotient se note :Z/3Z0
reste 01 reste 12 reste 2
ZPAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE
3. RELATION D"ORDRE
L"ensemble quotientE/Rest donc un ensemble d"ensembles inclus dansP(E) Démonstration :Montrons queE/Rforme une partition deE.Notons
xla classe d"équivalence dexpourR. ?x?E,x?xcar réflexivitéxRxon en déduit queE=? x?Ex.Montrons que six∩y?=∅alorsx=y.
z? x∩y??zRx zRy??Par symétrie et transitivité xRy?x=yExemple :
Un bipoint (A,B) est un couple de
points du plan.On définit la relationR(équipollence)
telle que : (A,B)R(C,D) si les segments [AD] et [BC] ont même milieu. AB CD IRest une relation d"équivalence car :
[AB] et [BA] ont même milieu donc (A,B)R(A,B). (A,B)R(C,D)?m[AD] =m[BC]?m[CB] =m[DA]?(C,D)R(A,B) ?(A,B)R(C,D) (C,D)R(E,F)??m[AD] =m[BC] m[CF] =m[DE]??ABDC et CDFEparallélogrammes? ?(AB)//(CD)//(EF)AB=CD=CF??ABFE parallélogramme
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] liste des verbes d'action
[PDF] liste des verbes d'état cm2
[PDF] exercice sur les verbes d'état et d'action cm2
[PDF] les verbes d'action pdf
[PDF] film éthique et culture religieuse
[PDF] les verbes d'état pdf
[PDF] tous les verbes d'état
[PDF] liste des verbes attributifs
[PDF] surclassement pop corn c'est quoi
[PDF] upload file magazines gaumont 262 web
[PDF] exercice de maths rapport et proportion
[PDF] gaumont pathé
[PDF] montrez que la productivité globale des facteurs est source de croissance économique.
[PDF] presenter deux limites dans l'utilisation du pib comme indicateur de la croissance economique
